华南理工大学2007 概率论试卷

2007《概率论与数理统计》试卷A 卷

注：标准正态分布的分布函数值

Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525

一、选择题（每题3分，共18分）

1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则 （ ）

A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B)

B. P(AB)=P(A)P(B)

C. P(A ︱B)=)

()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B) 2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( )

A.1/2

B.1/4

C.3/8

D.1/8

3. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有

（ ） A. D(ξη)=D ξD η B. D(ξ+η)=D ξ+D η

C. ξ和η独立

D. ξ和η不独立

4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈]

,0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ）

A.1/2

B.1/3

C.1

D.3/2

5. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=

∑=-6122)(1i i u ξσ的密度函

数最可能是

（ ） A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0

,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)= +∞<<-∞-z e z ,121

12/2π D. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0

,00,1612/2z z e z z

6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ）

A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布

B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布

C. （ξ，η）为二维连续性随机变量

D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0

二、填空题（每空3分，共27分）

1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=23

4-e ，则EX= 。 2. 已知DX=25 , DY=36 , XY r =0.4 , 则cov (X,Y)= ________.

3. 设离散型随机变量X 分布率为P{X=k}=5A k )21( (k=1,2,…),则A= .

4. 设ξ表示10次独立重复试验中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.6，则ξ2的数学期望E(ξ2)= .

5. 设随机变量ξ的分布函数F(x)=⎩⎨⎧≤>--0

,00,1x x e x λ （λ﹥0），则ξ的密度函数

p(x)=______________ ,E ξ= , D ξ= .

6. 设X ～N(2, 2σ),且P{2

7. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的。现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球，则第二人取到黄球的概率是 。

三、（本题8分）在房间里有10个人，分别佩戴从1到10号的纪念章，任选3人纪录其纪念章的号码，试求下列事件的概率：

（1）A=“最小号码为6”； （2）B=“不含号码4或6”。

四、（本题12分）设二维随机变量（ξ，η）具有密度函数

⎩⎨⎧>>=+-其它

,00,0,),()(2y x Ce y x p y x

试求（1）常数C ； （2）P(ξ+η<1); (3) ξ与η是否相互独立？为什么？

（4）ξ和η的数学期望、方差、协方差。

五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？

六、（本题8分）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件工作。求整个系统正常工作的概率。

七、（本题12分）有一类特定人群的出事率为0.0003，出事赔偿每人30万元，预计有500万以上这样的人投保。若每人收费M 元（以整拾元为单位，以便于收费管理。如122元就取为130元、427元取成430元等），其中需要支付保险公司的成本及税费，占收费的40%，问M 至少要多少时才能以不低于99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利

润？

八、（本题7分）叙述大数定理，并证明下列随机变量序列服从大数定理。 ξ ⎝

⎛-n n n /1~ n /210- ⎪⎪⎭⎫n n /1，n=2,3,4…

2008年《概率论与数理统计》试卷A 卷

注：标准正态分布的分布函数值

Φ（1.0）=0.8413；Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.5）=0.9938；Φ（2.42）=0.9922

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 设X ～N(u,σ2),则概率P(X ≤1+ u) （ ）

A. 随u 的增大而增大

B. 随u 的增加而减小

C. 随σ的增加而增加

D. 随σ的增加而减小

2. 设A 、B 是任意两事件，则P(A-B)= ( )

A. P(A)-P(B)

B. P(A)-P(B)+P(AB)

C. P(A)-P(AB)

D. P(A)+P(B)-P(AB)

3. 设ξ是一个连续型变量，其概率密度为φ(x)，分布函数为F(x),则对于任意x 值有（ ）

A. P(ξ=x)=0

B. F ′(x)= φ(x)

C. P(ξ=x)= φ(x)

D. P(ξ=x)=F(x)

4. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)·E(Y),则 （ ）

A. D(XY)=D(X)·D(Y)

B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)

C. X 和Y 独立

D. X 和Y 不独立

5. 设ξ的分布率为

而F(x)=P{ξ< x},则=)2(F ( )

A. 0.6

B. 0.35

C. 0.25

D. 0

二、填空题（每空3分，共21分）

1. 某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75，若果命中了就停止射击，否则就一直射

到子弹用尽。则耗用子弹数ξ的数学期望为________。

2. 已知DY=36，cov(X,Y)=12,相关系数r XY =0.4,则DX=________.

3. 三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为37/64，则每次试验

成功的概率为__________.

4. 设X ～B(3,p),Y ～B(4,p),且X 、Y 相互独立，则X+Y 服从二项分布__________________.

5. 若X ～U(0,5),方程04522=-++X Xx x 有实根的概率为__________.

6. 设53+X ～N(11, σ2),且P{2