《金融数学引论第二版》复习提纲

《金融数学引论》复习提纲

第一章 利息的基本计算 第一节 利息基本函数

一. 累积函数a(t)与总量函数A(t)

某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。

利息金额I n =A(n)-A(n-1)

对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 二．单利和复利

考虑投资一单位本金，

（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；

实际利率 )

()()()(1111-+=

---=n i i

n a n a n a i n （2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。 实际利率 i i n =

例题：1.1

三.. 贴现函数

一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。

等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：

,(1),111

1,,,1d i i d i i d d i

v d d iv v i d id

i

=+==-+=-==-=+

例题：1.2

四．名利率与名贴现率

用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。

与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。 名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。

名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()

m m m m i d i d m m m m

-=⋅。 例题：1.3

五．连续利息计算

定义利息强度（利息力）为()()

()()

t A t a t A t a t δ''==， 0

()t

s ds

a t e δ⎰=

一个常用的关系式如下：()()11

[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m p

δ---+=+==-=-=

例题：1.4

要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。

习题：1、16、19

第二节 利息基本计算 一. 投资期的确定

计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。

二．价值方程 例题：1.5

三． 未知时间问题

72算法：利率为i 时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是0.72/i 。 四．未知利率问题 1．线性插值法

2．迭代法 重点：价值方程

第二章 年金 第一节 基本年金

一. 期末年金

现值为 2

1

1n

n n n v a v v v

v i

--=++++=

终值为 2

2

1

(1)11(1)(1)(1)

(1)

n n n n i s i i i i i

--+-=+++++++++=

n a 与n s 的关系： （1） (1)n n n i a s += （2）

11

n n

i a s =+ 二. 期初年金

现值为 ..

2

2

1

11n n n n v a v v v

v

d

---=+++++=

终值为 ..

2

1

(1)1

(1)(1)(1)

(1)n n n

n i s i i i i d

-+-=++++++++=

..

n a 与..

n s 的关系：

（1） ....

(1)n n n

i a s += （2）

..

..

11n

n

d a s =

+

期初与期末年金现值与终值之间的关系：

..

(1)n n a i a =+，..

(1)n n s i s =+

..

11n n a a -=+，..

11n n s s +=-

三. 永久年金

（1） 期末永久年金的现值 211

11lim n n n n

n n a v v v v v v i i -∞∞

→∞==+++++-===

∑

（2） 期初永久年金

..

211

111lim n n n n

n n a v v v v v v d d ∞-∞

→∞==++++++-===

∑

例题：2..3 2.4

第二节 广义年金

一. 付款频率与计息频率不同的年金 1.付款频率低于计息频率

（1） 期末年金 年金现值为：

2(1)1111(1)1(1)1n k k

k

k

n k k k

k n k k

k

n n k k n k

v v v

v v v v v v v v i i i i a s ++++--==----==⋅+-+-=

年金累积值为：

2(1)(1)(1)11(1)1(1)1(1)1(1)n k n k k n n k k n

k

i i i i i i i i i s s --+++++++-+-+==⋅-+-+=

（2） 期初年金 年金现值为：