高三数学一轮复习精品教案2：二项式定理(理)教学设计

10.7 二项式定理

考纲传真

1.能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单

问题.

1．二项式定理

(1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －

1b ＋…＋C r n a n －

r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝C r n a

n －r b r

． (3)第r ＋1项的二项式系数为C r n ． 2．二项式系数的性质

(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －

k n 的关系是C k n ＝C n －

k n ．

(2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第n

2＋1项的二项式系数最大，最大值

为C n

2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋3

2

项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n ．

(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2

n －1

．

1．(人教A 版教材习题改编)(1＋x )6的展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．20x 3 B ．15x 2 C ．15x 4 D ．x 6

『解析』 二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数最大，

∴T 4＝C 36x 3＝20x 3.

『答案』 A

2．(2012·天津高考)在(2x 2－1

x )5的二项展开式中，x 的系数为( )

A ．10

B ．－10

C ．40 D

．－40

『解析』 因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x

)r

＝C r 52

5－

r x 10－2r

(－1)r x －r ＝C r 52

5－

r (－1)r x 10－3r

，

令10－3r ＝1，所以r ＝3，

所以x 的系数为C 352

5－

3

(－1)3＝－40. 『答案』 D

3．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为( ) A ．1 B ．129 C ．128 D ．127

『解析』 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128.

令x ＝0得a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝129. 『答案』 B

4．(2012·陕西高考)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．

『解析』 (a ＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5a 5－

r x r . 当r ＝2时，由题意知C 25a 3＝10，∴a 3＝1，∴a ＝1.

『答案』 1

5．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________．

『解析』 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r . 由已知条件35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n .

n ！5！（n －5）！＝3n ！

6！（n －6）！，整理得n ＝7.

『答案』 7

(见学生用书第201页)

通项公式及其应用

已知在(3

x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．

(1)求含x 2的项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．

『思路点拨』 (1)写出通项T r ＋1，先求n ，再求含x 2的项的系数．(2)寻找使x 的指数为整数的r 值，从而确定有理项．

『尝试解答』 (1)(3

x －123x )n 的展开式的通项为

T r ＋1＝C r n x n －r 3(－12)r x －r 3＝C r n (－12

)r

x n －2r

3.

因为第6项为常数项，

所以r ＝5时，有n －2r

3＝0，即n ＝10.

令

n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝1

2

×(10－6)＝2， ∴含x 2的项的系数为C 210(－12)2＝454

. (2)根据通项公式，由题意10－2r 3∈Z ，且0≤r ≤10.

令

10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－3

2

k . ∵r ∈N ，∴k 应为偶数．

∴k 可取2，0，－2，即r 可取2，5，8.

所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为

C 210(－12)2x 2，C 510(－12)5，C 810

(－12

)8x －2.,

1．解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，

且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．

(1)(2012·浙江高考)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2

＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．

(2)设二项式(x －a x

)6

(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．

『解析』 (1)f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，

它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－

r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3

，∴a 3＝10.

(2)(x －

a x

)6展开式的通项T r ＋1＝(－a )r C r 6x 6－32r ， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 4

6，