新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 知识点易错点解题方法提炼汇总

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -

3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -

3.1.2函数的表示法(1) ......................................................................................... - 7 -

3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 13 -

3.2函数的基本性质................................................................................................... - 18 -

3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 18 -

3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 22 -

3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 29 -

3.3幂函数 .................................................................................................................. - 35 -

3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 40 - 3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

知识点一函数的概念

y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2

x中x与y的对应关系相同吗？

知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．

(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

知识点二区间的概念

知识梳理(1)一般区间的表示

{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|a＜x＜b}开区间(a，b)

{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b)

{x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]

(2)特殊区间

定义区间数轴表示

{x|x≥a}[a，＋∞)

{x|x＞a}(a，＋∞)

{x|x≤b}(－∞，b]

{x|x＜b}(－∞，b)

R(－∞，＋∞)

解题方法探究

探究一函数关系的判断

[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()

A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值

[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A

(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()

[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．

[答案] D

1．判断一个对应是否是函数的方法

2．根据图形判断对应是否为函数的步骤

(1)任取一条垂直于x轴的直线l.

(2)在定义域内平行移动直线l.

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：

探究二求函数的定义域

[例2](1)函数y＝

2

1－1－x

的定义域为()

A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]