初中数学变式习题的设计

数学变式习题的设计

习题是训练学生的思维材料，是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。要想不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、利用变式来改变题目的条件或结论，培养学生转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）、一题多问，通过变式培养学生的创新意识和探究、概括能力

牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

例题1．如图（1）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证：△ABD∽△AEC

此题是很简单的证明题，将图形变式，添加切线BF，则可变为：

[变式训练]1. 如图（2）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线与F点.

求证：CE:BC=BF:CF

本题需证△BEF∽△CBF,若将条件进一步发展，延长AD交BF于N，则有：

2. 如图（3）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和

E.过B作⊙O的切线交CE延长线于F点,交AE延长线于N点.

求证：BN·DE=BD·EN

本题需证BE平分∠FBC和△ABD∽△CDE，并借助中间比推证，若再将F为BF、CE交点改为F是由C点作切线BN垂线的垂足，则又变为：

3. 如图（4）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和

E.过B作⊙O的切线交AE延长线于N点,作EF⊥BN.

求证：BN·DE=BD·EN

本题关键是证BE 平分∠FBC （1） （2） （3） （4）

这一组变式训练将问题的条件适当发展，或增添新的条件，不断推出新的结论，能引导学生层层递进，积极探索，深化认识。

题2.如图（一）在∆ABC 中，∠B=∠C ，点D 是边BC 上的一点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂

足分别是E 、F ，AB=10cm ，DE=5cm ，DF=3 cm ，求（1）S ∆ABC 。（2）AB 上的高。

[变式训练]：1. 如图（一）在∆ABC 中，∠B=∠C ，若点D 是边BC 延长线上的一点，

DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，AB=10cm ，DE=5cm ，DF=3 cm ，

求（1）S ∆ABC 。（2）AB 上的高。

上两题通过连接AD 分割成两个以腰为底的三角形即可求解；借助于添加AB 上的高CH ，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB 上的高为8cm.我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE 、DF 、CH 之间的内在联系，（学生猜想CH=DE+DF ）。

2.如图（二）在∆ABC 中，∠B=∠C ，点D 是边BC 上的任一点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，垂足分别是E 、F 、H ，求证：CH=DE+DF

3. 如图（二）在∆ABC 中，∠B=∠C ，若点D 是边BC 延长线上的任一点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，垂足分别是E 、F 、H ，求证：DF=CH+DE

在计算上两题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式

4.如图（三）在等边∆ABC 中，P 是形内任意一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，求证PD+PE+PF 是一个定值。

O

A E

B

C

D D C B E

A O F N

F O A E B C D D C B

E

A

O F

N

通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。

例：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？

[变式训练]1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？

3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？

4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？

6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？

这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。