线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。

(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+(C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。

(每小题3分,共15分)1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。

2.设矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12640110X ，则=X 。

3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

5.设λ是方阵A 的特征值，则 是2A 的特征值三、计算题(每小题8分,共40分).1．计算行列式2431101231215201---。

2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=814312201A ，求其逆矩阵1-A 。

3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=54321η，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+432132ηη，求该方程组的通解。

4.求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A 的特征值和特征向量。

5.用配方法化二次型32312123222162252x x x x x x x x x f +++++=成标准型。

四、综合体(每小题8分,共16分)1. 解下列非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x2. 已知向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1613,132,321321a a a 求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

五、证明题（5分） 证明：设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1)2(-+E A 。

一、单项选择题。

(每小题3分,共24分1 A2 B3 C4 B5 C6 C7 D8 C二、填空题。

(每小题3分,共15分)1. 42.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6412 3. ),(212211R c c c c x ∈++=*ηξξ 4. r n - 5. 2λ三、计算题(每小题8分,共40分).1. 解：2431101231215201---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----72301141023205201………………（2分） =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----40100020500114105201………………（2分） =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----000020500114105201………………（2分） =0………………（2分） 2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=814312201A ，求其逆矩阵1-A 。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100814010312001201),(E A ………………（2分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1161001040102211001~r………………（4分）则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-11610422111A ………………（2分） 3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=54321η，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+432132ηη，求该方程组的通解。

解：由已知可得：对应的齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的秩为134=-，因此齐次线性方程组0=Ax 的任意非零解即为它的一个基础解系。

………………（3分） 令)(2321ηηηξ+-=则022)](2[321321=--=--=+-=b b b A A A A A ηηηηηηξ所以0)6,5,4,3(≠=Tξ为齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系。

………（3分） 由此可得非齐次线性方程组b Ax =的通解为： )(54326543R k k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+=*ηξ………………（2分） 4.求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A 的特征值和特征向量。

解：A 的特征多项式为： )3)(1(2112--=--=-λλλλλE A所以A 的特征值为3,121==λλ。

………………（4分）（1）当11=λ时，对应的特征向量满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111121x x ，解得：21x x -=则11=λ对应的特征向量可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111p ………………（2分） （2）当31=λ时，对应的特征向量满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00111121x x ，解得：21x x = 则31=λ对应的特征向量可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121p ………………（2分）5.用配方法化二次型32312123222162252x x x x x x x x x f +++++=成标准型。

解：32232231212165222x x x x x x x x x f +++++=322322232144)(x x x x x x x +++++=2322321)2()(x x x x x ++++=………………（4分） 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232112x y x x y x x x y 则把f 化成标准型得：2221y y f +=…………（4分）四．综合题（每小题8分,共16分)1.解下列非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x解：对增广矩阵B 作初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111122122411112B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000000100010112~r ………………（5分） 由上式可写出原方程组的通解为：),(0010011000212121321R c c c c x x x x ∈⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡+⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡+⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡-=⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡………………（3分）2.已知向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1613,132,321321a a a 求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1613132321A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000510701~r ………………（2分） 则2=A R ，………………（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知21,a a 为向量组的一个最大无关组。

………………（2分）且21357a a a +-=………………（2分）五、证明题（5分）证明：设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1)2(-+E A 。

证明：（1） 由已知可得：E E A A E E A A )](21[2)(-⇒=-，知A 可逆，)(211E A A -=-………………（2分） （2） 由已知可得E E A E A E A A 4)3)(2(62-=-+=--, E A E E A =-+⇒)]3(41)[2( 知E A 2+可逆，)3(41)2(1A E E A -=+-………………（3分）。