2016数学花园探秘五年级网赛试题解析

2016年“数学花园探秘”网络评选活动
五年级组详解
一．填空题（每小题8分，共24分）
1. 为了预防雾霾，老师给班上的同学平均分发口罩，共发下了720个．如果每个人多发2个，那么
将会有5个同学领不到口罩，那么班上有__________名同学．
【答案】45
【解析】即720的因数中满足720(2)(5)a b a b =⨯=+⨯-的一对．枚举知16451840⨯=⨯满足要求．
2. 右图中，两个边长为8的正方形如图摆放，A 、B 为正方形的中心．那
么，正方形CDEF 的面积是__________．
【答案】80
【解析】观察图形最左边的直角三角形，根据勾股定理，所求面积为22
8480+=．
3. 右面乘法算式的乘积是__________．
×
6
2
1
【答案】10260
【解析】两个乘数至少有一个的个位是5，但若第一乘数的个位是5，25□的倍数的十位不可能是1，故只能第二乘数的个位是5，第一乘数的个位是偶数，且第二乘数的十位小于个位． 20□无法得到十位为1的部分积；
22□只有乘以5才能得到十位为1的部分积，可两个部分积位数不同不能乘数都是5； 249□⨯能得到十位为1的部分积，但95>不符要求； 26□无法得到十位为1的部分积；
284□⨯能得到十位为1的部分积，符合要求．
故乘法算式为284516□□□□⨯=，为了满足部分积的位数需求（或者通过估算分析亦可），只能228451140912010260⨯=+=．
二．填空题（每小题10分，共30分）
4. 如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如：3和5是一对孪生质数，29
和31也是一对孪生质数．在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一．华裔数学家张益唐
在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．现在有一对孪生质数，它们数字和的最大公因数大于2，那么，这对孪生质数的和最小是__________． 【答案】120
【解析】两数差2，若加2不进位，则两数数字和也差2，依题意这是不可能的，故必然进位，这两数分别是109a +和10(1)1a ++，若只进一位（为了找最小值，也应该优先考虑进1位），则数字和相差7（加2再减9），故数字和的最大公因数为7．个位是1且数字和是7的倍数的数，最小是61，考察59和61，满足要求．5961120+=．
5. 在一个圆上依顺时针方向，写了268个数（可以相同），如果位置连续的20个数的和都是75，并
且第17个数是3，第83个数是4，第144个数是6，求第210个数是__________． 【答案】2
【解析】设第n 个数为n a ，若n 大于268，则n k a a =，其中k 是n 除以268的余数．由题意，2040n n n a a a ++=== ．两条规则结合可知：凡是编号能表示成26820a b -形式或20268x y -形式的数都相等，根据最大公因数性质，这样的数其实就是(268,20)即4的倍数． 故159172653a a a a a ======= ； 3711832674a a a a a ======= ； 48121442686a a a a a ======= ．
设2610210266a a a a a m ======= ，则5(346)75m +++=，解得2m =．
6. 如图所示，一只小虫子沿着六边形的边从A 爬到B ，图中标箭头的边
沿箭头单向通过，未标箭头的边双向均可通过，不能走重复路线，那么，共有__________条不同路径． 【答案】100
【解析】若去掉两个反箭头，易知方法数为2242264⨯⨯⨯⨯=种．
若只走左边的反箭头，有2种走到反箭头的方法，之后又有222⨯⨯种方法，共222216⨯⨯⨯=种方法；若只走右边的反箭头，根据起止点的对称性，亦有16种方法，共32种方法．
若两个反箭头都走，走到左边的反箭头，有2种方法，然后过中间乘以2，但是再走到右边的反箭头的方法唯一，之后走到B 的方法也唯一，有22114⨯⨯⨯=种方法． 综上，共64324100++=种方法．
三．填空题（每小题15分，共30分）
7. 如图，一个面积为2016的长方形中放了8个同样大小的正十
二边形，那么红色部分面积之和是__________平方厘米．
【答案】189
【解析】红色部分即为右图中正方形面积与正十二边形面积差的3倍，易求正方形面积为20168252÷=．设正十二边形外接圆半径的长度为r 即OA OB OC r ===，则24252r =，263r =．根据正十二边形的角度性质可知三角形OAC 是正三角形，AC r =，且AC 与OB 垂直，故266(2)3189OABC S S r r r 正十二边形==⨯⨯÷==．所以，红色部分面积为 (252－189)×3＝189
8. 甲从A 地出发匀速去B 地，在AB 中点C 地被从A 地晚出发10分钟的乙追上；乙又行了280米，
立即调头，再行一段与甲迎面相遇，这时甲已离开C 地6分钟；结果当甲到B 地时，乙恰好回到A 地．如果乙的速度也始终未变，那么A 、B 两地间的路程为__________米． 【答案】2240 【解析】
如图，乙行AC 比甲行AC 少用10分钟； 因为AC ＝BC ，那么乙行CA 比甲行CB 也
少用10分钟，这10分钟内乙C →D →C ；
甲C →E 用6分钟，那么乙C →D →E 也用6分钟，从而乙E →C 用10－6＝4分钟；
所以CE : (CD+DE)＝4:6＝2:3，即甲乙速度比为2:3，从而同行AC 的时间比为3:2， 那么，乙A →C 用10÷(3-2)×2＝20分钟；而乙速为280×2÷10＝56(米/分) 所以，AC ＝56×20＝1120(米)，AB ＝1120×2＝2240(米) ．
四．亲子互动操作题（每小题18分，共36分）
9. 大家剪出6张卡片，并在在卡片上分别写上数字1、2、3、4、5、6，从左到右依次摆放：
123456
现在按照以下规则进行变换：
（1）每次选择连续若干张卡片（可以是一张或多张），整体插入任一位置（可以是排头、排尾或间隙），称为一次操作；
（2）整体段内不能改变原有顺序；
最后将卡片顺序变为6、5、4、3、2、1．下面是具体的操作方法：【嵌入“卡片题目动画”】 以上一共花了4步．现在再多剪一张卡片，标上数字“7”，从左到右排列：
1234567
那么，按上述规则变换成7、6、5、4、3、2、1至少需要__________步．
【答案】4
【解析】4步构造：1234567→1256734→1673254→7321654→7654321．【嵌入“卡片解答动画”】
O
C
B A
r A
10.用下面给出的6块长方形挡板分别遮住图一六宫数独的某一个宫，其中被阴影盖住的格，格内的
数字会被挡住，白格内的数字会露出来，请用露出来的数字完成一道六宫数独，使得每行、每列和每个宫数字不重复．完成后，最后一行前五个数字依次组成的五位数是__________．
图一
【答案】26145
【解析】六个纸片分别编号1～6，易见6号纸片必然盖住左列中间宫，否则露出的数字重复；进而3号纸片必然盖住左上宫；进而2号纸片必然盖住右列中间宫（不能盖左下宫，否则会出现一列里有两个2）；进而5号纸片必然盖住右上宫（不能盖左下宫，否则会出现一列里有两个3），此时的数独有两
所求答案为26145．。