多分辨率分析与正交小波变换详解

f (t) m,n
f , m,n
m,n (t)

1 A
WTf
m,n
(m, n) m,n (t)
wenku.baidu.com
当A≠B，而A、B比较接近时，重建公式近似为
f (t) m,n
f , m,n
m,n (t)

2 A B
WTf
m,n
(m, n) m,n (t)
A与B愈接近，重建误差就愈小
1) span g j (t) | j Z H ,即f H , 0,
n
总存在 c j
l 2 ,使得
jZ
f (t)
c j g j (t)
jn
2)
存在常数 0 A B ,使得 c j
l2,有
jZ
2

2
CWT
DWT
尺度位移
a, (t)
1 (t ) 离散化
aa

m,n
(t)

m
2 2
(2m
t

n)
冗余
多分辨率分析方 法(MRA)可以构 造出正交的小波 母函数
在MRA出现之 前人们已经构造 出了几种正交小 波
ψ
构成
m,n
ψ
构成
m,n
一个框架 一个正交基
non-orthogonal orthogonal
en(x), g(x)
g(x) g(x), en (x) en (x)
n
n
g(x),en(x) , en(x), g(x)

不为正交基，
这时才有Parseval等式不相关等系，？其它

n
2
g ( x), en ( x)
g(x) 2
2
g(x), en (x)
n
g(x) a1
n
且系数an是唯一的，则称en为空间H的一个基
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框架、Riesz基、正交基
g(x) anen
n
如果基底满足
g(x) 2 g(x), g(x)
0, m n
en (x),em(x) 1, m n
此时基底为标准（规范）正交基
，此n 时g(x有),e：n(x)
小波基？
Meyer小波
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其他正交小波
在多分辨率理论出现以前，还构造出了其他的 正交小波
Strombery小波
Battle-Lemarie小波
Battle-Lemarie
1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架
统一了在此之前的小波构造 提供了构造新的小波基方便的工具
正交基。
可放宽为Reisz基，因为由Reisz 基可构造出一组正交基来
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一致单调性
V V1 V0 V1 V
V3 V2 V1 V0
V1 V2
V3
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不同尺度的分辨率
0
0 V1 V0 V1 L2 R
一致单调性 V V1 V0 V1 V
渐近完全性 伸缩规则性

dense
Vj L2 (R)
j
f Vn

Vj {0}
j
f (2n t) V0
平移不变性 f V0
f (t n)V0,对所有n Z
正交基存在性 ψV0 使得{ψ(tn):nZ}是V0的


2
A cj
cjgj B cj
j
j
j
规范正交基是A=B=1的Riesz基 对于Riesz基，计算是数值稳定的 Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基
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框架、Riesz基、正交基
框架、 Riesz基、正交基三者的关系
当小波基函数满足此不等式时，
小波系数可重构回原函数，此
时称
为小波m,框n 架
满足了框架条件必然满 足了可容许条件
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信号的重构---如何进行离散小波逆变换？
若离散小波序列 {m,n (t)}m,nZ 构成一个框架，其上、 下界分别为A和B，则当A=B时(紧框架)，由框架 概念可知离散小波变换的逆变换为

若
A B ，则称此框架为一紧框架，

f , j
2

A
f
2
若 A B 1 ，并且 j 1 ，则此时 j 构成一组正交基
120° 120°
紧框架 A B 非正交
紧框架 A B 1 正交
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小波的数学基础---框架
将“框架”具体应用到小波领域构成“小波框架”
框架
设H为希尔伯特空间，{ j} 为H中的一个函数序列，若对于任 意 f H ，存在0 A B ，使得下述不等式成立：
A f 2
2
2
f , j B f
则称 { j}为一个框架，A、B分别为框架的上下界
紧框架
可以简单理解为：一组基，正交的或非正交的
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把尺度理解为照相机的 镜头，当尺度由小到大 变化时，相当于将镜头 由近及远地远离目标。 在小尺度空间里，可观 测到目标的细微部分； 在大尺度空间里，可观 测到目标大致的概貌。
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多分辨率分析的定义
多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子 空间 {Vj}, j Z
无冗余框架
H中的框架，如果去掉其中任一元素不再构成框架，则为 无冗余框架，即为Riesz基
正交基虽然优越，但有时难以得到，且对误差敏感，现实 中常用Riesz基，例如二维平面中任意不平行的二个向量构成 Riesz基，垂直则为正交基
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Riesz基
定义 令H是Hilbert空间，H中的一个序列{gj}jZ是 Riesz基，如果它满足以下的条件：
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小结
连续小波离散小波的关键问题：
离散的方式 尺度因子、平移因子 离散后构成框架、Reisz基或正交基 信号的重构
母小波的构造
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主要内容
连续小波与离散小波 多分辨率分析与离散正交小波
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Vj
V j 1
V j2
V j1 Vj V j1
L2(R)
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渐进完全性与伸缩规则性
V
V1 V0 V1
V dense in L2 (R)
V1 f (x) : f (21 x) V0
V0 f (x) k ckΨ((xx-kk)) : k | ck |2
多分辨率分析与正交离散小波变换
阳建宏
北京科技大学
2019/4/23
主要内容
连续小波与离散小波 多分辨率分析与离散正交小波
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连续小波变换的不足
WT (a, ) 1 f (t) (t )dt
a
a
连续小波变换(CWT)：尺度a 及时间τ的取值连续变化
基本小波 { j} 经伸缩和平移引出的函数族，
满足
A
f
2
f , j
2
B
f
2
，则称
{ j} 为小波框架
小波进行重构的基本条件
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信号的重构---如何进行离散小波逆变换？
连续小波变换的逆变换
1
x(t) C
da 0 a2
WT (a, )
en x为正交基时，才可以表示为g(x) g(x), en (x) en (x)
n
2、n维欧氏空间中任何n个线性无关的向量都可以成为
一组基，也可转化为标准正交基
3、在H中， Riesz基就相当于基
4、无冗余的紧框架一定为正交基
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小波分析中的框架
若前后能量相等，即A=B=1,则为标准离散正交小波基 A、B相差很大，则为非紧框架，反变换不能直接应用 A、B比较接近，则为几乎紧框架，实际中常用
120° 120°
平面空间中的三个互成120度的基e1,e2,e3 构成二维空间中的紧框架
证明
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小波分析中的框架
R
1 (t )d aa
(w) 2
R w dw
只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换
离散小波变换的逆变换
不是所有的小波基函数经任意的离散方式后都能保证可以 由小波变换系数重构回原函数
逆变换的条件
A f 2
f , m,n
2
B
f
2 , A, B R
m,n
DWT
DWT
冗余
无冗余
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Haar小波
1, 0 t 1/2 (t) -1, 1/2 t 1
0, others
Haar小波构成了L2(R)上 的完备正交基
时域上不连续 频域上局部性差 常应用于理论研究中
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a2
,
2
)

1 C

R
a1
,1
(t
)

* a2
,
2
(t
)
d
(t
)
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小波分析中的框架
小波变换前后能量变化（稳定性 ）
尺度和位移离散化后，若使
A g(x) 2
g(x), a, 2 B g(x) 2
a
则此时构成小波框架，这是稳定性前提。
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Littlewood-Paley
(t) (sin 2t sin t) /t
Littlewood小波构成了 L2 (R)上的完备正交基
时域上局部性差
频域上局部性好
1
pi
2pi
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Meyer小波
能否构造一个时、频域都具有好的局部性的
尺度和位移都 离散
连续小波
二进小波
小波基函数非正交
离散小波
小波基函 数正交
非正交离散小波
正交离散小波
小波母函数
光滑性好 对称性好 紧支性好
计算量
相对非正交小波更小
小波变换系数
无冗余
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小波的数学基础---框架
框架与信号的分解、重构密切相关
小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函
数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。
显然，当离散相差很近时，分解存在极大冗余（但 带来的好处是显微镜特点和相似性检测能力 ），此时 就不再属于传统的正交分解，而涉及到框架。
定量描述上述冗余性和相关性——再生核（重建核）
K
(a1,1,
a2
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框架、Riesz基、正交基
框架、紧框架
A g(x) 2 g(x),en(x) 2 B g(x) 2 n
若A g(x) 2
g(x), en (x)
2
B
g(x) 2
n
A、B为正常数，称 en x为H中的一个框架
若A=B，称为紧框架，此时，转换前后能量固定为一放大倍数 若A=B=1，则为正交基，即为Parseval等式
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框架、Riesz基、正交基
用基底表示函数的展开
回顾三维矢量空间R3中，任何一个非零矢量M
可表示为
i
M

[ x,
y,
z
]

j

k
将此概念推广到泛函分析中
设en x为H中的线性无关的函数序列，若g(x) H ,有
g(x) anen
计算量很大
•不丢失原信号的信息 •减小计算量
•对尺度因子和平移 因子进行适当的离散
连续的时间-位移相 平面变成离散的点
012 3 4 5 6



1



7 kTs

2

3
j ln 2
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离散小波变换
只对尺度离散 位移仍然连续
y l ex,ey
120° 120° x
对平面中的任意向量 l ex,ey
都有：
2
2
3 l, ek
k 1
2
ly
3 2
lx

1 2
ly

3 2
lx

1 2
ly
= 3 2
lx2 ly2
=3 l 2 2
即A=B=3/2
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小波变换
H空间
框架 Riesz基 正交基
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框架、Riesz基、正交基
不为框架不能
表示，如平面
需要说明的几个问题
中的一个向量 不是框架
1、当en x为框架时，对g(x) H ,可表示为：g(x) anen
n
但系数an是不唯一的
en x为基时,系数唯一