第三章 杆件的应力与强度计算(拉伸杆).
材料力学章节重点和难点
材料力学章节重点和难点第一章绪论1．主要内容：材料力学的任务；强度、刚度和稳定性的概念；截面法、内力、应力，变形和应变的基本概念；变形固体的基本假设；杆件的四种基本变形。
2．重点：强度、刚度、稳定性的概念；变形固体的基本假设、内力、应力、应变的概念。
3．难点：第二章杆件的内力1．主要内容：杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力计算；杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。
2．重点：剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。
3. 难点：绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系。
第三章杆件的应力与强度计算1．主要内容：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算；梁弯曲时切应力和强度计算；剪切和挤压的实用计算方法；胡克定律和剪切胡克定律。
2．重点：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算。
3．难点：圆轴扭转时切应力公式推导和应力分布；梁弯曲时应力公式推导和应力分布；第四章杆件的变形简单超静定问题1．主要内容：拉（压）杆的变形计算及单超静定问题的求解方法；圆轴扭转的变形和刚度计算；积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。
2．重点：拉（压）杆的变形计算；；圆轴扭转的变形和刚度计算；叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。
3．难点：积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定结构。
第五章应力状态分析? 强度理论1．主要内容：应力状态的概念；平面应力状态分析的解析法和图解法；广义胡克定律；强度理论的概念及常用的四种强度理论。
2．重点：平面应力状态分析的解析法和图解法；广义虎克定律；常用的四种强度理论。
3．难点：主应力方位确定。
第六章组合变形1．主要内容：拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、扭转与弯曲组合变形的强度计算；2．重点: 弯扭组合变形。
3．难点：截面核心的概念第七章压杆稳定1．主要内容：压杆稳定的概念；各种支座条件下细长压杆的临界载荷；欧拉公式的适用范围和经验公式；压杆的稳定性校核。
杆件应力及强度计算
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
机械基础(多学时)第3版 第三章 机械构件的强度与刚度
如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它 们的受力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布 的，横截面上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力 （N），A表示横截面积（mm2），则应力σ(MPa)的大小 为
二、轴向拉伸和压缩时的内力 零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位
置的变化，材料内部会产生一种附加内力，力图使各质点 恢复其原来位置。附加内力的大小随外力的增加而增加， 当附加内力增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在 研究零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面的 讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。
2．虎克定律 实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某
一限度时，轴线变形Δl与轴向载荷FN及杆长l成正比，与杆 的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即
引进比例常数E，则有
比例常数E称为弹性模量，其值随材料不同而异。 则有
σ = Eε 上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述 为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。
根据拉伸过程中试样承受的应力 和产生的应变 之间 的关系，可以绘出该金属的 曲线。
图3-5 低碳钢拉伸试验曲线（R-ε曲线)
通过对低碳钢的 曲线分析可知，试样在拉伸过 程中经历了弹性变形（oab段）、塑性变形（bcde段） 和断裂（e点）三个阶段。
弹性变形阶段，试样的变形与应力始终呈线性关系。 应力Rb称为塑性延伸强度 。图中直线oa的斜率就是材料 的弹性模量E。
第三章 机械构件的强度与刚度
第一节 准备知识
一、内力、截面法
1. 内力
(参考资料)材料力学72-必做题
第二章杆件内力与内力图２－２（b）、（d）、（g）试作图示各杆的轴力图，并确定最大轴力| F N |max 。
２－３（b）试求图示桁架各指定杆件的轴力。
２－4（c）试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max 。
２－5图示一传动轴，转速n ＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、D均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。
（1）试绘该轴的扭矩图。
（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。
2－8（a）、（c）、（e）、（g）、（h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。
作剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值。
2－9（a）、（c）、（d）、（f）、（g）、（i）、（k）、（l）、（m）试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值，并用微分关系对图形进行校核。
2－10设梁的剪力图如图（a）(d)所示(见教材p39)。
试作弯矩图和荷载图。
已知梁上无集中力偶。
2－11（b）试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。
2－6一钻探机的功率为10 kW，转速n =180 r/min。
钻杆钻入土层的深度l= 40m。
若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。
2－14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P＝12kN，试绘出横梁AB的内力图。
第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3－1图示圆截面阶梯杆，承受轴向荷载F1＝50kN与F2的作用，AB与BC段的直径分别为d1＝20mm与d2＝30mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求荷载F2之值。
3－5变截面直杆如图所示。
已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。
求杆的总伸长量。
3－7图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量E＝210GPa ，已知l ＝1m，A1＝A2＝100mm2，A3＝150mm2，F P＝20kN 。
轴向拉伸和压缩—拉(压)杆的强度计算(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
例7-12 图示三角支架，在节点A处受铅直荷载FP作用。已 知AB为圆截面钢杆，直径d=30mm，许用应力[σ]=160MPa， AC为正方形木杆，边长a=100mm，许用压应力[σc]=10MPa试 求许用荷载［ FP ］。
解 （1）计算杆的轴力
由∑Fy=0 －FNACsin30°－FP=0
A FNAB 63 103 mm2 393.8mm2
[ ] 160
轴向拉伸与压缩
当拉杆选用角钢时，每根角型的最小面积应为
A1
A 2
393.8 2
mm 2
196.9mm2
查型钢表，选用两根25×4的2.5号等边角钢。
A1=185.9mm2 故此时拉杆的面积为
A=2×185.9mm2=371.8mm2＞370.6mm2 满足强度要求。
材料的安全系数比塑性材料的大。建筑工程中，一般，取nS =1.4～1.7，nb=2.5～3.0。
轴向拉伸与压缩
3. 强度条件 为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地
使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料 的许用应力，即
σmax≤[σ]
塑性材料： 脆性材料：
max
FN max A
解（1）先求支座反力。
FAy = FBy= 0.5q l = 0.5×10×8.4 = 42kN
轴向拉伸与压缩
（2）再求拉杆的轴力。
用截面法取左半个屋架为研究对 象，如图示。
由 MC 0
FNAB
h
FAy
l 2
q
l 2
l 4
0
FNAB
42 42 10 4.2 2.1 kN 1.4
63kN
（3）校核拉杆的强度。
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
第三章应力与强度计算.
第三章杆件的应力与强度计算一.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。
1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。
1.3理解许用应力、安全系数和强度条件，熟练计算强度问题。
2.扭转变形2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。
2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。
2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。
3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。
4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。
5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。
3.1 引言本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。
3.2 拉压杆的应力与应变一．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。
根据平面假设得知，横截面上各点正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。
2）由静力平衡条件确定σ的大小由于dN=σ⋅dA，所以积分得则式中：σ—横截面上的正应力FN—横截面上的轴力A—横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。
3）正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度ρ）时，有FN=⎰σdA=σA Aσ=FN Aσx=FNx Ax其中FN=P+ρAx⋅x若不考虑自重，则FNx=P对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。
而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。
例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2P=130kN，α=30 。
第三章 杆件横截面上的应力
ydA
A
E
y2dA EIZ
A
结论 1.中性轴过截面形心
2. 1 M Z
EIZ
3. M z y
Iz
目录
M m
M n
中性轴
z
y
Mzy Iz
MZ:横截面上的弯矩
y:点到中性轴的距离
o
o
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dA
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
mn dx
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
丝中产生的最大应力。设 E 200GPa 。
解 取钢丝作为研究对象，
d 1.0005m 1m
D
max
E
ymax
200 109
0.0005 1
Pa
100MPa
目录
三、截面的几何性质
1.静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
Ip
2 dA
A
A（x2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy
xy d A
A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零
如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的 任一对正交轴的惯性积必为零。
目录
例3-6 试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。
第三章 杆件横截面上的应力
第三章 杆件横截面上的应力
❖ 第一节 应力、应变极其相互关系 ❖ 第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上
材料力学 杆件横截面上的应力1
思考：
1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊
一般
F
p
F
F
FN
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
t sin 2 s sin 2( 90） t
2 2
s
90
•
通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截 面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必 相等，而方向均指向交线或背离交线。这个规 律就称为剪应力互等定律。
剪应力（切向应力）符号规定： 剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺 时针转动趋势的为正，反之为负。
2
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
A 1
45°
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1 28.3 103 s1 90MPa A1 20 2 4
FN 1
y
F
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 10 s2 89MPa 2 A2 15
杆件的应力与强度
第3章杆件的应力与强度判断1、“轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”2、“拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。
”3、“杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上”4、“杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”5、“材料的延伸率与试件的尺寸有关。
“6、“没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2％应变时的应力作为屈服极限。
“7、“构件失效时的极限应力是材料的强度极限。
”8、“对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。
”9、“直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。
”10、“塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂”11、“对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上”12、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。
”13、“圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“14、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。
”15、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。
”16、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。
”17、“剪应力互等定理只适用于纯剪状态”18、“传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大”19、“受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关”20、“普通碳钢扭转屈服极限τs=120MPa，剪变模量G=80GPa，则由剪切虎克定律τ=Gγ得到剪应变为γ=1.5×10-3rad”21、“一等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。
”22、“低碳钢圆柱试件受扭时，沿450螺旋面断裂。
”23、“铸铁圆柱试件受扭时，沿横截面断裂”24、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。
”25、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为W Z＝BH2/6-bh2/6”26、“控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值”27、“设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的和缩短的”28、“中性轴是梁的中性层与横截面的交线。
杆件拉伸和压缩强度计算
精选ppt
29
第四节 拉压杆的强度计算
3M23.tif
例3-5 空心圆截面杆如图3-23所示，外径D＝20mm,内径d=15mm,承 受轴向载荷F=20kN作用，材料的屈服应力σs=235MPa，安全系数n=1. 5。试校核该杆的强度。 解 杆件横截面上的正应力为
精选ppt
30
第四节 拉压杆的强度计算
例3-6 如图3-24所示桁架，由杆1与杆2组成，在节点B承受集中载 荷F作用。试计算载荷F的最大许可载荷［F］。已知杆1与杆2的横 截面面积均为A=100mm2,许用拉应力为［σt］=200MPa，许用压应力 为［σc］=150MPa。 解 1) 轴力分析：设杆1与杆2的轴力分别为FN1与FN2，则根据节点 平衡方程
精选ppt
16
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、低碳钢拉伸时的力学性能
精选ppt
17
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
图3-13 F-ΔL曲线
精选ppt
18
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
图3-14 低碳钢应力-应变曲线
精选ppt
19
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
3M14.tif
精选ppt
31
第四节 拉压杆的强度计算
3M24.tif
2)确定F的许用值：杆1的强度条件为
精选ppt
32
(1)弹性阶段 图中OA′为一直线，说明应力与应变成正比，OA′直线
的倾角为α，斜率为tanα=σ/ε=E，即材料的弹性模量。
精选ppt
20
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
(2)屈服阶段 当应力超过弹性极限σe后，图上出现接近水平的小锯 齿形线段BC，说明此时应力虽然有波动，但几乎没有变化，而变形 却急剧增加，材料失去抵抗变形的能力。 (3)强化阶段 超过屈服阶段后，图3-14上出现上凸的曲线CD，表明 若要使材料继续变形，还需要增加应力，即材料重新产生抵抗变形 的能力，这种现象称为材料的强化，CD段对应的过程称为材料的强 化阶段，其最高点D对应的应力值σb，称为抗拉强度(强度极限)，它 是材料所能承受的最大应力。 (4)缩颈断裂阶段 从D点开始，在试样较薄弱处的横截面发生急剧 的局部收缩，出现颈缩现象(图3-16)。
杆件横截面上的应力、材料力学
应力集中
应力集中 应力集中系数
max K m
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm 截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
法国力学家 圣维南
Saint-Venant (1797~1886 )
思考： 1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊 一般
F
p
F
F
F N
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
2、正应变和切应变
线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应变” ( Normal Strain ) 和 “切应变”(Shearing Strain), 分别用 和 表示。
x
dx
x
x
u
x
u+du
( 直角改变量 )
3、胡克定律(Hooke’s law)
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。
如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。
这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。
本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。
一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。
当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。
p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。
称为正应力，称为切应力。
在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。
由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。
二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。
若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。
把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。
变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。
变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。
相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。
当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。
杆件的强度计算公式
杆件的强度计算公式1.应力：应力是杆件内部单位面积上的力，通常以帕斯卡（Pa）为单位。
应力被定义为负载除以横截面积。
在强度计算中，应力是一个重要的参数，用于评估杆件是否能够承受给定的负载。
2.截面形状：截面形状指的是杆件横截面的形状，如圆形、矩形、梯形等。
截面形状对杆件的强度计算有很大影响，因为不同的形状在承载能力方面具有不同的特点。
3.材料性质：杆件的材料性质包括弹性模量、屈服强度、抗拉强度等。
这些参数用于计算杆件在受力情况下的应力和应变，并评估其强度。
根据杆件的受力类型和计算方法的不同，强度计算公式可以有很多种形式。
以下是几个常见的强度计算公式示例：1.杆件的拉伸强度计算公式：拉伸强度=屈服强度/安全系数这个公式适用于纯拉伸情况下的杆件强度计算。
通常，设计中会采用一个安全系数，以确保杆件在实际应用中不会超过其屈服强度。
2.杆件的压缩强度计算公式：压缩强度=屈服强度/安全系数这个公式适用于纯压缩情况下的杆件强度计算。
与拉伸情况类似，设计中也会采用一个安全系数。
3.杆件的弯曲强度计算公式：弯曲强度=弯矩/抗弯矩弯曲强度计算涉及到杆件的几何形状和截面惯性矩等参数，以及杆件的材料性质。
通过计算弯矩和抗弯矩的比值，可以评估杆件在受弯应力作用下的强度。
此外，还有一些特殊情况下的杆件强度计算公式，如扭转、剪切、冲击等。
这些公式通常相对复杂，需要更详细的材料性质和截面形状参数。
需要注意的是，强度计算公式只是一种初步评估杆件承载能力的方法，它没有考虑杆件的缺陷、损伤和非均匀加载等因素。
因此，在实际工程中，还需要进行更为详细的强度分析和安全性评估，以确保杆件的可靠性和安全性。
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F
F
k n
p cos cos2
沿截面切线方向的剪应力 F
k
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
k
2.符号的规定(Sign convention) （1）α角 自 x 转向 n 逆时针时 为正号 顺时针时 为负号
F
§3-2
拉（压）杆的应力与应变
变形前
一、拉（压）杆横截面上的应力
受载后
F F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂 直于轴线. 2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
三、拉（压）杆的应变.胡克定律
1、纵向变形 纵向变形 纵向应变
2、横向变形
Δl l1 l Δl l
力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。
3.内力的分布 均匀分布 F
FN
4.正应力公式
FN A
拉为正 压为负
5. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
FN ( x) max max( ) A( x)
6. 公式的应用条件： 拉压直杆 杆的截面无突变 截面到载荷作用点有一定的距离
§3-1
问题提出：
引言
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
思路（“三方面”法）：变形几何关系、物理关系、静力学关系 变形几何关系：杆件的应变规律←变形规律→假设
物理关系：应力与应变间的关系
静力学关系：内力与应力的关系（内力与外力的关系） 材料的力学性能
7. Saint-Venant原理： 力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横 向尺寸的范围内受到影响<离开载荷作用处一定距离（约为横截 面尺寸），应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响> 。
Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图： P a b c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
（2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载
（3） 标准试件：采用国家标准统一规定的试件 圆截面试件：l＝10d，l＝5d
板试件（矩形截面）：
C 2 B 1 A P A1
1
C
12.98
A2
2
FN1 P A1 x1 (0 x1 l1 )
BC段：取2—2截面
BALeabharlann 12S(kN) FF N
FN2 P A1l1 A2 x2 l1 (l1 x2 l1 ) （2）计算应力 FN B 12.42 103 6 B 10 41.4 MPa 4 A1 3 10 3 FN C 12.98 10 6 C 10 32.45 MPa 4 A2 4 10 max B 41.4 MPa
F
C A
F
（2）计算σAB
AB
FN1 260 103 6 10 119.7 MPa 4 A 10.86 2 10
[例2] 起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，A2=4cm2， l1=l2=50m，P=12kN，ρ=0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求 σmax。 解：（1）计算轴力 AB段：取1—1截面
[例1] 如图所示起吊三角架，已知AB杆由2根80×80×7等边角 钢组成，F=130kN，θ ＝30°。求AB杆横截面上的应力。
解：（1）计算AB杆内力 取节点A为研究对象，
FN1
B
FN 2
α
A
由 Fy 0, 得 FN1 sin 30 F 0 FN1 2F 260kN
二、 斜截面上的应力
1. 斜截面上的应力
以 pα表示斜截面 k - k上的 F
k
F
k
应力，于是有
F p A
A A cos
F F
k
F F F p cos cos A A
Fα
k pα
k
将应力 pα分解为两个分量： 沿截面法线方向的正应力
横向变形
横向应变
3、泊松比 (Poisson’s ratio)
b b1 b b1 b Δb b b
ν 称为泊松比
4、胡克定律 (Hooke’s law)
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
Mechanics of Materials
§3-1 引言
§3-2 拉（压）杆的应力与应变 §3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §3-4 失效、许用应力和强度条件 §3-6 薄壁圆筒的扭转 §3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件 §3-8 纯弯曲时梁的正应力 §3-9 横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件 §3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件 §3-11 梁的合理设计 §3-12 剪切与挤压的实用计算 §3-13 应力集中
F
k n
拉伸为正 （2）正应力 压缩为负
F
k
k pα
x
（3）切应力 对研究对象任一点取矩 顺时针为正
pα
逆时针为负
讨
论
p cos cos2
p sin
（1）当 = 0° 时，
2
sin2
max
F k
E
FN A FN l Δl EA
Δl l
上式改写为
式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉
（压）刚度(rigidity).
§3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料的力学性能：也称为材料的机械性能，指材料在外力作
用下表现出的变形、破坏等方面的特性。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件： （1） 常温: 室温