自主招生数学复数第二讲(枣庄八中陈文)

复数方法第二讲

(枣庄八中陈文2013-12-11)

考点一：复数语平面图形的旋转

1. 一般地，设曲线C ：F （x,y ）=0绕原点按逆时针方向旋转θ角得到曲线τ。设曲线上任意一点P （x ，y ）是有曲线C 上某点P ’（x ’，y ’）旋转得到，则x+yi=（x ’+iy ’）(cos θ+isin θ).

2. 例题：.将复数5z (sin80sin10)i =︒+︒所对应的向量逆时针旋转010后，所得向量对应的复数为（ ）

A.122-+

B. 122-+

C. 122-

D. 122

+ （2013年复旦大学）

3.针对性训练：

（1）复数11)z i =+顺时针旋转15︒后所得复数的辐角主值是多少 ？

（2）平面坐标系逆时针旋转θ，求原坐标中点P(x,y)在新坐标系下的坐标'(',')P x y 。 (2008年中国科技大学)

考点二：单位根及应用

1、对于方程*

10(,2)n x n N n -=∈≥，由复数的开方法则可以得到它的n 个根22cos

sin (0,1,2,....,1)n k k k i k n n

ππε=+=-它们显然是1的n 次单位根。利用复数棣莫弗公式，有122(cos sin )k k k i n n ππεε=+=。 这说明n 个n 次单位根可以表示为1，1ε，21ε，………, 11

n ε-.

2.对于n 次方根有如下一些性质：

（1）|k ε|=1（k N ∈）；

（2）j εk ε=j k ε+（,j k N ∈）；

（3）1+1ε+21ε+………+11n ε-=0（2n ≥）.

（4）设m 是正整数，则1231,n 1..........0m n m m m m n n m εεεε-⎧+++++=⎨⎩当是的倍数时

，当不是的倍数时。

3.例题：1P ，2P ，………，7P 为单位圆内接正七边形顺次7个顶点，则|1P 2P |2+|1P 3P |2+….+

|1P 4P |2= . (2012年南开大学数学试题)

4.针对性训练：

（1）求

2(1)

sin sin (i)

n

n n n

πππ

-

的值. (2011年清华大学金秋夏令营)

5.变式训练：

求

2

cos cos......cos

212121

n

n n n

πππ

+++

的值.