(最终合成版)数学物理方程复习

（C） 2 2 1211221211222 12 11221200 Aaaa Baaa Caaa D b b c -=->-<-=、、、、 7、边界条件属于第一类边界条件是（ A ） 0000 0000000x x x l x l x t x x x t x l x l u u A B u u u u u C D u u u u ================、 、 、、 8、边界条件属于第二类边界条件是（ C ） 0000 00000x x x l x l x t x x x t x l x l u u A B u u u u u C D u u u u ================、 、 、、
CPxPxPxPx D P x P x P x P x P x +++++++++++++++、、、、 16、以勒让德多项式为基，在区间[-1,1]，3()234f x x x =++ 的展开式是（ A ） 01302602313 4214 4()()())55214 ()()() 55 144 ()()()575148()()()5535A P x P x P x B P x P x P x C P x P xPxDPxPxPx+ +++++++、、4、、 17、1 01()P x dx -?的值是（ B ） ABCDπ 、、2、1、2 18、111 ()P x dx -?的值是（ D ） ABCDπ 、2、2、1、0 19、方程 22
sin (sin )()cos(2)cos (2) 2424 1111cos(4)311cos(2)cos(2)cos(4)4242828311 ()sin cos(2)cos(4) 828 x x x x x x x x x f x x x x -===-++=-+?=-+==-+解：所以有： 2、在区间(0,)l 上定义函数()f x x =，试根据边界条件(0)0f = 和()0f l =，把函数()f x 展开为傅里叶级数。 1 1 011()()-,()sin 22sin (1)2(1)()sin (0) kklkkkkfxfxllkxfxblklbdllklkx f x x l k l ππξξξπππ∞ =++∞====--=?<<∑?∑解；由边界条件可知，必须把作奇延拓。 使在区间()上成为奇函数。于是有 其中则有 3、在 00x =的邻域上求解微分方程 20y y ω''+=（ω是常数）。 22023012302222223201232230()0(),0++2132+(1)n k n k n k k kkyypxqxxyaxaaxaxaxaxyaaxaxax a x y a a x k k a x ωωωωωωωω∞ =-''+======+++++=+++++''=?+?+?-+∑解：对于方程，有，所以， 是常点。微分方程的解可设为：……
9、属于初始条件的表达式是（ B ） 0000 (,0)(0,)x x t x A u u B u x u C u u D u t u ======、、、、 10、属于初始条件的表达式是（ B ） 0000 (,0)(0,)x x t x A u u B u x u C u u D u t u ======、、、、 11、方程 22 22(1)0d R dR r r l l R dr dr +-+=在 0r r <的解为（ B ） 1 1 1()()1()()l l llll l A R r Cr D B R r C r r CRrD D R r Cr r ∞ +=+=+===∑、、、、
222 2[(1)]0d R dR r r k r l l R dr dr ++-+=称为（ B ） 1 2 A B C l D l +、欧拉方程 、贝塞尔方程 、阶的勒让德方程 、（）阶球贝塞尔方程 20、方程 22 222 2[(1)]0d R dR r r k r l l R dr dr ++-+=称为（ D ） A B C l D l 、欧拉方程、贝塞尔方程 、阶的勒让德方程 、阶球贝塞尔方程 21、勒让德多项式中，2(0)n P 的数值为（ C ） 22 (21)!! (2)!0
kkAyxax bx Byxax Cyxax AaxxbxDyxbx∞ ∞ ∞ ++===∞ ∞ ∞ ∑∑∑∑∑∑、、、（）、 14、000x xy xy y '''=-+=在邻域求解微分方程：，其解为（ C ） 1 1 00 1 1 00 ()()()ln ()k k kkkkkkkkkk kkkkkkk
2、非周期函数()f x 的傅里叶变换式是（ B ） 21()()cos ()()cos 21()()sin ()()sin 2()()cos ()()cos 2()()sin A f d A f d A B BfdBfdAfd CD f x A xd B f d ωξωξξωξωξξππωξωξξωξω ξξ ππξξωξωπωωω ξξωξωπ∞∞ -∞-∞∞∞ -∞-∞ ∞ ∞ -∞∞-∞? ? ==????? ? ??==??? ? ?=??=? ?=??
kkAyxax bx Byxax Cyxax AaxxbxDyxbx∞ ∞ ∞ ++===∞ ∞ ∞ ++===∞ ==+==++=∑∑∑∑∑∑∑、、、（）、 15、以勒让德多项式为基，在区间[-1,1]，43()2f x x x =+的 展开式是（ A ） 0123 40123 602341234 516448 ()()()()()55753516448()()()()()5575351448 ()()()()5753564481()()()()()575355 APxPxPxPxPx BPxPxPxPxPx
1 (-1)(2)!! 2(2!)n n n n A B C D n n -、、、、 22、勒让德多项式的母函数为（ D ） [/2] 2222 02 (22)! (2)!(1)2!()!(2)! 2(2!) 11 112cos l k lk n l nklknAxBxklklknCDr r r θ-=------+∑、、、、 三、计算题 1、把函数 4()sin f x x =展开为傅里叶级数。 4222241cos 2111
(最终合成版)数学物理方程复习
一、填空题 1、物理规律反映同一类物理现象的共同规律，称为__普遍性（共 性）_。 2、若函数 f(x)是周期性的，则可展开为___傅里叶_____级数。 3、周期性函数 f(x)为奇函数，则可展为_____正弦____傅里叶 级数。 4、在给定条件下求解数学物理方程，叫作_数学物理定解问题__。 5、方程 20tt xx u a u -=称为____波动____方程 6、方程 20t xx u a u -=称为____输运___方程 7、静电场的电场强度 E 是无旋的，可用数学表示为 ____P119_______。 8、方程 0j ??=称为___恒定电流____的连续性方程。 9、第二类边界条件，就是 _P127_____________________________________。 10 、 第 一 类 边 界 条 件 ， 就 是 ___P127___________________________________。 11、00(0,)(0,)x x u x t u x t -=+称为所研究物理量 u 的_____ 衔接条件______。 12、00(0,)(0,)u x t u x t -=+称为所研究物理量 u 的____衔 接条件________。 13、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、__抛物型___
和椭圆型。 14、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、抛物线型和 ___椭圆型___。 15、分离变数过程中所引入的常数λ不能为：负数或零甚至也不 能是任意的的正数。 16、方程中，特定的数值λ叫作本征值，相应的解叫作__本征函 数______。 17、傅里叶级数法适用于_____非齐次________方程和齐次边界 条件的定解问题。 18、分离变数法的关键是___把分离变数形式的试探解_______ 代入微分方程。 19、非齐次振动方程可采用__傅里叶级数____和冲量定理法求 解。 20、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条 件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。 21、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条 件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。 22、对于边界是圆柱型的定解问题，常采用__柱坐标___系求解。 23、对于边界是球型的定解问题，常采用__球坐标___系求解。 24、方程 22 2 22
12、方程 22 2 2(1)0d R dR r r l l R dr dr +-+=在 0r r >的解为（ C ） 1 1 1()()1()()l l llll l A R r Cr D B R r C r r C R r D D R r Cr r ∞ +=+=+===∑、、、、 13、0020x xy xy y '''=-+=在邻域求解微分方程：，其解为（ C ） 1 1 00 1 1 00 ()()()ln ()k k kkkkkkkkkk kkkkkkk
???? ??? 3、下列方程中，属于输运方程的是（ B ） 22000 tt xx t xx tt xx A u a u B u a u C u D u Eu ρ-=-=?=-=、、、、 4、下列方程中，属于稳定场方程的是（ C ） 22000 tt xx t xx tt xx A u a u B u a u C u D u Eu ρ-=-=?=-=、、、、 5、方程 1112221220xx xy yy x y a u a u a u b u b u cu f ++++++= 属于双曲型类型，则有 （B） 2 2 1211221211222 12 11221200 Aaaa Baaa Caaa D b b c -=->-<-=、、、、 6、方程 1112221220xx xy yy x y a u a u a u b u b u cu f ++++++= 属于椭圆型类型，则有
1[()]02 d R dR x x x l R dx dx ++-+=称为___L+1/2 阶的贝塞尔方程 __。 25、方程 22 222 ()0d R dR x x x m R dx dx ++-=称为_m 阶贝塞尔方程__。 26、方程()()()()()0y x p x y x q x y x '''++=，其中 0()()x p x q x 是和的常点，则其解可写成___P191_______________ 形式。 27 、 连 带 勒 让 德 函 数 的 微 分 表 达 式 为 ， ______P243________________。 28、勒让德多项式的微分达式为_________P225_____________。 29、拉普拉斯方程在球形区域的定解问题，如果是非轴对称的， 问题与__P253_ 有关，其解往往用一般的球函数表示。 30、贝塞尔函数()J x ν，当 0x →时，()v J x →___0_____。 二、单选题 1、已知函数 f(x)=x ，定义在(-π,π)，则其傅里叶级数在 x= π的数值 f(π)=___C___。 10A B C D π、、、、不存在
----=== ?-=-=+== ?-=++∞=即有： 当为偶数时，令，则: … 当为奇数时，令，则： … 于是，微分方程的解为：（级数是收敛的，收敛半径为） 242342110111111 1()()(1)()]2!4!(2)!111[()()(1)()]3!4!(21)! cos sin (1,2,3,/k k k k x x x k a x x x x k a x a x k a a ωωωωωωωωωωω +-+-+-++ -+-+-++=+==……………) 这里 4、在圆域 0ρρ<上求 0 40u u ρρ=?=-=，边界条件。 222 2 22 2222001
…… ……比较方程的各幂的系数，则有： 2 2 2 24 2 22220 2 221211 0(1) (1)(2)(3) 2(1)1,2,3,2(21) 2! 21(1)1,2,(21)2(21)! [k k k n nnnn nnnaaakkkkkkkknaaannnnkknaaan nn n y a ωωωωωωω---+-== ?