指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
（2）．两个重要公式
①
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
=
)0
(
)0
(
|
|
a
a
a
a
a
a
a
n n；
②a
a n
n=
)
(（注意a必须使n a有意义）。
2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:0,,1)
m
n m
n
a a a m n N n
*
=>∈>
、且;
②正数的负分数指数幂:
1
0,,1)
m
n
m n m
n
a a m n N n
a
a
-
*
==>∈>
、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质
①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);
②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=a x a>1 0 n为奇数 n为偶数 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0 (2) 当x>0时，0 x<0时, y>1 (3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N a x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 （1）对数的性质（0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =，③log N a a N =，④log N a a N =。（2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于； ②1 log log b a a b = 。 （3）对数的运算法则： 如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b m n b a n a m log log = 。 图象 1a > 01a << 性 质 （1）定义域：（0,+∞） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数 （5）在（0,+∞）上为减函数 注：确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0 指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x， 1 2 y x =，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x， 1 2 y x =，y=x-1； 当0 1 2 y x =，y=x，y=x2，y=x3。 y=x y=x2y=x31 2 y x = y=x-1 定义域R R R [0，+∞）{} |0 x x R x ∈≠ 且 值域R [0，+∞）R [0，+∞）{} |0 y y R y ∈≠ 且 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0，+∞）时，增； x∈(,0] -∞时，减 增增x∈(0,+∞)时，减； x∈(-∞,0)时，减 定点（1，1）