公理化定义(精)
第1章 第3讲 概率的公理化定义与运算性质
性质2
4
47
ሜ =
()
4
50
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较
易时，可以利用性质2.
15
02
概率的运算性质
例2 （“分房模型”的应用）
恰有 k 个盒子中各有一球
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
P( A)
k
C 365
k!
365k
k
A365
18
02
概率的运算性质
例4 A,B是两个事件，已知 P ( B ) 0.3，P( A
B ) 0.6，
求 P ( AB ).
解 P ( AB ) P ( A AB ) P ( A) P( AB).
而 P( A
B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) 0.6.
=
4
21
10
26
02
概率的运算性质
例10 已知() = 0.6，() = 0.2，() = 0.3，
求 ； ∪ .
解 = − = 0.3 − 0.2 = 0.1
∪ = 1 − ∪ = 1 −
= 1 − 0.1 = 0.9
件A发生的概率，并记 P ( A) p.
不足：不精确不严格不便使用.
公理化定义 通过规定概率应具备的基本性质来定义
概率.
4
01
概率论的公理化定义
概率的公式化定义
设随机试验E 的样本空间为S， 若对E 的每一事件
A 都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，
则称P(A) 为事件A 的概率.
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最新数学小百科知识：公理化和形式化尽快地掌握学习知识，迅速提高学习能力,由查字典数学网为您提供的数学小百科知识，希望给您带来启发!研究演绎科学理论和构造演绎系统的两种方法。
它们被广泛应用于现代逻辑和数学研究中。
公理化把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。
每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念;②从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。
应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。
由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。
其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。
公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。
最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。
第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。
他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。
古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的,概念是对象的反映,公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。
古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。
从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。
但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。
概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n
P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
概率论-概率的公理化
人数 至少有两人同 所有这些概率都是在假定 生日的概率 一个人的生日在 365天的任
20
0.411
何一天是等可能的前提下计
21
0.444
算出来的. 实际上,这个假定
22 23
0.476 0.507
并不完全成立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至
24
0.538
少有两人同生日是有利的.
P(A)
=
1296
=0.482
于是 P( A) 1 P( A) =0.518
例2.设事件A, B互不相容, P( A) p, P(B) q,试求P( A B), P(AB), P( A B), P( A B), P(A B)
例4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的 4只鞋中至少有2只配成一双的概率。
30
0.706
40
0.891
请看演示：
50
0.970
生日问题
60
0.994
例5
对问
某人将三封写好的信随机装入三个写
好地址的信封中，问没有一封信装对地 址的概率是多少？
设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3 A={没有一封信装对地址}
则 A={至少有一封信装对地址}
直接计算P(A)不易，我们先来计算 P( A)
第四节 概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦.
下面介绍用公理给出的概率定义.
概率的公理化定义
设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对 于Ω中的每一个事件A，定义一个实值函数 P(A), 若满足下述三条公理:
概率论--公理化定义及其性质
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．
解 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
概率的性质
P() 0
证明
由公理 3 知
P() P() P() P()
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它， 求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
1-4 概率的公理化定义与性质
(5) ( 加法公式) 对于任意两事件A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
A AB B
故 P( A B) P( A) P(B AB).
又由性质4得
例 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列
32 三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
(2)由图示得
2
A
BS
P(B A) P(B) P( A) 1 1 1. , i, j 1,2,, n, i j,两两互不相容，
则
P
n
Ak
n
P Ak
;
k1 k1
有限可加性
例：袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个是黑球。 从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。
(3) P( A) 1 P( A), P() P( A A) P( A) P( A)
BA
S
(3)由于B A B A B AB,
因而 P(B A) P(B) P( AB)
1 1 3. 28 8
A AB B S
二、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
自然数的公理化
自然数的公理化
自然数的公理化是通过皮亚诺公理（Peano axioms）来定义的。
皮亚诺公理是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出的关于自然数的五条公理系统。
这些公理是数学中用于定义自然数的基础，它们描述了自然数的基本性质和运算规则。
皮亚诺公理包括：
0是一个自然数：这条规定了自然数的起点，即自然数系包含0。
每个自然数a都有一个后继数a'：这意味着每个自然数都有一个唯一的“下一个”数，即它的后继。
0不是任何自然数的后继数：这确保了0作为自然数系的起始点是唯一的。
不同自然数的后继数不相同：如果a和b是两个不同的自然数，那么它们的后继数a'和b'也不相同。
如果一个性质适用于0，并且假设它适用于一个自然数，那么它也适用于该自然数的后继数，则该性质适用于所有自然数：这是数学归纳法的基础，它是证明涉及自然数的性质时非常重要的工具。
值得一提的是，皮亚诺公理为自然数的算术运算（如加法、乘法）提供了基础，并且在逻辑上构建了整个自然数的理论体系。
通过这些公理，我们可以定义加法、乘法等运算，并证明它们的性质，如交换律、结合律和分配律。
此外，皮亚诺公理还可以用来定义减法和除法运算。
总的来说，皮亚诺公理是现代数学中对自然数进行公理化描述的基础，它不仅为自然数的性质提供了清晰的描述，而且还为更高层次的数学理论，如实数、微积分等，提供了坚实的基础。
概率的公理化
概率的公理化古典概率和几何概率都带有局限性，因为它们都是以等可能性为基础的，而实际问题中遇到的情况还有许多是没有这种等可能性的。
概率的统计定义虽然适合于一般的试验而且直观，但是在数学上不严格，因为那里的依据是“试验次数很大时，频率所呈现的稳定性”。
然而，对于那里所提到的“摆动”应如何理解却没有确切的规定，因此有必要引进事件概率的公理，使事件概率的定义具有普遍性、严密性，为以后的推理提供依据。
一、概率的公理化定义定义6.设Ω是给定的样本空间，Γ是由Ω的一些子集构成的集合类，如果Γ满足下列条件：（1）∈ΩΓ;(2) 若A ∈Γ，有∈A Γ；（3）若∈i A Γ，=i 1,2，...,有∈∞=i i A 1 Γ， 则称Γ为一事件域。
Γ中的元素称为事件，Ω称为必然事件。
关于Γ成立如下的定理：定理1.设Γ为一事件域，则（1）∈φΓ；（2）若A,B ∈Γ，有∈-B A AB B A ,, Γ;(3) 若∈i A Γ，=i 1,2，...，有∈∞=i i A 1 Γ。
定义7.设Γ是一事件域，对每一事件A ∈Γ，定义实值集函数P(A), 它满足如下三个条件：（1）非负性：对每一A ∈Γ，有P(A)≥0;(2) 规范性：P （Ω）=1（3）可列可加性：若∈i A Γ，=i 1,2，...,且)(j i A A j i ≠=φ，即两 两互不相容，有)()(11∞=∞=∑=i i i i A P A P ； 则称P 为Γ上的概率，称P(A)为事件A 的概率。
（Ω，Γ，P ）就是对应的概率空间。
一般说来，若样本空间Ω内的元素有有限个，譬如n 个，Γ是由Ω的所有子集所组成的事件域，则Γ内的事件的总个数是“2”。
二、概率的性质定理2.不可能事件的概率为0，即P(φ)=0定理3.（有限可加性）若,,...2,1,,,n j i j i A A j i =≠=φ即n A A A ,...,21两 两互不相容，则)()(11∑===ni i i n i A P A P 定理4.对任一事件A ，有)(1)(A P A P -=.定理5.（减法公式）若,A B ⊂则)()()(B P A P B A P -=-.推论1.若)()(,A P B P A B ≤⊂则推论2.对任一事件A,1)(≤A P定理6.（一般加法公式）对任一事件A 、B,有)()()()(AB P B P A P B A P -+=定理7.设{}i A 为一单调非减事件序列，则)lim ()(lim n n n n A P A P ∞→∞→= 此定理称为概率的下连续性。
1-3概率公理化定义及性质
云师大数学学院
第 10 页
2011-10-05
特别，当事件 A1 , A2 , , An 两两互斥时， 公式为 P( A1 ∪ A2 ∪ 证明
∪ An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + + P( An )
可用数学归纳法证明，略.
例 1.3.1 顺序抛掷两颗骰子看成一次 试验， 把该试验重复25次， 问事件A = “至 少掷出一个双6”的概率. 可考 解 这个问题直接求 P ( A) 不容易，
1 10 × 9
； .
P( A1 A2 A3 ) = P ( A1 A2 A4 ) =
1 = P ( A8 A9 A10 ) = 10 × 9 × 8
；… ；
P ( A1 A2
A10 ) =
1 10!
由一般加法公式有
⎛ 10 ⎞ 10 P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑P( Ai ) − ∑ P( Ai Aj ) + ∑ P( Ai Aj Ak ) − − P( A A2 1 1≤i< j ≤10 1≤i< j <k ≤10 ⎝ i=1 ⎠ i=1 1 1 1 = 1− + − − = 0.6321. 2！ 3！ 10！
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A ) 10
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这 个 概 率 值 在 Excel 中 利 用 函 数 FACT(n)容易算出.
云师大数学学院
第 17 页
2011-10-05
推论 1.3.4（一般加法公式） 对任意 n 个事件 A1 , A2 , , An ，有
⎛n ⎞ n P⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑P( Ai ) − ∑ P( Ai Aj ) + ∑ P( AAj Ak ) − + (−1)n−1 P( A A2 1 i 1≤i< j≤n 1≤i< j<k ≤n ⎝ i=1 ⎠ i=1 An ).
分数的四种定义
首先，它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比， 较抽象，但是仍然是几何直观，可以帮助学生感知分数的含义。 其次，这是数轴的雏形，早在学习自然数的时候，已经用过这 样的表示方法。再次，通过操作可以看到分数是填在自然数之 间的“新”数，位置在两个相邻的自然数之间，并和分数大小 比较、扩分、约分、通分以及运算相呼应。我国的分数教学， 擅长分数的计算，不大注意在数轴上直观地加以表示。其实， 这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道，正的真分 数是密密麻麻地分布在[0，1]区间上的。至少，在[0，1]内画出 所有的以10为分母的真分数，加强分数和数直线之间的联系， 乃是改进分数教学的一个方面。
从数学的观点来看，这一定义体现了分数的本质，
符合数系扩张的数学思想。 目前的小学数学教材大多回避这一定义，只是用
“分数和除法的关系，分数是分子除以分母”这样不 着边际的话蒙混过去。事实上，儿童能够懂得：1个大 饼给2个人平均分，每人只能分得一半——即“二分之 一”。这时，脑子里如果始终是半个大饼，那就还没 有学好分数。我们应该帮助学生想到“二分之一”即 1/2，是一个新的数，它比1小。如果4个人平均分1个大 饼，每个人得到1/4，它也是一个新的数。显然 1/4 < 1/2。
“分数是两个整数的比(值)”，在中学数学和高等数
学中，我们常常这样说Байду номын сангаас但是，小学数学课程的安排
是先学分数，再学比。因此，不可能一开始就采用比
作为分数的定义。令人意外的是，已经学过比和比例
的小学六年级学生，仍然缺乏用比和比例的眼光去审 视分数。前面曾提及的调查数据是：对于图1，38名六 年级学生中，有36名学生看到了1/4，却只有3名的回答 中有1/3。其实，1块黑，三块白，1：3，其比值正是 1/3，非常直观。为什么看不到?只因把整块大饼看做单 位“1”，已经根深蒂固。甚至有一位小学老师说，这个 图表示的分数只能是1/4，说1/3是错的。由此可见，思 维定势之严重。
公理化体系-概述说明以及解释
公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。
它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。
公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。
在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。
公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。
通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。
公理化体系的构建方法可以有多种。
通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。
然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。
在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。
公理化体系的应用领域非常广泛。
在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。
在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。
在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。
总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。
通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。
公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。
随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。
文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。
下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。
文章主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。
在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。
几何概率公理化定义精
又由性质 3 得
P ( B A ) P B ( B ) P ( A ),B
因此得
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ). B
推广 三个事件和的情况
P (A 1 A 2 A 3) P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 2 A 3 )
解 设x,y分别为,乙 甲两人到达的时 刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充要条件为
xyt,
若以 x, 分面积 p 正方形面积
T2
(Tt)2 T2
1(1 t )2. T
y
T
o
•
t
yxt
xyt
•
Tx
蒲丰投针试验
例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区 域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其 中 m()是 样 本 空 间,m的 (A)是 度 构 量 成A事 件 的 子 区 域 的 )这度 样量 借 助 于 几量 何来 上合 的理 度 规定的概几 率何 称概 为 . 率
24
2000
于是所求概率为
P(AB) 1 { P ( A ) P ( B ) P ( A )} B 12303032020500208030 043 .
几个常见函数的公理化定义
二、幂函数的定义
设g是 R R 上的函数，满足 x , y R , 有 g ( x, y ) g ( x ) g ( y ) 公理Ⅰ 对于 公理Ⅱ g ( x) 在x=1处可导，且 g (1) m 0 则称g是m次幂函数． 性质1 对于 x R ,有
y g ( y) 1 1 g ( x) 0, g (1) 1, g ( ) , g( ) x g ( x) x g ( x) mg ( x) g ( x) 处处可导，且 g ( x) x
§4 几个常见函数的公理化定义
一 、指数函数与对数函数 二 、 幂函数 三 、三角函数与反函数
一、指数函数与对数函数
(一)指数函数的定义
数函数的定义： 设f是R→R上的函数，满足 公理Ⅰ x、y R, f ( x y) f ( x) f ( y) x 有 f ( x) ≥ 1 kx （常 公理Ⅱ 数 k 0 ），则称为指数函数．
(二)指数函数的性质
性质1 f (0) 1, x、y, f ( x) 0
1 f ( x) f ( x) , f ( x y) f ( x) f ( y)
性质2 指数函数f ( x) 处处连续可导， 且 当时k 0 ，f ( x) 是单调上升函数； 当时k 0 ，f ( x) 是单调下降函 数．
性质2
性质3 函数g ( x)具有任意阶导数) (m n 1) g ( x) x
三、三角函数与反函数的定义
设C与S是R→R上的函数，它们满足 公理Ⅰ x, y R，有
C ( x y) C ( x)C ( y) S ( x) S ( y);
S ( x) ≤ ≤１
性质3 （加法定理）对于 x, y R ，有
【公理化】
【公理化】1.【定义】所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。
2.【公理化的准则及目的】数学公理化的目的是要把一门数学整理成为一个演绎系统，而这一系统的出发点就是一组基本概念和公理．因此，要建立一门数学的演绎系统，就要在第一步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题．选取的基本概念是不定义概念，必须是无法用更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是高度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定．在确定了基本概念和公理之后，就要由此出发，经过演绎推理，将一门数学展开成一个严格的理论系统．也就是说，对系统中的每一概念予以定义，而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概念；对其它每一命题都给予证明，而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真实的定理．因此，一门数学的演绎系统就是这门数学的基本概念、公理和定理所构成的逻辑的链条．在上述过程中，从认识论的角度来看，任何公理系统的原始概念和公理的选取必须反映现实对象的本质和关系．就是说，应该有它真实的直观背景而不是凭空臆造．其次，从逻辑的角度看，则不能认为一些概念和公理的任意罗列就能构成一个合理的公理系统，而一个有意义的公理系统必须是一个逻辑相容的体系．3.【公理化的作用与影响】谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点：(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用．凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便．(2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创(3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用．这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如，20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例．【公理系统的相容性证明】一个公理系统的相容性是至关重要的，因为一个理论体系不能矛盾百出．而独立性和完备性的要求则是次要的．因为在一个理论体系中，如果有多余的公理，对于理论的展开没什么妨碍；如果独立的公理不够用，数学史上常常补充一些公理，逐步使之完备．【问题的产生及历史发展背景】关于相容性征明这一概念的产生和历史发展的背景是这样的：自从罗巴切夫斯基几何诞生后，由于罗氏平行公理(过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线平行)如此地为常识所不容，这才真正激起了人们对于数学系统的无矛盾性证明的兴趣和重视．后来，庞加莱(Poincare‘，1854-1912)在欧氏半平面上构造了罗氏几何的模型，把罗氏系统的相容性证明通过一个模型化归为欧氏系统的相容性证明，但却由此导致了人们对欧氏系统相容性的重重疑虑．幸亏那时已经有了解析几何，这就等于在实数系统中构造了一个欧氏几何的模型．这就把欧氏几何的无矛盾性归结到了实数论的相容性．那么实数论的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把实数定义为有理数的分划，也即有理数的无穷集合，因而把这个无矛盾性归结到了自然数系统的无矛盾性．又由于弗雷格( Frege，1848-1925)的自然数的概念是借助集合的概念加以定义的，因此，归来归去还是把矛盾集中到集合论那里去了．那么集合论的相容性如何？事实上，集合论的相容性正处于严重的“危机”之中，以致这种相容性的证明至今还未解决．【庞加莱模型和相对相容性证明】庞加莱为证明罗氏几何的相容性，在欧氏系统中构造了一个罗氏几何的模型．即在欧氏平面上划一条直线a将其分成上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任一长为半径的半圆周作为罗氏几何的直线，然后对如此规定的罗氏几何元素一一验证罗氏平行公理是成立的。
公理化定义
在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.下面介绍用公理给出的概率定义.概率的公理化定义公理2P (S )=1 (2)公理3若事件A 1, A 2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的. ++=++)()()(2121A P A P A A P ≤公理10 P (A ) 1 (1)≤≤设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于S 中的每一个事件A ，赋予一个实数，记为P (A ) ，称为事件A 的概率，如果集合函数P ( ) 满足下述三条公理:⋅公理2P (S )=1 (2)公理3若事件A 1, A 2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.++=)()()(2121A P A P A A P ≤≤公理10 P (A ) 1 (1)≤≤公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出概率的一些简单性质.在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.文氏图ＡS设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件A把图形的面积理解为相应事件的概率S 因为AA S +=互斥与A A 1=P(S)=P(A)+P( )AＡＡAS 性质1对任一事件A ，有(4))(1)(A P A P -=性质1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A 的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P (A ).)(A P A )(1)(A P A P -=性质1对任一事件A ，有(4))(1)(A P A P -=例1将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件A={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.)(1)(A P A P -=于是=0.5181296625因此= =0.482)(A P 6666⨯⨯⨯由于将一颗骰子抛掷4次,共有=1296种等可能结果,5555⨯⨯⨯A 而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种例2有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.r r P A P )365()(365=r r P A P A P )365(1)(1)(365-=-=A为求P (A ), 先求P ( )解：令A ={至少有两人同生日}={ r 个人的生日都不同}A 则用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476)(A P 美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：表3.1人数至少有两人同生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大. 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.性质2(5)0)(=φP SA =即不可能事件的概率为0 .令SA A ==,φ再利用性质1及公理2即得.S))(()(A B A P B P -= 0)(≥-A B P 移项得(6),便得(7) .再由φ=-)(A B A )()(A B P A P -+=由可加性性质3设Ａ、B 是两个事件，若,则有(6))()()(A P B P A B P -=-)()(A P B P ≥B A ⊂(7)B AS)()())(()(AB B P A P AB B A P B A P -+=-= B AB ⊂又因再由性质3便得(8) .φ=-)(AB B A 性质4对任意两个事件A 、B ，有)()()()(AB P B P A P B A P -+= (8)A B AB我们介绍了概率的公理化定义它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质. 它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.。
什么是“公理化”
什么是“公理化”数学上，⼀个公理系统（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是⼀个公理的集合，从中⼀些或全部公理可以⽤来⼀起逻辑的导出定理。
⼀个数学理论由⼀个公理系统和所有它导出的定理组成。
⼀个完整描述出来的公理系统是形式系统的⼀个特例；但是通常完全⾓式化的努⼒带来在确定性上递减的收益，并让⼈更加⽆法阅读。
所以，公理系统的讨论通常只是半⾓式化的。
⼀个形式化理论通常表⽰⼀个公理系统，例如在模型论中表述的那样。
⼀个形式化证明是⼀个证明在形式化系统中的表述。
性质⼀个公理系统称为⾃洽（或称相容、⼀致性），如果它没有⽭盾，也就是说没有从公理导出⼀个命题及其逆命题的能⼒。
在⼀个公理系统中，⼀个公理被称为独⽴的，若它不是⼀个从系统的其它公理可以导出的定理。
⼀个系统称为独⽴的，若它的每个定理都是独⽴的。
虽然独⽴性不是⼀个系统的必要需求，⾃洽性却是必要的。
⼀个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导出或其逆可以导出。
模型公理系统的数学模型是⼀个定义严谨的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是⽤⼀种和系统中所定义的关系⼀致的⽅式。
具体模型的存在性能证明系统的⾃洽。
模型也可以⽤来显⽰⼀个公理在系统中的独⽴性。
通过构造除去⼀个特定公理的⼦系统的正确模型，我们表明该省去的公理是独⽴的，若它的正确性不可以从⼦系统得出。
两个模型被称为同构，如果它们的元素可以建⽴⼀⼀对应，并且以⼀种保持它们之间的关系的⽅式。
⼀个其每个模型都同构于另⼀个的公理系统称为范畴式的，⽽可范畴化的性质保证了系统的完备性。
第⼀个公理系统是欧⽒⼏何。
公理化⽅法公理化⽅法经常被作为⼀个单⼀的⽅法或着⼀致的过程来讨论。
以欧⼏⾥得为榜样，它确实在很多世纪中被这样对待：直到19世纪初叶，在欧洲数学和哲学中古希腊数学的遗产代表了智⼒成就（在⼏何学家的风格中，更⼏何的发展）的最⾼标准这件事被视为理所当然（例如在斯宾诺莎的著作中所述）。
这个传统的⽅法中，公理被设定为不⾔⾃明的，所以⽆可争辩，这在19世纪逐渐被扫除，这是随着⾮欧⼏何的发展，实分析的基础，康托的集合论和弗雷格在数学基础⽅⾯的⼯作，以及希尔伯特的公理⽅法作为研究⼯具的“新”⽤途⽽发⽣的。
1.3 公理化定义
i 1 i 1
称P(A)为事件A的概率。
(可列可加性)
一、概率的性质 (1)P(φ)=0 (2)事件的有限可加性：设A1, A2, …,An是n个两两 互不相容事件, 即AiAj= (ij), i,j=1, 2, …, n , 则 P( A1 A2 … An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 推论：P( A )=1－P(A) (3)事件差: A、B是两个事件，则 P(A－B)=P(A)－P(AB) 推论：若事件AB, 则 P(A－B)=P(A)－P(B) A A A-B S A-B B
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概念: 随机现象、(随机)试验、(随机)事件、样本点 与样本空间、基本事件与复合事件、必然 事件与不可能事件 事件间关系: 包含、相等、互不相容(互斥)、对立 (互逆)、完备事件组
事件间运算: 事件的和、差、积
事件的运算律: 交换律、结合律、分配律、摩根律、 重叠律、对立律、吸收律、蕴含律 概率的统计定义与性质、古典概型
1 3 1 7 (1)P(AB)=P(A)＋P(B)－P(AB) 2 10 10 10 3 (2) P ( A B ) 1 P ( A B ) 10 1 1 2 (3)P(A－B)=P(A)－P(AB) 2 10 5
某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸 的人数分别占全体市民人数的30%,其中 有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人 同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一 人,他至少订有一种报纸的概率. 解: 设A, B, C分别表示“选到的人订甲, 乙, 丙报 ” P(AB C)=P(A)＋P(B)＋P(C) －P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC) =30%×3－10%－0－0＋0 =80% 即从该市任选一人,他至少订对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
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P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
(3)
这里事件个数可以是有限或无限的 .
公理 1 0 P(A) 1
(1)
公理2 P(S)=1
(2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 P( A1 A2 ) P( A1) P( A2) (3) 这里事件个数可以是有限或无限的.
A (B A)
P(B A) 0 便得(7) .
性质4 对任意两个事件A、B，有 P( A B) P( A) P(B) P( AB) (8)
P( A B) P( A (B AB))
B AB A
S
A (B AB)
P( A) P(B AB)
又因
AB B
再由性质 3便得 (8) .
在学习几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 的进一步的内容.
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦.
A发生
{出1次“6”点} {出2次“6”点}
{出3次“6”点} {出4次“6”点}
直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的 对立事件
A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率.
由于将一颗骰子抛掷4次,共有
6 6 6 6 =1296种等可能结果,
而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点}
20
0.411
何一天是等可能的前提下计
21
0.444
算出来的. 实际上,这个假定
22 23
0.476 0.507
并不完全成立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至
24
0.538
少有两人同生日是有利的.
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
性质2
P( ) 0
P(A)
P3r65 (365)r
P
(
A)
1
P
(
A
)
1
P3r65 (365)r
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.
这个概率不算小，因此它的出现不 值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着 球迷人数的增加而迅速地增加，如下页 表所示：
表 3.1
人数 至少有两人同 所有这些概率都是在假定 生日的概率 一个人的生日在 365天的任
下面介绍用公理给出的概率定义.
概率的公理化定义
设E是随机试验，S是它的样本空间，对
于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为
P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数
P( ) 满足下述三条公理:
公理1 0 P(A) 1
(1)
公理2 P(S)=1
(2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有
我们介绍了
概率的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.
由概率所必须满足的三条公理，我们 推导出概率的其它几条重要性质. 它们在 计算概率时很有用，尤其是加法公式.
P( A) 1 P( A)
(4)
性质1在概率的计算上很有用，如果 正面计算事件A的概率不容易，而计算其 对立事件A 的概率较易时，可以先计算 P( A) ，再计算P(A).
P( A) 1 P( A)
例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次 “6”点的概率是多少？
令 事件A={至少出一次“6”点}
的结果数有5 5 5 5=625种
因此
625
P(A)
=
1296
=0.482
于是 P( A) 1 P( A) =0.518
例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日}
则 A ={ r 个人的生日都不同}
为求P(A), 先求P( A)
公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；
公理2说明，必然事件的概率为1；
公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的 事件序列，这些事件至少有一个发生的概 率正好等于它们各自概率之和.
由概率的三条公理，我们可以推导 出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.
在说明这些性质时，为了便于理 解，我们常常借助于文氏图.
(5)
即不可能事件的概率为0 .
AS
令A , A S
再利用性质1及公理2 即得.
性质3 设Ａ、B是两个事件，若 A B , 则
有 P(B A) P(B) P( A) (6)
P(B) P( A)
(7)
P(B) P( A (B A))
B A
由可加性 P( A) P(B A)
S
移项得(6), 再由
文氏图
其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件
A
Ａ
设边长为1个单位 的正方形的
面积表示样本空间
S
把图形的
面积理解
S
为相应事 件的概率
性质1 对任一事件A ，有
P( A) 1 P( A)
(4)
ＡＡ A SS
因为 S A A A与A互斥
1=P(S)=P(A)+P( A )
性质1 对任一事件A ，有