概率及其随机变量的分布列讲义

概率、随机变量及其分布列
1．概率
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频
率与概率的区别。

【核心要点突破】
要点考向1：古典概型
考情聚焦：1．古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合
结合起来考查。

2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。

考向链接：1．有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。

2．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。

3．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。

例b，。

事
点，应引起高度重视。

2．易与解析几何、定积分等几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出
现，属中、低档题目。

考向链接：1．当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，
应考虑使用几何概型求解。

2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区
域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。

例2：在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。

【命题立意】以非常简单的区间立意，运算不复杂，但能切中考查几何概型的要害。

【思路点拨】一元几何概型→长度之比
12利用公式是求条件概率最基本的方法，这种方法求P （AB ）。

其中，若，则P （AB ）=P （B ），从而
例3：甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出
的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

①()25
P B =；
②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立；
④123,,A A A 是两两互斥的事件；
⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关。

)()()123B P A B P A B ++可辨析此题。

23,A A 是两两互斥的事件，
)4|B A =，()4|P B A =， )()()123B P A B P A B ++
243491011101122
+⨯+⨯=， )1522B =，)599=⨯=，有()P A B ≠(P A 可以判定②④正确，而①③⑤错误。

考的内容，与生活实践联系密切。

2．多以解答题的形式呈现，属中档题。

例4：图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率
分布直方图（Ⅰ）求直方图中x 的值
（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求
月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。

【命题立意】以实际生活为背景，考查频率分布直方图的认识，进而考查分布列和
期望等统计知识.
【思路点拨】频率分布直方图→矩形的面积表示频率反映概率；随机抽取3位居民（看作有放回的抽样）是三个独立重复实验→计算概率时遵循贝努力
【规范解答】
、概率问题的解题步骤：首先思考实验的个数、实验关系和实验结果，然后思考目标时间如何用基本事件表示出来，最后利用对立事件、对立事件和互斥事件进行运
算.3、在求期望和方差时注意使用公式.
注：（1）求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事
件，然后用概率公式求解。

（2）一个复杂事件若正面情况比较多，反而情况较少，则一般利用对立事件进行求解。

对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解。

（3）求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率。

（4）求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变
1
）
2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续
．．回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。

假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。

【命题立意】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率的求解。

【思路点拨】 分析题意可得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，进而求解“相互独立事件同时发生的概率”。

【规范解答】依题意得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定
回答错误，第三、四个问题一定答对，所以其概率
34．【思路点拨】“4个病人服用某种新药”相当于做4次独立重复试验，“至少3人被治愈”即“3人被治愈”，“4人被治愈”两个互斥事件有一个要发生，由独立重复试验
和概率的加法公式即可得出答案.
【规范解答】4个病人服用某种新药3人被治愈的概率为：3340.910.90.2916C ⋅⋅-=（）； 4个病人服用某种新药4人被治愈的概率为：4440.90.6561C ⋅=，故服用这种新药的4
个
病人中至少3人被治愈的概率为0.29160.65610.9477
+=.
【答案】0.9477.
【方法技巧】求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法：1、将该事件分解为若干个互斥事件的“和事件”，然后利用概率的加法公式求解；2、考虑对立事
0413222
，5．、1
68 1
P=
求解就是“正难则反易”的方法.
6．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,…,6），求：（1）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（2）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
【命题立意】本小题考查排列、组合、古典概型的基础知识及其综合应用，考查运
算求解能力，及分类讨论的数学思想.
【思路点拨】先求出事件的总的基本事件的个数，再求出符合题意要求的基本事件
的个数，最后计算概率.
【规范解答】（方法一）考虑甲乙两个单位的排列顺序，甲乙两个单位可以排列在62种等可能的结果；（1）设236A =,
（2（1）设233C =,
（223. 6
（1）设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A 包含的基本事件的个数是
2434144A A =,所以1441()==7205
P A ； （2）设B 表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则B 表示事件“甲乙两单位的
演出序号相邻”，事件B 包含的基本事件的个数是24245240A A ⨯⋅=,
所以2402()1()17203
P B P B =-=-=. 【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
1=-，A ．0.13 B ．0.39 C ．0.52 D ． 0.64
5．从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点
处灯泡颜色不同的概率为 （ ）
A ．
64228 B ．64240 C ．64264 D ．6
4288 6．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程 02=++c bx x 有实根
的概率为
A ．1736
B ．12
C ．1936
D ．59
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外兴趣小组，每名同至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组8．从9.2≤
_______.
10.(3)11．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重
1262+-n n 克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）。

（1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率；
（2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率。

12．大量统计数据表明，某班一周内（周六、周日休息）各天语文、数学、外语三
科有作业的概率如下表：
根据上表：（I）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率；（II）设一周内有数学作业的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。