2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考数学(理)真题试题

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考

高三数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请

把答案写在答题卡的指定位置上．

1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A

B = ▲ .

2.命题“2

000,10x x x ∃∈++

3．已知向量()(),,6,3,4m b a =-=且,b a ⊥则=m ▲ .

4．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+=)

1(log 1

,222x x x f x ，则()[]=0f f ▲ .

5.函数276y x x =+-的定义域是 ▲ . 6．已知1x >，则4

1

x x +

-的最小值为 ▲ . 7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos 3cos a B c b A =-，则=A cos ▲ . 8.已知31)6

sin(=

+

π

x ，则)3

(sin )65sin(2x x -+-π

π的值是 ▲ . 9.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，

内，则正整数k 的值为 ▲ .

10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→

DC 的值为▲_____． 11.已知函数 则不等式

的解集为 ▲ .

12.已知函数()3

213

f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .

13、设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0

,log 0

,1)(4x x x x x f ,若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，

且4321x x x x <<<，则4

2

32131

)(x x x x x +

+的取值范围是 ▲ . 14．已知a ∈R ，设函数222,1

()ln ,1

x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R

上恒成立，则a 的取值范围为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．

15.（本题满分14分）

已知π03x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，312n ，⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

． （1）若m ∥，求x 的值；（2）若35m n ⋅=，求πsin 12x ⎛

⎫- ⎪⎝⎭

的值．

16.（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为()2

214x y -+=，M 点的坐标为()3,3-.

（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；

（2）过点M 任作一条直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且圆C 交x 轴正半轴于点P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值.

17．（本小题满分14分）

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos cos a B A =

，cos 3

A =

．

（1）求角B 的值； （2）若a =ABC 的面积．

18.（本题满分16分）

设命题p ：函数21

()lg()16

f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立．

（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；

（2）如果命题 “q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．

19、（本题满分16分）

某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．

（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．

20. （本小题满分16分）

已知函数x

x x g x x f 1)(,ln )(-

==． （1）①、若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；

②、令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间]1,[+a a )0(>a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答

题卡的指定位置上．

1． {1,6}

2. 2

000,10x x x ∀∈++≥R

3．【答案】8 4．答案：2 5. [1,7]- 6． 5 7.【答案】

1

3

8.

9

5 9.【答案】2 10．－43

11. 【答案】

12

【答案】1a ≥ 13、⎥⎦

⎤ ⎝

⎛2

7,1-，

14．【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立

当1x <时，22

()22021

x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立