第4章 线性系统的根轨迹法

根轨迹各分支连续且关于实轴对称
4.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的倾角： 例4-2 求下面闭环特征方程 式根轨迹的渐近线 解：
j
第
12 页
渐近线与实轴的交点：
4
5 3

1
0

第
5. 实轴上的根轨迹
实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
13 页
3 (k 1) 2 *
第
例2
15 页
K ( s 2) 已知系统的开环传递函数为： (s) H (s) 2 G s ( s 1)( s 4) 试绘出该系统根轨迹的渐近线
解：对于该系统有n=4，m=1，n-m=3； 三条渐近线与实轴交点位置为 1 4 2 a 1 它们与实轴正方向的交角分别是 5 0 0 60 (k 0), 180 (k 1), 600 (k 2) 3 3 我们绘出其渐近线。
K 0 5
°
0

K 35, 1.35
4-3 广义根轨迹
定义： 除根轨迹增益K*为变化参数的根轨迹 以外，其他情形下的根轨迹统称为广义根 轨迹。通常，将负反馈系统中K* 变化时的 根轨迹称为常规根轨迹。
第
25 页
参数根轨迹
第
26 页
以非开环增益为可变参数绘制的 根轨迹称为参数根轨迹。。 参数根轨迹的绘制法则与常规根 轨迹的法则完全相同。只是在绘制 参数根轨迹之前，需要引入等效单 位反馈系统和等效传递函数概念。
° z1
p3
0
p1

根轨迹的绘制过程为： （1）寻找平面上所有满足相角条件的s； （2）利用幅值条件确定各点的K*值。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为
j
第 8 页
K 1 1
1
K 35, 1.35
K
3
K 0 6
K 0 5
°
0

！绘制注意点 1）实轴、虚轴相同的刻度 2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头 4）关键点的标注
根之和不变K’增大，一些根轨 迹分支向左移动，则一定会相应有 另外一些根轨迹分支向右移动。
第
23 页
例4-5 已知系统的特征方程为
试利用基本法则绘制根轨迹。
解：由“golden rule”得
第
24 页
j
K 1 1
1
K 35, 1.35
K
3
K 0 6 5.53
为两个与A无关
s a G s 2 例：已知某位反馈系统的开环传递函数为 K 4s s 1
试绘制参数 a 由零连续变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。 1 解：系统的闭环特征方程为 s a
1 1 3 2 4 1 GK s 1 2 s s s a 0 s ( s 1) 4 4 a/4 1 0 等效系统开环传递函数为 2 s( s s 0.25)
4-4 系统性能分析
系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系
系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 系统闭环主导极点与偶极子
第
36 页
开环零点和极点对根轨迹的影响
增加开环极点的影响 增加开环零点的影响 增加一个惯性环节 加入一阶微分环节
利用根轨迹分析控制系统的性能
第
系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
参数根轨迹
• 除根轨迹增益 K * 以外的其他参量（开环零点、开环极点、时间常数、 反馈比例系数等）从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。 • 研究参数根轨迹的目的：分析参数变化对系统性能的影响。 • 绘制参数根轨迹图基本原理：引入“等效开环传递函数”，将绘制参数 根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的问题。
5.53
K 35, 1.35
4-2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 2.根轨迹分支数
第 9 页
3.根轨迹的对称性
4.根轨迹的渐近线 5.实轴上的根轨迹 6.根轨迹的起始角和终止角 7.根轨迹的分离点和会合点 8.根轨迹与虚轴的交点 9. 根之和与根之积
33 页
生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂系统设
计中，必须包含正反馈回路所致。
第
34 页
零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制 法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。 绘制0度根轨迹的基本规则：
规则1 根轨迹的起点和终点同常规根轨迹；
规则2 根轨迹的分支数对称性和连续性同常规根轨迹； 规则3 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角 不同， a 2k ; k 0,1,, n m 1 ，有n-m个角度；
第
28 页
（1）起点： s1 0, s2 s3 1/ 2 。 （2）终点：三条根轨迹都趋向于无限零点。 （3）实轴上的根轨迹：含坐标原点在内的整个负实轴。 （4）分离点：分离点的计算公式为 D ' s N s N ' s Ds 0 其中 D s s 4s 2 4s 1 , N s 1
20 页
终止角：止于开环零点的根轨迹，在终
点处的切线与水平线的正方向夹角
第
例4-4 已知系统开环传递函数为
21 页
求闭环系统大致根轨迹
p2
j
z2
°
°
0 p1
p4

z3
°
p3
第
22 页
8.根轨迹与虚轴的交点
（1） 代入特征方程
9.根之和
当 和 ≥2时
开环极点之和等于闭环极点之
联立求解， 根轨迹与虚轴的交点ω值和 相应的临界K值。 （2）劳斯法
4-2 绘制根轨迹的基本法则 1.根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
第
10 页
幅值条件
s值必须趋近于
开环极点
根轨迹起始于开环极点
s值必须趋近于
开环零点
根轨迹终止于开环零点
4-2 绘制根轨迹的基本法则
2.根轨迹的分支数
n阶系统根轨迹有n个分支
第
11 页
3.根轨迹的对称性
参数根轨迹
j
s平面
第
30 页
0.5
a
a
p2.3
× ×
60
p1
-1/6
×
0

-1/2 -1/3
d1
-0.5
a
参数根轨迹
绘制参数根轨迹的一般步骤
第
31 页
（1）写出原系统的特征方程；
（2）以特征方程式中不含参量的各项除特征方
程，得等效系统的根轨迹方程，该方程中
原系统的参量即为等效系统的根轨迹增益；
第
27 页
常规根 轨迹方程：
参数根 轨迹方程：
K 1 G ( s) H ( s) 1
*
s z
i i 1 j
m
s p
n j 1
1 K
*
N s D s
0
P( s) 1 A 0 Q( s)
等效开环传递函数
Q( s)
A为除 K * 外，系统任意的变化参数，而 P ( s )和 的首一多项式。
3
第
6. 根轨迹的分离点和会合点
分离点 会合点
16 页
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。
根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。
第
17 页
分离点（或会合点）d坐标值的求取方法: 1、d坐标值由方程解出
2 、重根法求解d
3、由极值点求解d 坐标值由
解出d
检验：当解得多个s值时，其中k*值为正实数时或s是根轨迹 上的点才有效。
nm
规则4 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零、极点 个数之和为偶数（包括0）的区域； 规则5 分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；
第
35 页
规则6 起始角和终止角(出射角和入射角)：起始角为其它 零、极点到所求起始角复数极点的诸向量相角只差，即
n m pi 2k z j pi p j pi k 0, 1, 2, j 1, j i j 1
1 1 s1 , s2 6 2
参数根轨迹
（5）根轨迹的渐近线 渐近线的倾角
a 1800 2k 1 nm
n m j 1 j i 1
第
29 页
60 ,180 ,300
i
渐近线的交点 a （6）根轨迹与虚轴的交点
p z
nm
1 1 ( ) 2 1 2 3 3
设n阶系统闭环传递函数为
37 页
单位阶跃响应为
Hale Waihona Puke 若GB(s)无重极点第
38 页
单位阶跃响应为
定性关系
(1) 各闭环极点
(2)
，j=1,2,…,n ;
线附近；
要远离虚轴，且分布在
(3) 闭环极点间距大，闭环零、极点间距小。
系统闭环主导极点与偶极子
第
18 页
例4-3：已知
，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值
方法1:解方程法 开环传递函数
方法3:极值法
（舍去） （舍去） 方法2:重根法
（舍去）
第
例
试求出系统的根轨迹与实轴的交点 解：系统无有限开环零点。 所以： 1 1 1
19 页
K 已知系统的开环传递函数为：(s) H (s) G ( s 1)( s 2)( s 3)
系统的闭环特征方程为
Ds 4s3 4s 2 s a 0
劳斯表：
s3 s2 s0
4 4 a
1 a
s1 1 a
1 a 0, a 0 F s 4s 2 a 4s 2 1 0
解得交点为 s1,2 j 0.5 可绘制系统根轨迹如下图所示
a 1
即：
2

a2

a3
0
解出 a1 1.42, a2 2.58 由规则，实轴上的根轨迹为-1到-2和-3到-∞ 因此-2.58不在两段根轨迹上，舍去。
3a 12a 11 0
第
7.根轨迹的起始角和终止角
起始角：始于开环极点的根轨迹，在起
点处的切线与水平线的正方向夹角
终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量相 角之差的负值，即
n m zi 2k z j zi p j zi ; k 0, 1, 2, j 1 j 1, j i
规则7 与虚轴的交点：同常规根轨迹；
规则8 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。
第四章
4-1 4-2 4-3 4-4
线性系统的根轨迹法
根轨迹的基本概念 常规根轨迹的绘制法则 广义根轨迹 系统性能的分析
物理与电子电气工程学院
4-1 根轨迹法的基本概念
第 2 页
1、根轨迹概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点）在s平面上移动的轨迹。
第
例4-1
对于图示系统其闭环传递函数为：
5 页
系统闭环特征方程为：
1 G( s) H ( s) 0
第 6 页
根轨迹方程
m个零点 n个极点
（nm）
幅值 条件 必要条件
相角条件（k=…-2,-1,1,2…）
充要条件
第
p2
7 页
例4-2已知系统开环传递函数
z1
p2
p3
s1
j
p1
其开环零、极点如图所示， 求取系统闭环根轨迹。
第
14 页
• 例1中开环传递函数为：
• 开环极点数n = 2，开环零点数m = 0，n – m = 2， 两条渐近线在实轴上的交点位置为
K* G( s) H ( s) s( s 2)
2 a 1 2
• 它们与实轴正方向的交角分别是

2
(k 0),
• 两条渐近线正好与K ≥1时的根轨迹重合。
（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数
根轨迹。
附加开环零点的作用
第
32 页
附加零点对闭环系统性能的作用体 现在改变根轨迹的形状和走向； 适当的附加零点减少渐近线条数， 能够改善系统的稳定性； 附加零点位置的选择应兼顾稳定性 和动态性能。
第
零度根轨迹
如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采 用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹。因为其相 角遵循 0 2k 条件，故一般称之为零度根轨迹。 零度根轨迹的来源有两个方面：其一是非最小相位系统中 包含s最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包 含有正反馈内回路。前者是由于被控对象，如飞机、导弹 的本身特性所产生，或者是在系统结构图变换过程中所产
R s

3 页

K s 0.5 s 1
Y s
jω
K 1
解为两实根； 解为两实重根
K 0
K 0.5
K 0 0
2 K 1

解为一对共轭复根
第
2、根轨迹与系统性能
有了根轨迹，可以立即分析系统的各种性能： （1）稳定性 （2）稳态性能 （3）动态性能
4 页
第
3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系