数学答案(文)

山西大学附中2019～2020学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断

数学答案（文）

考试时间：120分钟满分：150分

13.80

x y

+-= 14.

2

15.516.

93

82

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

三、解答题

17．在ABC

∆中，已知点()

3,2

A，AC边上的中线BM所在直线的方程为340

x y

--=，AB边上的高所在直线的方程为()

1

7

2

y x

=-.

（1）求直线AB的方程；

（2）求点B的坐标.

解：（1）由AB边上的高所在直线方程为()

1

7

2

y x

=-得

1

2

k=，

则

1

2

AB

k

k

=-=-………………………………………………………………………..2分又∵()

3,2

A，∴直线AB的方程为()

223

y

x

-=--，………………………….4分

即280

x y

+-=（或28

y x

=-+）. ………………………5分

（2）因为AC边上的中线过点B，则联立直线方程：

280

340

x y

x y

+-=

⎧

⎨

--=

⎩

.……………7分解得：

4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，………………………9分

即点B坐标为()

4,0……………………………..10分

18.（12分）

如图，在三棱锥P ABC

-中，AC BC

⊥，BC=，AP CP

=，O是AC的中点，1

PO=，2

OB=，PB=

（1）证明：BC ⊥平面PAC ；

（2）求点A 到平面PBC 的距离．

（1）∵AP CP =，O 是AC 中点，∵PO AC ⊥，………………………….1分 由已知得222PO OB PB +=，∵PO OB ⊥，…………………………………..2分 又AC OB O OB ABC =⊂，平面，∵PO ⊥平面ABC ，…………………3分 PO BC ∴⊥,……………………………4分

∵AC BC ⊥，,PO AC O PO =⊂平面P AC …

∵BC ⊥平面P AC …………………………6分

（2）设点A 到平面PBC 的距离为h ，

∵在Rt OCB 中，1OC ==，

则PC ==

BC ⊥平面P AC ∵BC PC ⊥，…………………………………………. 7分

2

PBC S ∆∴=……………………………….8分 A PBC P ABC V V --=………………9分

-133

P ABC ABC S O V P ∆∆=⋅=…………………………………10分

∵1333

PBC S h h ∆=∴=，分

即点A 到平面PBC ．……………………………………….12 分

19．已知关于,x y 的方程22:2440C x y x y m +--+=．

（1）若方程C 表示圆，求m 的取值范围；

（2）当=1m 时，圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，求MN 的值．

（1）解法一：

方程C 可化为 ()()221254x y m -+-=-，……………………………..2分 显然 5540,4

m m -><时即时方程C 表示圆．…………………………4分 解法二： 4+16-160m > ，………………………………..2分 54

m <…………………………4分 （2）圆C 的圆心()1,2………………….5分

圆心到直线:240l x y +-=的距离为

d ==， …………………………7分 圆C 的半径1r =，…………………………………..8分

又 22212r d MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，

=.10分

所以22||1,52MN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭………10分………………12分

所以MN =

．……………………12分

20．已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上.

(1)求圆C 的方程

(2)从原点向圆C 作切线，求切线方程.

(1)解法一:设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=

由题意:930D F

++= ①………………………1分

520D E F +++= ②………………………2分

又圆心,22D E ⎛⎫-

- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上 故402

E D ---= ， ③………………………3分 由①②③解得:4D =-，0E =，3

F =，………………………5分

圆的方程为:22430x

y x +-+=(或写成:22(2)1x y -+=，……………………6分

解法二:由题意，圆心在MN 的中垂线2y x =-上，………………………2分

又在已知直线:240l x y +-=上，

解得圆心坐标为()2,0C ，………………………4分

于是半径1r MC ==………………………5分

所求圆的方程为:22(2)1x y -+=; ………………………6分

注：其他方法给相应分值

(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切………………………7分 当斜率存在时，设直线方程为y kx =………………………8分

代入22:430C x y x +-+=得22()430x kx x +-+=

即()

221430k x x +-+= 令()

22(4)4310k ∆=--⨯+=，………………………9分

解得3

k =±，………………………10分

即切线方程为3y x =±

.………………………12分

解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切；………………………7分 当斜率存在时，设直线方程为y kx =，……………………8分

因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，

根据点到直线的距离公式

:d =

1=……………………9分

解得3

k =±.………………………10分