数学分析ch14-5场论初步

定义 14.5.2 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
(x, y, z)
是一个向量场， P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 上具有连续偏导数。
设为场中的定向曲线，称曲线积分
a ds
为向量场 a 沿定向曲线的环量。
§5 场论初步
在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场 强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这 就是场的概念。
设 R3 是一个区域，若在时刻 t ，中每一点 (x, y, z) 都有一个确
定的数值 f (x, y, z,t) （或确定的向量值 f (x, y, z,t) ）与它对应，就称函数
r
qx 4π 0r 3
i
qy 4π 0r 3
j
qz 4π 0r 3
k。
所以
qx
x
4π
0r
3
q 4π 0
r2
3x2 r5
,
z
qz 4π 0r 3
q 4π 0
r2
3z2 r5
,
y
qy 4π 0r 3
q 4π 0
r2
3y2 r5
,
divE
qx
x
4π
0
r
3
|n|
公式，并利用积分中值定理，
vx x
vy y
vz z
dxdydz
vx x
vy y
vz z
M
mV
。
其中 M~ 为V 上某一点。
于是
lim
V M
mV
lim
M M
vx x
vy y
vz z
M
vx (x, y, z) vy (x, y, z) vz (x, y, z) 。
x
y
z
因此，可以用
vx (x, y, z) vy (x, y, z) vz (x, y, z)
所围区域V 收缩到 M 点时（记为V M ）， v dS 的值。但因为
V M 时有 0，所以考虑
lim
v dS
lim
V M mV V M mV
（ mV 为V 的体积）。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理，
v dS vxdydz vydzdx vzdxdy
V
qy
y
4π
0r
3
qz
z
4π
0r
3
0
，
x
2
y2
z2
0。
1. 设 S 是以原点为心，半径为 R 的球面，定向取外侧。注意到在
球面 S 上恒有 r R，且 E 的方向与球面 S 的外法向量的方向相同，因
此从内部穿出球面 S 的通量（称为电通量）为
S
E dS
S
q dS 4π 0r 2
l
曲面
f (x, y, z) c （常数）
称为 f 的等值面。若 f x , f y , f z 不同时为零，那么 n
等值面上的一个单位法向量，并且有
f grad f 及 grad f f n 。
n
n
fxi fy j fzk 为
fx2 fy2 fz2
通量与散度
设上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为
S
q dS q
4π 0 R2
4π 0 R2
S
dS q 0
。
2. 设 为任意一张光滑或分片光滑的封闭曲面。
（i）如果 内不含原点。记 所包围的区域为 ，则由 Gauss
公式得
E dS divEdV 0 。
（ii）如果 内含有原点，那么不能直接用 Gauss 公式。在曲面
就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共 线，因此
dx dy dz 。
P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
这就是向量线所满足的方程，如果解出它的话，一般就得到向量线族。 如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说， 向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向 量场所在的空间。
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
于是，Stokes 公式可以写成
rot a dS a ds ，
对旋度可以作类似于散度的解释。在场中一点 M 处任取一个向
量 n ，作小平面片 过 M 点且以 n 为法向量，并按右手定则取定 的
方向。记 的面积为 m 。如果当 收缩到点 M 时（记为 M ），
a ds
m
的极限存在，则称此极限值为向量场 a 在 M 点沿方向 n 的环量面密 度。它是环量关于面积的变化率，即沿平面上单位面积边缘的环量。
。
因此向量
B
vz y
v y z
i
vx z
vz x
j
v y x
vx y
k
2
同样可以描述旋涡的强度和方向，而 B 是由速度场本身决定的，不用
真正测量出角速度 。
设 为场中的定向闭曲线，由 Stokes 公式
v ds B dS ，
这里 是任意以 为边界的曲面，定向与 符合右手定则。由此可
见，曲线积分 v ds 也与流体的旋转状态有密切关系。
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是场中一点。如果在 M 0
点有旋涡，流体以角速度 旋转（这里 在旋涡的轴线上，且方向与
旋涡的旋转方向成右手螺旋定则），那么流体在 M 0 附近的任一点
M (x, y, z) 的速度 v 可以表为 v v0 r ，
a dS
diva(M ) lim
。
V M mV
换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量。
由向量场 a 产生的数量场 diva 称为散度场。
利用散度的记号，Gauss 公式就可写成如下形式：
divadV a dS 。
向量线
设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
例 14.5.1 由电磁学中的 Coulomb 定律，在位于原点的点电荷 q
（这里 q 表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点 M(x, y, z) 处的
电场强度为
E
q 4π 0
r3
r
，
其中 r
x2
y2
z2
为点
M
到原点的距离， r
xi
yj
zk
，
为真空
0
介电常数。
将 E 具体写出来就是
由于
E
q 4π 0r 3
由上面的流体例子可知道，如果 diva(M ) 大于零，则称在 M 点处 有正源（源）；如果 diva(M ) 小于零，则称在 M 点处有负源（汇）；如 果 diva(M ) =0，则称在 M 点处无源。如果在场中每一点都成立 diva 0 ， 则称 a 为无源场。
定理 14.5.1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即
vx v0x y (z z0 ) z ( y y0 ),
v y v0 y z (x x0 ) x (z z0 ),
vz v0z x ( y y0 ) y (x x0 ).
于是在 M 点成立
vz y
vy z
2x ,
ห้องสมุดไป่ตู้
vx z
vz x
2y ,
v y x
vx y
2z
x
y
z
来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
(x, y, z)
是一个向量场， P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在上具有连续偏导数。
其中 n cosi cos j cos k 为在 (x, y, z) 处的、在指定侧的单位法向
量。
显然， 0说明向指定侧穿过曲面 的流量多于向相反方向穿 过曲面 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面 的流量少于向相反 方向穿过曲面 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面 的流量等于 向相反方向穿过曲面 的流量。
如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）。
要判断场中一点 M (x, y, z) 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇
的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察
v vx (x, y, z)i vy (x, y, z) j vz (x, y, z)k ，
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设是中的一片定向曲面，则单位时
间内通过流向指定侧的流量为
vx (x, y, z)dydz vy (x, y, z)dzdx vz (x, y, z)dxdy v ndS v dS ，
所包围的区域内取一个以原点为心的小球面 ，定向取内侧。记 1 为 介于 与 之间的区域。由 Gauss 公式得