相似三角形探究题复习

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相似三角形探究题复习

1．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠= ，它们的斜边长为2，若ABC △固定不动，AFG △绕点A 旋转，AF AG ，与边BC 的交点分别为D E ，（点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE m =，CD n =．

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；

（2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围；

（3）以ABC △的斜边BC 所在直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD CE =，求出D 点的坐标，并通过计算验证222

BD CE DE +=．

（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明

理由．

解：（1）ABE DAE △∽△，ABE DCA △∽△45BAE BAD ∠=∠+ ， 45CDA BAD ∠=∠+ BAE CDA ∴∠=∠又45B C ∠=∠= ABE

DCA ∴△∽△ （2）ABE DCA △∽△BE BA CA CD ∴=

由依题意可知CA BA ==n =2m n ∴= 自变量n 的取值范围为12n <<

（3）由BD CE =可得BE CD =，即m n =

2m n = m n ∴==112

OB OC BC ===1OE OD ∴==(1D ∴ 11)2BD OB OD CE ∴=-=-==，222(22DE BC BD =-=-=

222222(212BD CE BD +===- 222)12DE ==-222BD CE DE +=

（4）成立

证明：如图，将ACE △绕点A 顺时针旋转90

至ABH △的位置，

则CE HB =，AE AH =，45ABH C ∠=∠= ，旋转角90EAH ∠= ．

连接HD ，在EAD △和HAD △中 AE AH = ，45HAD EAH FAG EAD ∠=∠-∠==∠ ，AD AD =EAD HAD ∴△≌△

DH DE ∴=又90HBD ABH ABD ∠=∠+∠= 222BD HB DH ∴+=即222BD CE DE +=

2．点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意两点，在直线n 上找一点C ，使BC ＝k AB ，连结AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF ＝∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．

（1）如图1，当k ＝1时，探究线段EF 与EB 的关系，并加以证明；

说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程（要求至少三步）；②在完成①之后，可以自己添加条件（添加的条件限定为∠ABC 为特殊角），在图2中补全图形，完成证明（选择添加条件比原题少得3分）．

（2）如图3，若∠ABC ＝90°，k ≠1，探究线段EF 与EB 的关系，并说明理由．

E H A C G E

F B D A C

G E F B D 图1 图2

A B C E F m n m n n m F E C B A 图1 图2 图3

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解：（1）EF EB =．证明：如图1，以E 为圆心，EA 为半径画弧交直线m 于点M ，

连结EM ．EM EA ∴=，EMA EAM ∴∠=∠．

BC kAB = ，1k =，BC AB ∴=．CAB ACB ∴∠=∠．

m n ∥，MAC ACB ∴∠=∠，FAB ABC ∠=∠．MAC CAB ∴∠=∠．

CAB EMA ∴∠=∠．BEF ABC ∠=∠ ，BEF FAB ∴∠=∠． AHF EHB ∠=∠ ，

AFE ABE ∴∠=∠．AEB MEF ∴△≌△． EF EB ∴=．

探索思路：如图2，BC kAB = ，1k =，BC AB ∴=． CAB ACB ∴∠=∠．m n ∥，MAC ACB ∴∠=∠． 添加条件：90ABC ∠= ．

证明：如图2，在直线m 上截取AM AB =，连结ME ．

BC kAB = ，1k =，BC AB ∴=．90ABC ∠= ，45CAB ACB ∴∠=∠= ，

m n ∥，45MAE ACB CAB ∴∠=∠=∠= ，90FAB ∠= ．AE AE = ，

MAE BAE ∴△≌△．EM EB ∴=，AME ABE ∠=∠．90BEF ABC ∠=∠= ，

180FAB BEF ∴∠+∠= ．180ABE EFA ∴∠+∠= ．又180AME EMF ∠+∠= ，

EMF EFA ∴∠=∠．EM EF ∴=，EF EB ∴=．

（2）1EF EB k

=．说明：如图3，过点E 作EM m ⊥，EN AB ⊥，垂足为M N ，． 90EMF ENA ENB ∴∠=∠=∠= ．m n ∥，90ABC ∠= ，90MAB ∴∠= ．

∴四边形MENA 为矩形．ME NA ∴=，90MEN ∠= ．

90BEF ABC ∠=∠= ．MEF NEB ∴∠=∠．MEF NEB ∴△∽△．

ME EF EN EB

∴=．AN EF EN EB ∴=． 在Rt ANE △和Rt ABC △中，tan EN BC BAC k AN AB

∠===，1EF EB k ∴=． 3．操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，

请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形． 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．

探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF CF ，之间的等量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE BC ，相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且:1:2B E E C =，BAE EDF ∠=∠，CF AB ∥．若

51AB CF ==，， 求DF 的长度．

解：（1）画图略（2）结论：AB AF CF =+证明：分别延长AE DF ，交于点M E ∵为BC 的中点BE CE =∴AB CD ∵∥BAE M ∠=∠∴， 在ABE △与MCE △中BAE M AEB MEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE MCE AAS ∴△≌△

AB MC =∴又BAE EAF ∠=∠∵M EAF ∠=∠∴M F AF =∴

又MC MF CF =+∵AB AF CF =+∴（3）分别延长DE CF ，交于点G AB CF ∵∥ B C ∠=∠∴，BAE G ∠=∠ABE GCE ∴△∽△AB BE GC EC =∴又12BE EC =∵12AB GC =∴ 5AB =∵10GC =∴1FC =∵9GF =∴AB CF ∵∥BAE G ∠=∠∴ 又BAE ED F ∠=∠∵G EDF ∠=∠∴GF DF =∴ 9DF =∴．

图2 A B C M E n F 图3

A B C M E N n F 图1 A B C M E

H F m n Ｐ Ｏ

Ｍ Ｎ Ｑ 图Ａ Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ 图② Ｄ

Ａ Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ 图③ 图③ Ｄ A Ｂ Ｅ

Ｆ Ｃ G A Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ Ｄ 图② M