多分辨率分析与正交小波变换详解
3_1正交小波多分辨分析
y (t ) g[k ] 2 f (2t k )
k
g[k]称为小波函数系数(wavelet function coefficient)。 由{f1,k(t) kZ}的正交性可得
g[k ] y (t ),y 1,k (t )
y (t ) 2f (2t k )dt
尺度函数与多分辨分析
尺度函数f(t)的MRA方程
f (t)V0
n
f (t)V1
f (t ) h[ n ] 2 f (2t n )
也称为尺度滤波器(scaling filter) 。
由{f1,k(t) kZ}的正交性可得
scaling equation dilation equation refinement equation
h[k ] fH (t ),f1,k (t )
n
fH (t ) 2fH (2t k )dt
21/2fH(2t1) 21/2 t t 0 1/2 1fH(ຫໍສະໝຸດ )1 t 0 10
21/2fH(2t) 21/2 1/2
h[0] 1 / 2
1 0
fH(t)
h[1] 1 / 2
交基，x(t)可表示为
x(t ) a0 [k ] f0, k (t ) d0 [k ] y 0, k (t ) d1[k ] y 1, k (t )
{fj,k(t)=2j/2f(2jtk)；kZ}是Vj规范正交基
尺度函数与多分辨分析
信号在嵌套子空间Vj中的正交投影： 对任意x(t) L2，由于{f1,k(t)=21/2f(2tk)；kZ}是V1规范 正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示为
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波变换是一种数学函数，通常用于信号处理和图像压缩中。
它具有许多优点，如压缩性、局部性和适应性等。
多分辨率分析则是正交小波变换的一种应用，它可以将信号或图像分解成不同的频率成分，从而实现多尺度分析。
正交小波变换的研究从上世纪80年代开始，迄今为止已经取得了长足的进展。
从最早的基于Gabor函数的小波变换，到后来的Daubechies小波和其他各种小波基函数的研究，正交小波变换的应用范围不断扩大。
在实际应用中，正交小波变换可以帮助我们更好地理解信号和图像的频率特性。
在音频信号处理中，正交小波变换可以将音频信号分解成不同的频带，从而实现音频信号的压缩和去噪。
在图像处理中，正交小波变换可以将图像分解成不同的空间频率，从而实现图像的压缩和增强。
多分辨率分析是正交小波变换的一个重要应用领域。
它基于信号或图像的不同频率成分具有不同的分辨率，即不同的细节程度。
利用多分辨率分析，我们可以对信号或图像进行多尺度分析，从而更好地理解它们的结构和特征。
多分辨率分析通常包括两个步骤：分解和重构。
分解是指将信号或图像分解成不同的频率成分，而重构是指根据这些频率成分重建原始信号或图像。
分解和重构的过程通过一系列滤波器实现，这些滤波器通常被称为分析滤波器和合成滤波器。
多分辨率分析的一个重要应用是图像压缩。
通过将图像分解成不同的频率子带，我们可以根据不同子带的重要性进行有损或无损的压缩。
多分辨率分析还可以用于图像增强、图像分割和图像检索等领域。
正交小波基与多分辨分析
THANKS
正交小波基由尺度函数和小波函数生 成，通过平移和伸缩可以得到不同尺 度的小波基。
正交小波基的性质
正交性
正交小波基具有正交性，即不同 尺度、不同位置的小波基在内积 运算下为零，这使得小波分析具 有良好的稳定性和精度。
紧支集性
正交小波基具有紧支集性，即小 波基只在有限的区间内有非零值 ，这使得小波变换具有快速算法 。
正交小波基的应用
01
02
03
信号处理
正交小波基可以用于信号 的分解和重构，实现信号 的时频分析和滤波。
图像处理
正交小波基可以用于图像 的压缩、去噪和增强，提 高图像处理的效果和效率。
其他领域
正交小波基还可以应用于 数值分析、流体动力学等 领域，为相关问题提供有 效的数值计算方法。
02 多分辨分析
多分辨分析的定义
定义
多分辨分析是一种对函数空间进行分 解的方法，通过在不同尺度上逐步逼 近原始函数，实现对复杂信号的精细 描述。
尺度空间
逼近性质
在多分辨分析中，函数在不同尺度上 的逼近性质决定了其分解的精度和稳 定性。
多分辨分析将函数空间分解为一系列 嵌套的子空间，每个子空间对应不同 的尺度。
多分辨分析的性质
逼近和表示能力
正交小波基能够提供对信号的逼近和 表示，使得在多分辨分析中能够更好 地理解和处理信号。
多分辨分析与正交小波基的相互影响
多分辨分析对正交小波基的影响
多分辨分析的需求推动了正交小波基的发展，促进了其理论和应用研究的深入。
正交小波基对多分辨分析的影响
正交小波基的特性和性质决定了多分辨分析的特性和性质，为多分辨分析提供 了丰富的工具和手段。
正交小波基与多分辨分析的结合应用
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究正交小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，通过将信号分解成多个不同尺度和频率的小波系数，能够提供更好的时频分辨率和局部特征描述能力。
在实际应用中，使用不同的小波函数可以获得不同的分析效果，因此正交小波的多分辨分析研究是一个重要的课题。
多分辨分析是正交小波变换的基本概念之一，它描述了信号在不同尺度下的分布特征。
在正交小波变换中，信号可以通过级数展开的形式表示为不同尺度和频率的小波函数的线性组合。
多分辨分析通过对小波函数进行尺度和平移变换，将信号分解成不同维度的小波系数。
通过选择适当的小波基函数，可以在不同分辨率下对信号进行分析，从而提取信号的时频信息。
在正交小波的多分辨分析研究中，需要考虑的一个关键问题是小波基函数的选择。
小波基函数的选择直接影响到小波系数的精确度和特征提取能力。
目前常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频域和尺度特性，可以在不同应用中选择合适的小波基函数。
另一个重要的研究方向是正交小波的多分辨分析算法的优化。
正交小波的多分辨分析算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）。
DWT是将信号分解成低频和高频部分，而CWT则是将信号连续地分解成不同尺度和频率的小波系数。
这些算法在计算效率和精度方面存在一定的差异。
目前的研究主要集中在改进DWT和CWT的计算效率，以满足实时信号处理和大规模数据分析的需求。
正交小波的多分辨分析在图像处理、语音识别、生物医学信号处理等领域具有广泛的应用。
在图像处理中，正交小波的多分辨分析可以实现图像的压缩、去噪和边缘检测等功能。
在语音识别中，正交小波的多分辨分析可以提取语音的时频特征，用于语音识别和语音合成。
在生物医学信号处理中，正交小波的多分辨分析可以用于心电图分析、脑电图分析等。
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
• 多分辨分析概述 • 正交小波变换原理 • 多分辨分析与正交小波变换的关系 • 正交小波变换的实现方法 • 正交小波变换的实例分析
01
多分辨分析概述
定义与特点
定义
多分辨分析是从小尺度到大尺度逼近 研究对象的一种分析方法，它能够同 时揭示研究对象在不同尺度上的特征 。
多分辨分析在信号处理中能够提 供更加准确和全面的信息，有助 于更好地理解和分析信号。
多分辨分析的历史与发展
1 2 3
历史回顾
多分辨分析的思想起源于20世纪80年代，随着 小波理论的不断发展，多分辨分析逐渐成为研究 热点。
当前研究
目前，多分辨分析在理论和应用方面都取得了重 要进展，广泛应用于图像处理、信号处理、数值 计算等领域。
模式识别
正交小波变换可以用于特征提取和 模式分类等任务。
03
02
图像处理
正交小波变换可以用于图像的压缩、 去噪、增强等处理。
数值分析
正交小波变换可以用于求解偏微分 方程、积分方程等数学问题。
04
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都基于多尺度分析思想
多分辨分析和小波变换都是从不同尺度上分析信号，能够捕捉到 信号在不同尺度上的特征。
优点
连续小波变换能够更好地适应信号的突变和非线性特性， 能够更准确地描述信号的局部特征。
缺点
连续小波变换的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和 时间，同时对于非连续信号的处理也存在一定的困难。
基于滤波器的小波变换
01 02
定义
基于滤波器的小波变换是一种通过设计特定的滤波器来实现小波变换的 方法，通过滤波器对信号进行卷积操作，可以得到不同尺度上的小波系 数。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究正交小波的多分辨分析是一个重要的研究领域，它涉及到信号处理、图像处理、数据压缩等多个领域。
在这里，我们将简要介绍正交小波的多分辨分析的相关知识。
一、正交小波的基本概念正交小波是一种基于小波变换的信号处理方法，其核心思想是通过对信号进行分解和重构，提取出信号的局部信息，从而实现信号的压缩和去噪等功能。
正交小波的基本概念包括小波函数、小波系数以及小波分解和重构等。
小波函数是描述小波形状和变换的数学函数，有多种形式，例如Haar小波、Daubechies小波、Symlets小波等。
小波系数指的是信号在小波基函数下的投影系数，通过小波变换可以将信号分解成多个子带，并得到每个子带的小波系数，各个子带之间的关系可以用小波滤波器组来描述。
正交小波的多分辨分析是指将信号分解成多个尺度，每个尺度对应一组小波系数，从而对信号的不同频率和尺度信息进行描述。
多分辨分析的基本思想是通过不同的低通滤波器和高通滤波器对信号进行分解，并得到多个分辨率的信号，从而提取出不同尺度的信号特征。
正交小波的多分辨分析是一种层次结构，从高到低依次是：原始信号、尺度为1的近似系数、尺度为2的近似系数、尺度为4的近似系数，等等。
每个层次都包含了一个近似系数和若干个细节系数，细节系数反映了信号在不同尺度上微小的变化。
三、正交小波的应用正交小波的应用非常广泛，包括信号压缩、图像处理、声音合成和分析、时频分析等多个领域。
其中，正交小波在图像处理中的应用较为广泛，可用于图像的去噪、增强、压缩等操作，以及图像的边缘检测、纹理分析等任务。
总之，正交小波的多分辨分析是一种强大的信号处理方法，具有高效性、可压缩性等特点，已经成为现代信号处理的重要工具。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的小波函数，其具有正交性质，能够用于信号的多分辨分析。
多分辨分析是一种信号处理方法，可以将信号进行不同尺度的分解和重构，从而获取信号的更多细节信息。
正交小波的多分辨分析研究，主要包括正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面。
正交小波的构造是正交小波多分辨分析研究的重要内容。
正交小波是通过特定的算法和公式来构造的，常见的正交小波有Haar小波、Daubechies小波、Coiflet小波等。
这些正交小波具有不同的性质和应用场景，可以根据具体需求选择合适的正交小波进行多分辨分析。
多尺度分解与重构方法是正交小波多分辨分析的核心内容。
多尺度分解是将信号分解成不同尺度的子信号，通过正交小波的低通滤波器和高通滤波器对信号进行滤波，得到低频子信号和高频子信号。
多尺度重构则是将这些子信号进行逆变换，得到重构的信号。
多尺度分解与重构方法可以通过迭代的方式，实现对信号的多层分解和重构，从而获得不同尺度的信号细节。
正交小波的应用广泛，包括信号压缩、图像处理、音频处理等领域。
正交小波多分辨分析可以提取信号的局部特征，减小信号的冗余，从而实现信号的压缩和存储。
在图像处理中，正交小波可以提取图像的边缘、纹理等特征，实现图像的去噪、增强等操作。
在音频处理中，正交小波可以提取音频的频谱特征，实现音乐合成、音频识别等应用。
正交小波的多分辨分析是一种强大的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
随着研究的深入和发展，正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面将会得到更好的理论支持和实际应用。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的信号分析工具，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分，可
以应用于图像处理、数据压缩、模式识别等领域。
多分辨分析是正交小波的基本理论之一，是研究正交小波性质、特点及应用的重要方向。
多分辨分析是指在不同分辨率下对信号进行分解和重构的过程。
在小波分析中，信号
可以被分解成不同频率的成分，每个频率成分对应一个尺度。
多分辨分析的目的是通过不
同尺度的分析，得到信号的局部和整体特征，实现信号的多尺度分析。
在多分辨分析中，正交小波起到了重要的作用。
正交小波是一种特殊的小波函数集合，具有正交、紧支集和尺度层次性的特点。
通过正交小波的分解，可以将信号分解成多个不
同尺度和频率的成分，得到信号的各种特征信息。
正交小波的分解和重构过程可以通过滤
波器组来实现，不同的小波系数对应着不同频率成分的能量。
多分辨分析的研究内容主要包括正交小波基函数的选择、多分辨框架的构建和多尺度
分析方法的研究。
正交小波基函数的选择是多分辨分析的关键，不同的小波函数在信号分
解中具有不同的性能。
研究者通过对不同小波函数的分析比较，选择合适的正交小波基函数，以实现信号的有效分析和特征提取。
多尺度分析方法是指在不同尺度上对信号进行分析和重构的方法。
常用的多尺度分析
方法有小波变换、小波包变换等。
小波变换是正交小波多尺度分析的基本方法，通过正交
小波基函数的分解和重构，实现信号的多尺度分析。
小波包变换是小波变换的一种扩展方法，更加灵活和精细。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究一、正交小波的基础概念正交小波是一类具有正交性质的小波函数，它可以用来对信号进行分解和重构。
正交小波具有一些重要的性质，比如尺度不变性和平移不变性，这使得它在信号处理中具有广泛的应用价值。
二、正交小波的多分辨分析在多分辨分析中，我们希望能够通过分解信号，得到不同尺度的频率成分，从而更好地理解信号的频率特性。
正交小波可以帮助我们实现这一目标，通过将信号分解成不同频率的成分，从而得到信号的多尺度表示。
正交小波的多分辨分析方法可以分为两种：连续多尺度分析和离散多尺度分析。
在连续多尺度分析中，我们使用正交小波将信号进行连续分解，从而得到信号的各种尺度的频率成分。
而在离散多尺度分析中，我们使用正交小波将信号进行离散分解，通常采用小波变换来实现。
正交小波的多分辨分析理论包括小波变换、尺度函数和小波基函数等重要内容。
小波变换是正交小波多分辨分析的核心，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。
尺度函数是用来描述不同尺度下的小波基函数的性质，它可以帮助我们理解不同尺度下的信号特征。
而小波基函数则是正交小波分解和重构的基础，它可以帮助我们实现信号的多尺度表示。
正交小波的多分辨分析在信号处理、图像处理、数据压缩等领域都有重要的应用。
在信号处理中，正交小波可以用来分析和处理非平稳信号，从而得到信号的时频特性。
在图像处理中，正交小波可以用来进行图像的多尺度分析和特征提取，从而实现图像的压缩和识别。
在数据压缩中，正交小波可以用来对数据进行分解和压缩，从而实现数据的有效存储和传输。
结论：正交小波的多分辨分析是一种重要的信号处理方法，它可以帮助我们实现信号的多尺度表示和分析。
通过对正交小波的多分辨分析的研究，我们可以更好地理解信号的频率特性和时域特性，从而实现对信号的更好处理和分析。
希望通过本文的介绍，可以对正交小波的多分辨分析有一个更全面的了解，从而推动该领域的进一步发展和应用。
小波变换与多分辨率分析课件
有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对 较低，容易实现，而多分辨 率分析的算法复杂度较高， 实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、 图像处理、数据压缩等领域已经得到 广泛应用，未来随着技术的不断发展， 它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定 义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的 分析方法。
定义目的 多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。
007-小波分析(第二讲)-多分辨率分析与正交小波变换
ψ m,n构成 一个框架
ψ m,n构成 一个正交基
non-orthogonal orthogonal DWT DWT 冗余 无冗余
北京科技大学 机械工程学院
18/ 73
Haar小波
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0 , others
小波进行重构的基本条件
北京科技大学 机械工程学院
6/ 73
信号的重构---如何进行离散小波逆变换？
连续小波变换的逆变换
x(t ) 1 C
0
da 1 t WT (a, ) ( )d a 2 R a a
( w)
w
2
R
dw
只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换
dense
j
V
j
{0}
f Vn f V0
f (2 n t ) V0
f (t n) V0 , 对所有n Z
正交基存在性 ψV0 使得{ψ(tn):nZ}是V0的 正交基。
可放宽为Reisz基，因为由Reisz 基可构造出一组正交基来
北京科技大学 机械工程学院 27/ 73
1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架
统一了在此之前的小波构造 提供了构造新的小波基方便的工具
北京科技大学 机械工程学院
22/ 73
小结
连续小波离散小波的关键问题：
离散的方式 尺度因子、平移因子 离散后构成框架、Reisz基或正交基 信号的重构 母小波的构造
14/ 71
小波分析中的框架
小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函 数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。
正交小波基与多分辨分析
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
2021/4/22
5
正交小波
且对任意
f
(t
)
S 2
m
有
f
(t)
nZ
f
(2
m
n)
sin 2m
2m
(t
(t
2m n) 2m n)
记S
2m
在S 2m1
中的正交补为V2m
，则
V2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m或 2m1}
R
d j,k
f (t), j,k (t)
f (t)2 j/2 (2 j t k)dt
§4 正交小波基与多分辨分析
正交小波 多分辨分析 小波函数和小波空间 信号空间L2(R)的分解 双尺度方程 标准正交小波基的构造 滤波器系数h(k)和g(k)的性质 Mallat快速算法 紧支集正交小波的性质
2021/4/22
1
正交小波
定义：
j
设有允许小波 (t)，记 j,k (t) 22 (2 j t k)，其中
2021/4/22
图4-1
13
双尺度方程
双尺度方程描述了两个相邻尺度空间V
j和V
j
1函数、相邻尺度空间V
j
1和W
的基函数
j
j1,k , j,k和 j,k之间的内在联系。
由于V0 V1，W0 V1，所以(t)， (t)也属于V1空间，可以用 1,k(t)来线性表示
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究正交小波的多分辨分析是一种信号处理技术，它可以将信号分解成多个不同频率的子信号，并对每个子信号进行独立的分析和处理。
正交小波变换是现代信号处理的重要工具，在图像处理、音频压缩、数据压缩等领域有广泛的应用。
在多尺度分析中，常用的方法是通过卷积运算来实现。
卷积运算可以将信号与一个特定的函数进行相乘，从而实现对信号的模糊处理。
通过改变卷积函数的尺度，可以得到不同尺度的模糊信号。
多尺度分析的关键是选择合适的卷积函数，常用的选择包括高斯函数、哈尔函数等。
小波变换是在多尺度分析的基础上进行的，它将信号分解为不同频率的子信号。
小波变换的核心是选择合适的小波函数。
常用的小波函数有哈尔小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
小波函数具有良好的局部性质，可以在时域和频域上同时表达信号的时频特性。
在实际应用中，正交小波的多分辨分析可以用于信号去噪、图像压缩、边缘检测等领域。
在信号去噪方面，正交小波变换可以将信号分解为不同尺度的子信号，并对每个子信号进行去噪处理。
在图像压缩方面，正交小波变换可以将图像分解为不同频率的子图像，并对每个子图像进行压缩处理。
在边缘检测方面，正交小波变换可以提取图像中的边缘信息，并进行分析和处理。
正交小波的多分辨分析是一种有效的信号处理技术，具有良好的时频局部性和多分辨特性。
它在许多领域的应用已经得到了广泛的认可和应用。
正交小波的多分辨分析也存在一些问题，如计算复杂性较高、选取合适的小波函数等。
未来的研究可以进一步改进正交小波的多分辨分析算法，使其更适用于实际应用。
第四章 多分辨率分析与正交小波变换1
第四章 多分辨率分析与正交小波变换据第三章，构造正交基的一般方法为，在离散框架的基础上，取1,20=∆=τa 则()n t t m mn m -=--22)(2,ψψ； Z n m ∈, （4.1）问题：（1） 按上式离散得到的系列n m ,ψ能否构成一个正交基？ （2） 如何构造这样的母函数)(t ψ？ 解决方法：多分辨率分析4.1 几种正交小波基（1）Haar 小波数学家A.Haar 于1910年提出的Haar 系()),(22)(2,Z n m n t h t h m m n m ∈-=--是由母函数生成的。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=其它12112/101)(x x t h （4.2）特点：同一尺度m 上，函数集合Z n n m t h ∈)}({,中任意两个函数的支集不相交；同一尺度上的基函数相互正交；不同尺度间的基函数正交；n m h ,构成了)(2R L 空间上的完备标准正交基； Haar 系的函数时域不连续，光滑性差； 频域随ω的衰减速度仅为ω1，频域局部性差。
实际应用受限制，但结构简单，常用于理论研究。
（2）Littlewood-Paley 小波)sin 2(sin 1)(t t tt πππψ-= （4.3）其傅里叶变换为⎩⎨⎧≤≤=ψ，其他02,1)(πωπω （4.4）将式（4.3）的)(t ψ按照式（4.1）进行平移和伸缩得到的Z n n m t ∈)}({,ψ是)(2R L 空间上的完备正交基，称之为Littlewood-Paley 正交小波基。
特点：时域衰减速度仅为t1，局部性差； 频域局部性好；实际应用也受到限制。
（3）Meyer 小波Meyer 小波的小波函数ψ和尺度函数φ都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∉≤≤-≤≤-=ψ--]3π8,3π2[,03π83π4)),1π23(2πcos(e π)2(3π43π2)),1π23(2πsin(e π)2()(2/2/12/2/1ωωωνωωνωωωj j （4.5）其中，)(x v (Meyer 小波的辅助函数)为一任意连续可导函数，且满足⎩⎨⎧≤≥=0011)(x x x v ，， 1)1()(=-+x v x v (4.6) 若取)(x v 一阶连续可导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤=11102sin 00)(2x x xx x v π （4.7）则)(x v 与)(ωψ的波形如图4.3所示。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种在信号处理和数据压缩领域中广泛应用的数学工具。
多分辨分析是利
用正交小波的特性，将信号分解成不同频率的子信号的过程。
本文将介绍正交小波的概念、多分辨分析的原理以及相关的研究进展。
正交小波是一组具有正交性质的函数，可以用于将信号进行分解和重构。
正交小波的
定义要求每个波形函数在[-∞, +∞]范围内的积分等于0，并且每个波形函数与其他波形
函数的积分等于0。
这样的性质使得正交小波能够对信号进行有效的分解和重构。
多分辨分析是一种利用正交小波进行信号分解的方法。
该方法通过将信号从高频到低
频分解成不同频率的子信号，从而提供了多尺度的信号分析能力。
在每个尺度上，信号的
细节部分和近似部分可以被提取出来。
这种分解过程可以重复多次，从而实现更高分辨率
的频域分析。
在多分辨分析中，常用的正交小波包括哈尔小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些正交小波具有不同的性质，适用于不同类型的信号。
近年来，多分辨分析在信号处理、图像处理和数据压缩等领域得到了广泛的应用。
它
可以用于信号降噪、图像压缩、特征提取等任务。
研究者们致力于开发新的正交小波函数，研究多分辨分析的理论和算法，并探索其在各个领域的应用。
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可放宽为Reisz基，因为由Reisz 基可构造出一组正交基来
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一致单调性
V V1 V0 V1 V
V3 V2 V1 V0
V1 V2
V3
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不同尺度的分辨率
0
0 V1 V0 V1 L2 R
多分辨率分析与正交离散小波变换
阳建宏
北京科技大学
2019/4/23
主要内容
连续小波与离散小波 多分辨率分析与离散正交小波
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连续小波变换的不足
WT (a, ) 1 f (t) (t )dt
a
a
连续小波变换(CWT)：尺度a 及时间τ的取值连续变化
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框架、Riesz基、正交基
用基底表示函数的展开
回顾三维矢量空间R3中，任何一个非零矢量M
可表示为
i
M
[ x,
y,
z
]
j
k
将此概念推广到泛函分析中
设en x为H中的线性无关的函数序列，若g(x) H ,有
g(x) anen
DWT
DWT
冗余
无冗余
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Haar小波
1, 0 t 1/2 (t) -1, 1/2 t 1
0, others
Haar小波构成了L2(R)上 的完备正交基
时域上不连续 频域上局部性差 常应用于理论研究中
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框架
设H为希尔伯特空间，{ j} 为H中的一个函数序列，若对于任 意 f H ，存在0 A B ，使得下述不等式成立：
A f 2
2
2
f , j B f
则称 { j}为一个框架，A、B分别为框架的上下界
紧框架
可以简单理解为：一组基，正交的或非正交的
小波基？
Meyer小波
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其他正交小波
在多分辨率理论出现以前，还构造出了其他的 正交小波
Strombery小波
Battle-Lemarie小波
Battle-Lemarie
1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架
统一了在此之前的小波构造 提供了构造新的小波基方便的工具
当小波基函数满足此不等式时，
小波系数可重构回原函数，此
时称
为小波m,框n 架
满足了框架条件必然满 足了可容许条件
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信号的重构---如何进行离散小波逆变换？
若离散小波序列 {m,n (t)}m,nZ 构成一个框架，其上、 下界分别为A和B，则当A=B时(紧框架)，由框架 概念可知离散小波变换的逆变换为
H空间
框架 Riesz基 正交基
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框架、Riesz基、正交基
不为框架不能
表示，如平面
需要说明的几个问题
中的一个向量 不是框架
1、当en x为框架时，对g(x) H ,可表示为：g(x) anen
n
但系数an是不唯一的
en x为基时,系数唯一
f (t) m,n
f , m,n
m,n (t)
1 A
WTf
m,n
(m, n) m,n (t)
当A≠B，而A、B比较接近时，重建公式近似为
f (t) m,n
f , m,n
m,n (t)
2 A B
WTf
m,n
(m, n) m,n (t)
A与B愈接近，重建误差就愈小
若前后能量相等，即A=B=1,则为标准离散正交小波基 A、B相差很大，则为非紧框架，反变换不能直接应用 A、B比较接近，则为几乎紧框架，实际中常用
120° 120°
平面空间中的三个互成120度的基e1,e2,e3 构成二维空间中的紧框架
证明
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小波分析中的框架
en(x), g(x)
g(x) g(x), en (x) en (x)
n
n
g(x),en(x) , en(x), g(x)
不为正交基，
这时才有Parseval等式不相关等系，？其它
n
2
g ( x), en ( x)
g(x) 2
2
g(x), en (x)
n
g(x) a1
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把尺度理解为照相机的 镜头，当尺度由小到大 变化时，相当于将镜头 由近及远地远离目标。 在小尺度空间里，可观 测到目标的细微部分； 在大尺度空间里，可观 测到目标大致的概貌。
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多分辨率分析的定义
多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子 空间 {Vj}, j Z
基本小波 { j} 经伸缩和平移引出的函数族，
满足
A
f
2
f , j
2
B
f
2
，则称
{ j} 为小波框架
小波进行重构的基本条件
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信号的重构---如何进行离散小波逆变换？
连续小波变换的逆变换
1
x(t) C
da 0 a2
WT (a, )
R
1 (t )d aa
(w) 2
R w dw
只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换
离散小波变换的逆变换
不是所有的小波基函数经任意的离散方式后都能保证可以 由小波变换系数重构回原函数
逆变换的条件
A f 2
f , m,n
2
B
f
2 , A, B R
m,n
计算量很大
•不丢失原信号的信息 •减小计算量
•对尺度因子和平移 因子进行适当的离散
连续的时间-位移相 平面变成离散的点
012 3 4 5 6
1
7 kTs
2
3
j ln 2
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离散小波变换
只对尺度离散 位移仍然连续
尺度和位移都 离散
连续小波
二进小波
小波基函数非正交
离散小波
小波基函 数正交
非正交离散小波
正交离散小波
小波母函数
光滑性好 对称性好 紧支性好
计算量
相对非正交小波更小
小波变换系数
无冗余
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小波的数学基础---框架
框架与信号的分解、重构密切相关
n
且系数an是唯一的，则称en为空间H的一个基
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框架、Riesz基、正交基
g(x) anen
n
如果基底满足
g(x) 2 g(x), g(x)
0, m n
en (x),em(x) 1, m n
此时基底为标准（规范）正交基
，此n 时g(x有),e：n(x)
一致单调性 V V1 V0 V1 V
渐近完全性 伸缩规则性
dense
Vj L2 (R)
j
f Vn
Vj {0}
j
f (2n t) V0
平移不变性 Z
正交基存在性 ψV0 使得{ψ(tn):nZ}是V0的
a2
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框架、Riesz基、正交基
框架、紧框架
A g(x) 2 g(x),en(x) 2 B g(x) 2 n
若A g(x) 2
g(x), en (x)
2
B
g(x) 2
n
A、B为正常数，称 en x为H中的一个框架
若A=B，称为紧框架，此时，转换前后能量固定为一放大倍数 若A=B=1，则为正交基，即为Parseval等式
小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函
数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。
显然，当离散相差很近时，分解存在极大冗余（但 带来的好处是显微镜特点和相似性检测能力 ），此时 就不再属于传统的正交分解，而涉及到框架。
定量描述上述冗余性和相关性——再生核（重建核）
K
(a1,1,
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小结
连续小波离散小波的关键问题：
离散的方式 尺度因子、平移因子 离散后构成框架、Reisz基或正交基 信号的重构
母小波的构造
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主要内容
连续小波与离散小波 多分辨率分析与离散正交小波
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2
A cj
cjgj B cj
j
j
j
规范正交基是A=B=1的Riesz基 对于Riesz基，计算是数值稳定的 Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基
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框架、Riesz基、正交基