新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质知识点易错点解题方法提炼汇总

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -

3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -

3.1.2函数的表示法(1) ......................................................................................... - 7 -

3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 13 -

3.2函数的基本性质................................................................................................... - 18 -

3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 18 -

3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 22 -

3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 29 -

3.3幂函数 .................................................................................................................. - 35 -

3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 40 - 3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

知识点一函数的概念

y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2

x中x与y的对应关系相同吗？

知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．

(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

知识点二区间的概念

知识梳理(1)一般区间的表示

{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|a＜x＜b}开区间(a，b)

{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b)

{x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]

(2)特殊区间

定义区间数轴表示

{x|x≥a}[a，＋∞)

{x|x＞a}(a，＋∞)

{x|x≤b}(－∞，b]

{x|x＜b}(－∞，b)

R(－∞，＋∞)

解题方法探究

探究一函数关系的判断

[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()

A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值

[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A

(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()

[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．

[答案] D

1．判断一个对应是否是函数的方法

2．根据图形判断对应是否为函数的步骤

(1)任取一条垂直于x轴的直线l.

(2)在定义域内平行移动直线l.

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：

探究二求函数的定义域

[例2](1)函数y＝

1－1－x

的定义域为()

A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]

C ．(－∞，0)∪(0,1)

D ．[1，＋∞)

(2)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )

A ．[－3,1]

B ．(－3,1)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－∞，1]

(3)函数y ＝(x ＋1)0

|x |－x 的定义域是( )

A ．{x |x ＞0}

B ．{x |x ＜0}

C ．{x |x ＜0，且x ≠－1}

D ．{x |x ≠0，且x ≠－1}

(4)已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为________．

[解析] (1)由???

1－x ≥0，1－1－x ≠0

解得???

x ≤1，

x ≠0.故选B.

(2)由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.

(3)∵??? x ＋1≠0，|x |－x ＞0，∴??? x ≠－1，|x |＞x ，∴???

x ≠－1，

x ＜0.

故选C.

(4)由题意知0＜y ＜10，即0＜10－2x ＜10，解得0＜x ＜5.又底边长y 与腰长x 应满足2x ＞y ，即4x ＞10，x ＞52.综上，5

2＜x ＜5.

[答案] (1)B (2)A (3)C (4)? ??

52，5

求函数定义域的实质及结果要求

(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．

(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． (3)一般地，形如y ＝f (x )，则f (x )≥0，形如y ＝

f (x )

，则f (x )≠0，

形如y ＝(f (x ))0，则f (x )≠0.

探究三求函数值问题 [例3] [教材P 65例2拓展探究] (1)若函数f (x )＝x ＋3＋1

x ＋2

，求f (f (－3))的值． [解析] ∵f (－3)＝－1. ∴f (f (－3))＝f (－1)＝－1＋3＋1

－1＋2

＝2＋1. (2)若函数f (x )＝x ＋3＋

x ＋2

，求f (x －1)的定义域． [解析] 法一：f (x －1)＝x －1＋3＋1x －1＋2＝x ＋2＋1

x ＋1

∴??? x ＋2≥0，

x ＋1≠0， ∴???

x ≥－2，x ≠－1.

定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．

法二：∵f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}， ∴f (x －1)的定义域为x －1≥－3且x －1≠－2. 即{x |x ≥－2且x ≠－1}． (3)若函数f (x )＝x ＋3＋

x ＋2

，设g (x )＝x 2－3，求f [g (x )]． [解析] 首先g (x )≥－3，且g (x )≠－2，即x 2－3≥－3且x 2－3≠－2， ∴x ≠±1.

∴f [g (x )]＝g (x )＋3＋

1g (x )＋2＝x 2＋1x 2－1＝|x |＋1

x 2－1

∴f [g (x )]＝|x |＋1

x 2－1

(x ≠±1)．

函数求值的方法及关注点

(1)方法：

①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．

②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．

(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．

易错点归纳

一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题

所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．

1．定义域问题

求抽象函数定义域的原则及方法

(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．

(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；

②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．

[典例](1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；

(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．

[解析](1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．

(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，

所以－1≤2x－1＜1.

故f(x)的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x＜1.

解得0＜x≤2

3，所以f(1－3x)的定义域为?

0，

2．求值问题

充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．

[典例]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，

则f (－3)等于( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

[解析] f (1)＝f (1＋0)＝f (1)＋f (0)＋2×1×0＝f (1)＋f (0)，得f (0)＝0；又f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋2－2＝f (－1)，得f (－1)＝0；f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；

f (－3)＝f (－2－1)＝f (－2)＋f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6. [答案] C

点评求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式．二、求定义域时盲目化简

[典例] 求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1

－1－x 的定义域．

[解析] 要使函数有意义，须???

1－x ≥0，

x ＋1≠0，得x ≤1且x ≠－1

定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．

纠错心得从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y ＝x ＋1－1－x ，求定义域更简单.1－x ≥0得x ≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．

3.1.2 函数的表示法(1)

知识点函数的三种表示方法

比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

知识梳理解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系．这三种方法是常用的函数表示法．

解题方法探究

探究一列表法表示函数

[例1](1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：

(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.

(3)

如表：

则方程g(f(x))＝x

[解析](1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．

(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．

当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．

当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为?.

当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为?.

综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．

(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；

当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；

当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，

综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．

[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}

列表法表示函数的相关问题的解法

解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．

探究二函数的图象及应用

[例2](1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是()

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．

[答案] A

(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.

①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．

②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．

③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．

[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x ＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，

画出此函数的图象，如图所示：

②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．

③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．

作函数图象的基本步骤

利用图象认识函数

左右看范围→函数的定义域

上下看范围→函数的值域

左右看变化→函数值随x的变化情况

探究三求函数解析式

[例3](1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．[解析]设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，

∴k2x＋kb＋b＝16x－25.

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结（1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点（5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值

③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为。解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾；当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

高中数学知识点易错点梳理

高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数 1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3．集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、互互互为互否逆逆否否否否否否互逆原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0(