立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰

直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ︒

===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ，

求证：//PM BCE 平面；

（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值.

解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC

∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面 ………………………5分

(2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分

FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分

6tan FE

FCE EC

∠=

= ………………………14分

2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点.

(1)求证：AO ⊥平面CDE ；

(2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值

A

B

C

D

E F

P

M .

.

A

B

C

D

E

O

3、如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于

E ，AC P

F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．

（1）求证：//'C B 平面PE A '；

（2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．

解：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．

因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．

…6分

（2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，

所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分

过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．

A

C B

P

F P

A

B

F C

'

B '

A E

P

A

B

F C

'B '

A E

（第20题）

M

A

B

C

D

E

P

M

由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．

所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分

在Rt △PCE 中，求得a EM 5

5

2=， 所以555

2

2tan =='=

a a

EM E A θ． …15分

4、如图，⊥DA 平面ABC ，⊥ED 平面BCD ，DE=DA=AB=AC.0120=∠BAC ，M 为BC 中点. (1)求直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值； (2)P 为线段DM 上一点，且⊥AP DM ，求证：AP//DE. 解：(1)

ED ⊥平面BCD ，∴DM

为EM 在平面BCD 上的射影， ∴EMD

∠为EM

与平面BCD

所成角．

……………………2分

DA ⊥平面ABC ，AC DA AB DA ⊥⊥∴,，

设a AB

=，又=DA AB =AC ，

a DB DC

2==∴．

在△ABC 中，︒=∠120BAC

，a BC

3=

∴，

又

M 为BC 中点，∴⊥DM BC ，

12=

=BM BC ，∴a DM 2

5=

．…5分

在Rt △EDM 中，EM =

3

2

a =

， ∴sin EMD ∠=

32DE a EM a =2

3

=．

………………………7分

（2）

=AB AC ，M 为BC 中点，∴⊥BC AM ．又⊥DA 平面ABC ，

∴⊥BC DA ，⊥∴BC

平面DAM

．

……………………9分

M

P E

D

C

B A

A B

C

D

E A 1

C 1

又⊂AP 平面DAM ，AP BC ⊥∴，

……………………11分

又 DM AP ⊥，⊥∴AP 平面BCD

． ……………………13分

又

ED ⊥平面BCD ，DE AP //∴．……………………14分

5、如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，)1(>=λλAF CE ． （1）证明：BD ⊥EF ；

（2）若AF ＝1，且直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值

为10

2

3，求λ的值．

解：（1）连结BD 、AC ，交点为Ｏ．∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ……2分

∵AF ⊥平面ABCD ∴AF ⊥BD ……4分 ∴BD ⊥平面ACEF ……6分 ∴BD ⊥EF ……7分

（2）连结OE ，由（1）知，BD ⊥平面ACEF ，

所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角． ……10分 ∵AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，∴CE ⊥平面ABCD ，CE ⊥BC ， ∵BC =1，AF ＝1，则CE ＝λ，BE ＝21λ+，BO ＝2

2， ∴Rt △BEO 中， 10

2

3122sin 2=λ+==∠BE BO BEO ， …13分 因为1>λ，解得3

4

=λ． ……15分

6、如图，在几何体中，⊥1AA 平面ABC ，,2,//,111===⊥AA BC AB AA CC BC AB

E D CC ,,11=分别是1,AA AB 的中点.

(1)求证：//1BC 平面CDE ；

(2)求二面角A DC E --的平面角的正切值.