初中数学变式习题的设计

数学变式习题的设计
习题是训练学生的思维材料，是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。

要想不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。

通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。

如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。

下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、利用变式来改变题目的条件或结论，培养学生转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）、一题多问，通过变式培养学生的创新意识和探究、概括能力
牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。

”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

例题1．如图（1）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证：△ABD∽△AEC
此题是很简单的证明题，将图形变式，添加切线BF，则可变为：
[变式训练]1. 如图（2）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线与F点.
求证：CE:BC=BF:CF
本题需证△BEF∽△CBF,若将条件进一步发展，延长AD交BF于N，则有：
2. 如图（3）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和
E.过B作⊙O的切线交CE延长线于F点,交AE延长线于N点.
求证：BN·DE=BD·EN
本题需证BE平分∠FBC和△ABD∽△CDE，并借助中间比推证，若再将F为BF、CE交点改为F是由C点作切线BN垂线的垂足，则又变为：
3. 如图（4）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和
E.过B作⊙O的切线交AE延长线于N点,作EF⊥BN.
求证：BN·DE=BD·EN
本题关键是证BE 平分∠FBC （1） （2） （3） （4）
这一组变式训练将问题的条件适当发展，或增添新的条件，不断推出新的结论，能引导学生层层递进，积极探索，深化认识。

题2.如图（一）在∆ABC 中，∠B=∠C ，点D 是边BC 上的一点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂
足分别是E 、F ，AB=10cm ，DE=5cm ，DF=3 cm ，求（1）S ∆ABC 。

（2）AB 上的高。

[变式训练]：1. 如图（一）在∆ABC 中，∠B=∠C ，若点D 是边BC 延长线上的一点，
DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，AB=10cm ，DE=5cm ，DF=3 cm ，
求（1）S ∆ABC 。

（2）AB 上的高。

上两题通过连接AD 分割成两个以腰为底的三角形即可求解；借助于添加AB 上的高CH ，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB 上的高为8cm.我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE 、DF 、CH 之间的内在联系，（学生猜想CH=DE+DF ）。

2.如图（二）在∆ABC 中，∠B=∠C ，点D 是边BC 上的任一点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，垂足分别是E 、F 、H ，求证：CH=DE+DF
3. 如图（二）在∆ABC 中，∠B=∠C ，若点D 是边BC 延长线上的任一点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，垂足分别是E 、F 、H ，求证：DF=CH+DE
在计算上两题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式
4.如图（三）在等边∆ABC 中，P 是形内任意一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，求证PD+PE+PF 是一个定值。

O
A E
B
C
D D C B E
A O F N
F O A E B C D D C B
E
A
O F
N
通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。

例：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。

那么两人合作多少小时完成？
[变式训练]1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。

甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。

甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？
3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。

甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？
4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。

甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。

甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？
6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。

现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？
这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。

学生也不必陷于题海而不能自拔。

（二）、多题一解，适当变式，培养学生求同存异的思维能力。

许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

例1：如图所示，已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8.若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积
本题直接应用菱形面积的求法
[变式训练]1.若AC与BD的夹角∠AOD=0
60,求四边形ABCD的面积；
根据平行四边形的两条对角线互相平分并且把平行四边形分成四个面积相等的三角形这个知识点，根据三角函数值求出一个三角形的高，得出面积.从而求出四边形ABCD的面积
2.若把题目中的“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，试求四边形ABCD的面积；
3. 若把题目中的“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）
这两个题中把“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，也就是把问题由特殊化转化到一般化，学生逐步明确了此种类型题的求法
[变式训练]1.如图（2），若把题中的“△ABC和△ADE均为等边三角形”改为“△ABC和△ADE均为等腰直角三角形”，问线段BD和CE又怎样的数量关系及它们之间的夹角大小
2.如图（3），若把题中的“△ABC 和△ADE 均为等边三角形”改为“△ABC 和△ADE 均为顶角为 的等腰三角形”，问线段BD 和CE 又怎样的数量关系及它们之间的夹角大小
3.现将图（3）中的△ADE 绕着点A 顺时针旋转一个角度，得到图（4），BD 与CE 的延长线交于点O ，问图（3）中的结论还成立吗？若成立，予以证明；若不成立，说明理由.
（1） （2） （3） （4） 这组变式题利用等腰三角形的性质，为证明全等三角形创造条件，并利用全等三角形的性质进行进一步的计算或证明。

教师把这类题目成组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性。

（三）、一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。

通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。

故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例题、习题的教育功能。

例如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。

[变式训练]1.顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？
2.顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？
3.顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？
做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。

P E A
B
C D O
E P A B
C D O E
A B C
D
D
B
对于几何,不少学生存在畏惧心理。

我认为在几何教学中运用变式训练就会使学生对几何产生浓厚的兴趣,这种变式训练典型的做法就是把原有的题目进行放大、缩小、改组、添加、重叠、颠倒,克服学生的思维定势,培养学生具体问题具体分析的灵活性。

例2：已知：如图（1），△ABC,∠ACB=090.CD ⊥AB,D 为垂足.求证：AD AC =2·AB
[变式训练]1. 已知：如图（2），△ABC,∠ACB=090.CD ⊥AB,D 为垂足. CE 平分∠BCD.求证：AD AE =2·AB
2. 已知：如图（3），△ABC,∠ACB=090.CD ⊥AB,D 为垂足. DE ⊥AC ,DF ⊥BC 求证：CE ：BC=CF ：AC
3.已知：如图（4），△ABC,∠ACB=090.CD ⊥AB,D 为垂足.AE 平分∠BAC 交BC 于E ， 求证：CE ：EB=CD ：CB
4.已知：如图（5），△ABC,∠ACB=090.CD ⊥AB,D 为垂足.CE 平分∠BCD ，AF 平分∠BAC 交BC 于F.求证：BF·CE= BE·DF
（1）
（2） （3）
（4） （5）
这组变式训练抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。

通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。

二、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。

D C B A B
E A C D A C D B
E E B
D C A F A B
C
D F E
从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。

在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

如在讲分式的意义时，一个分式的值为零是指分式的分子为零而分母不为零，因此对于分式3
21-+x x 的值为零时，在得到答案1-=x 时，实际上学生对“分子为零而分母不为零”这个条件还不是很清晰，难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零”这个条件，此时可以做如下变形：
[变式训练]1.当x__________时，分式3
212--x x 的值为零？（分子为零时x=1±） 2.当x__________时，分式1
12--x x 的值为零？（1=x 时分母为零因此要舍去） 通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止学生盲目做题，在有限的时间内使得效益最大化。

教学实践证明，通过习题变式有利于克服“题海战术”的重复训练倾向，从而减轻学生的过重负担，真正把能力培养落到实处。