小波相干性分析

综 述
小波相干分析及其应用
摘 要：将小波变换与相干分析相结合构成的小波相干分析，探测Fourier 相干无法探测的特征信息，小波相干分析不仅能提供傅立叶分析类似的谱图，还能捕捉信号之间短时相互作用，因此小波相干分析在临床上的应用越来越广泛。

本文主要介绍小波相干分析方法以及在生活中的应用。

关键词：小波分析；相干分析；小波相干；脑电信号；肌电信号
1 引言
随着科技的进步，信号处理在我们的生活中的作用越来越明显。

在临床方面，脑电信号和肌电信号的分析，不仅有助于医师诊断病人的身体状况，而且还可以帮助医师进行康复工作。

但因为生理信号是一种非常复杂的信号，信号本身非常微弱，稳定性较差，随机性很强，因而传统的Fourier 相干在分析这些信号时存在一定的局限性[1-2]。

小波分析方法对非平稳信号的特殊处理能力，使其在脑电和肌电信号的分析和处理中显示出极大的优越性。

因此与相干分析相结合构成小波相干分析，既能够获取待分析信号的幅值和相位信息，又能够衡量相干性随时间的变化规律[3-4] 。

2 相干分析
对于两个复随机信号x 和y ，相干性系数定义为功率谱密度(power-spectrum density ，PSD) 和互谱密度(cross-spectrum density ，CSD ) 的函数，计算公式如下:
(1)
公式(1) 中,P xx (f)和P yy (f)分别表示信号x 和信号y 的PSD,P xy (f)表示信号x 和y 之间的CSD ，PSD 是频率f 的实函数，而CSD 是f 的复函数。

Coh xy 表示信号x 和信号y 在频率f 处的相干性系数，式中0≤Coh xy ≤1，且Coh xy =0，x 和y 不相干;Coh xy =1，x 和y 完全相干。

相干性系数反映的是两信号之间的同步性相似性，或两信号的变化规律是否
具有线性关系，该理论在地球物理雷达通信等方面都有着重要的应用，近年来也越来越多地应用于医学信号，如EEG 和EMG 。

当公式( 1) 中的信号x 和y 分别为EEG 中两个通道信号时，即可实现EEG 信号的相干性分析，按照经典的频谱分析方法，设计步骤如下：
(1) 对记录到的EEG 时域信号进行傅立叶变换( FFT) ,得到F(x)和F(y) ；
)()()(Coh 2
xy 2f Pyy f Pxx f Pxy •=
(2) F(x)与F(y)的乘积作为CSD,F(x) F(y)分别与其共轭相乘作为PSD ；
(3) 用CSD 除以两信号的PSD 进行归一化处理，如公式(1) 所示，得到Coh xy; 归一化处理是为了使相干性系数与两信号的震荡幅度相独立，从而保证相干性分析在动态功率谱变化中的有效性。

3 小波变换
一般认为，实际信号中不同频率成分的分量具有不同的时变特性，通常，慢变信号具有较低频率成分的频谱，变化激烈的信号具有较高频率成分的频谱。

小波变换是由法国科学家莫莱特（Morlet ）在1980年分析地震信号时提出的，在小波变换中，Morlet 引入了多尺度分析的概念，可以由粗及细地逐步观察信号。

小波母函数的定义如下：
)()(21ab a b t a t -=-ψψ （2）
其中，a, b ∈R, a≠0, 分别是尺度参数和时间参数，母函数可以为实函数或者复函数。

小波变换的实质是将信号与一个在时域和频域上均具有局域化性质的平移伸缩小波权函数进行卷积，从而将信号分解成位于不同时间和频率上的各个成分。

小波变换的定义如下：
()()()()b a S dt a b t t S a b a ,21,,S W ψψψ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=*-⎰ （3） 式中*表示复共轭，(S,ψab )即表示小波系数[5]。

小波变换克服了短时傅立叶变换窗函数固定尺度的缺陷，高频处采用短时窗以提高时间分辨率，低频处采用长时窗以提高频率分辨率。

在小波分解中，随着分解尺度的增加，小波逐渐向低频方向聚焦。

Morlet 小波由于具有良好的时域与频域局部化特性，因此在信号的时频分析应用中经常被采用。

复Morlet 小波是高斯窗口的复正弦函数，其表达式如下：
()()()22
f 2δττπτψ---••=u u f j e e f u ， （4）
复Morlet 小波变换的定义如下：
()du u u x f f )(),(W ,x *
⎰=τψτ （5） 小波分析不仅具有完美的数学内涵，而且具有重要的应用价值，特别适用于
信号的瞬态分析、图像边沿检测、图像去噪处理、模式识别、数据压缩、分形信号分析等方面。

Akey [6]、Blinowska [7]、Meste [8]等人利用小波相干的时间—尺度能量分布分析方法对心血管音、脑电、晚电位等生物医学信号进行分析，所得尺
度谱的分辨率比一般谱图的分辨率要高。

在晚电位分析方面，目前仪器中采用的手段多是累加平均，人们希望能发展逐拍的动态检测，但是由于噪声(主要是肌电)干扰，小幅度的肌电与之很难区分。

为了研究小波分析对心室晚电位动态分析的有效性，Tuteur [9]人为地在某一心拍的QRS 波后期加以持续时间约0.1s 的仿真晚电位。

分析结果表明，在a=16的尺度下晚电位被明显突出。

钟伯成等人[10]以自发的脑电信号为对象，利用小波变换对其瞬态信号进行定位和提取。

实验结果表明，基于小波变换的脑电信号瞬态检测法能方便而有效地完成瞬态波形的检测与参数提取。

小波变换突出局部特征的能力使它成为检测瞬态突变及图像边沿的有力手
段.传统上常用的检测手段是匹配滤波和傅里叶变换，但前者需要有关于待检测信号的先验知识，后者则主要对长期持续周期性信号有效。

只有小波变换适于检测低能量的短时瞬变信号，而且不需要很多先验知识。

4 小波相干
小波相干（wavelet coherence ）来源于傅立叶相干，其定义如下[11-13]：
()()()()()f t SW f t SW f SW YY XX XY ,,,t t,f Co W 2
2= （6） 其中 ()()()τττδδd f W f W f Y t t X ,,,t SW 22XY *+-⎰=
（7） SWxx(t,f)和SW YY (t,f)也可按照上式计算。

δ是随所关注频率而改变的，其取值照
下式,：
f n cy =
δ （8） 此式体现小波相干的根本思想，即对于较高的频率使用较窄的积分窗。

这里n cy 为[]22,t δδ--t ，时间段内的周期个数，一般来说，对于短时间序列，n cy 取比较小的数值，如5或者6，而对于长的时间序列，n cy 取较大数值[11,13]。

5 小波相干的应用
5.1脑电信号处理
大脑内部通过各种信息传递来完成整体的任务，各导联信号之间的相干性大
小即可体现脑区之间的联系强度，并给予我们大量神经中枢内部的交互信[15]。

脑电的相干分析由来已久，从 20 世纪六、七十年代的初步尝试到 90 年代的普遍承认和迅猛发展，相干分析已经成为研究脑神经的重要方法[14,15]
研究显示，长距离脑区信息交互主要依靠振荡频率在30～80 Hz 的gamma 节律，它被认为是中枢神经系统交流的普遍编码，其中40 Hz 的节律近年来得到越来越多的关注，如Tiitinen等报道其与选择性注意有关，尤其在顶叶和额叶最为突出[16-18]。

选择计算40 Hz 左右各导联与前额之间的相关性，此相关值可表征各脑区与前额的信息交流程度。

吴捷，张宁，杨卓，张涛[19]等人尝试将小波相干方法应用于事件相关电位实验的脑电信号分析中。

实验分为三组：听觉任务、震动任务1和震动任务2。

对12个受试者的实验数据进行40 Hz 左右的小波相干分析，计算了前额脑区与其他各脑区之间的相干性，发现震动任务的小波相干值大于听觉任务并有显著差异，且在不同的任务中，各脑区的小波相干值有其明显不同的分布特征，且随时间呈有规律的变化。

分析体现了小波相干在短时脑电信号处理上的优势。

5.2肌电方面的应用
表面肌电信号(surface electromyography signal，sEMG)是从肌肉表面通过电极引导、记录下来的神经肌肉系统活动时的一维时间序列信号，其变化与参与活动的运动单位数量、运动单位活动模式和代谢状态等因素有关，能够实时、准确地和在非损伤状态下反映肌肉活动状态和功能状态[20]。

时域方法最早应用于肌电信号分析，易提取、方法简单；频域方法提取的特征值较稳定，使得频域方法成为肌电信号处理技术的主流；以小波变换为代表的时-频分析方法因结合了时域、频域两方法的特性，在肌电信号分析方面颇有潜力。

王乐军，黄勇，龚铭新[21]等人通过对10位健康男性青年志愿者为研究对象，记录受试者以50%MVC负荷强度静态屈肘运动诱发肌肉疲劳过程中主动肌肱二头肌与拮抗肌肱三头肌的sEMG ，为考查疲劳因素对相干性分析结果的影响作用，对记录的sEMG按运动持续时间平均分为两段，分别对两段sEMG进行相小波干性分析处理。

结果如下：在疲劳负荷实验过程中，肱二头肌与肱三头肌MF指标随运动持续时间表现出显著性的单调递减变化趋势。

从相干性分析结果看，在beta频段和gamma频段内，运动后半段肱二头肌与肱三头肌sEMG相干函数值要明显小于运动前半段，而tremor频段内无显著性差异。

5.3其他方面的应用
曲国庆,苏晓庆[22]等人将小波相干分析应用于山东GPS地壳运动网络,分析了两列基准站信号在南北向、东西向和垂直向上各频率成分的共同变化。

结果表明季节周期成分和半年周期成分相干较强,月周期成分相干相对较弱,说明月周期成分影响因素复杂而且不规则。

不同基准站的各周期成分在同一方向上的相干情况,也表现出一定的规律性。

6 小结
小波相干是分析两列信号相互依赖关系,尤其是探测相干瞬时变化的有效方法。

通过获取信号的幅值和相位信息,便于研究相干性随时间变化的特征,探测Fourier相干无法探测的特征信息。

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