广西省桂林市2018-2019学年度上学期期末质量检测高一年级数学

广西省桂林市2018-2019学年度上学期期末质量检测高一年级数学

三、解答题

1.设全集为R ，集合{|24}A x x =≤<，集合{|3782}B x x x =-≥-．

（1）求A B ⋃；

（2）若{|13}C x a x a =-≤≤+，A C A ⋂=，求实数a 的取值范围．

2.已知函数1()f x a x

=-． （1）用定义证明()f x 在(0,)+∞上是增函数；

（2）若()f x 在区间1,42

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上取得的最大值为5，求实数a 的值． 3.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，点P 为1DD 的中点．

（1）求证：直线1//BD 平面P AC ；

（2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ．

4.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

（1）设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数()p f x =的表达式；

（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

5.已知函数24()2x x a a f x a a

-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,2]x ∈时，2()20x

mf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围．

广西省桂林市2018-2019学年度上学期期末质量检测高一年级数学

参考答案

三、解答题

1.【答案】解：集合{|24}A x x =≤<，

集合{|3782}{|3}B x x x x x =-≥-=≥，

∴{|2}A B x x ⋃=≥；

（2）由{|13}C x a x a =-≤≤+，且A C A ⋂=，

∴A C ⊆，

由题意知C ≠∅，

∴1234

a a -≤⎧⎨+≥⎩，

解得13a ≤≤，

∴实数a 的取值范围是13a ≤≤．

【解析】（1）化简集合B ，根据并集的定义写出A B ⋃；

（2）根据A C A ⋂=知A C ⊆，由题意列不等式求出a 的取值范围．

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

2.【答案】解：（1）证明：设120x x >>，则：()()1212211211x x f x f x x x x x --=

-=； ∵120x x >>；

∴120x x ->，120x x >； ∴1212

0x x x x ->； ∴()()12f x f x >；

∴()f x 在(0,)+∞上是增函数；

（2）由（1）知，()f x 在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上是增函数；

∴()f x 在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1(4)54

f a =-=； ∴214

a =． 【解析】（1）根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()12122112

11x x f x f x x x x x --=-=，只需证明()()12f x f x >即可； （2）根据（1）可知，()f x 在区间1

,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，从而得出()f x 在1,42

⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1(4)54

f a =-=，从而可求出a 的值． 考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程，根据增函数的定义求函数在闭区间上最值的方法．

3.【答案】证明：（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ，

由P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故1//PO BD ，

因为PO ⊂平面P AC ，1BD ⊄平面P AC ，

所以直线1//BD 平面P AC

（2）长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，

底面ABCD 是正方形，则AC BD ⊥

又1DD ⊥面ABCD ，则1DD AC ⊥，

所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD ．

【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ，则1//PO BD ，由此能证明直线1//BD 平面P AC ．

（2）推导出AC BD ⊥，1DD AC ⊥，由此能证明平面PAC ⊥平面1BDD ．

本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

4.【答案】解：（1）当0100x <≤时，60p =；

当100600x <≤时，

60(100)0.02620.02p x x =--⨯=-．

∴60.0100620.02,100600

x p x x <≤⎧=⎨-<≤⎩ （2）设利润为y 元，则

当0100x <≤时，604020y x x x =-=；

当100600x <≤时，2(620.02)40220.02y x x x x x =--=-．

∴220,0100

220.02,100600x x y x x <≤⎧=⎨-<≤⎩

当0100x <≤时，20y x =是单调增函数，当100x =时，y 最大，此时201002000y =⨯=； 当100600x <≤时，22220.020.02(550)6050y x x x =-=--+，

∴当550x =时，y 最大，此时6050y =．

显然60502000>．

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．

【解析】根据题意，函数为分段函数，当0100x <≤时，60p =；当100600x <≤时，60(100)0.02620.02p x x =--⨯=-．

（2）设利润为y 元，则当0100x <≤时，604020y x x x =-=；当100600x <≤时，2(620.02)40220.02y x x x x x =--=-，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论． 本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档