对数收益率

对数收益率

我们通常所指单期收益率和多期收益率均为百分比收益率，它的含义直观且计算简单，但它存在一些缺点：

首先，在金融研究中，我们总是假定证券的收益率（近似）服从正态分布，但是百分比收益率的概率密度函数既不对称也不可能呈现钟形外观。因而对于投资者而言，其最大的损失就是他的全部投资，不可能再多，即所谓有限负债。这样，对证券持有者而言，最坏的情形是证券的价格跌为0，这就意味着收益率的变动范围是-100%到+∞，这与正态分布规定不符。尽管我们可以通过选取适当的均值和方差，使收益率小于-100%的概率变得任意小，但这个概率不可能为0，因此，百分比收益率序列不会呈现正态分布形式。

其次，如果假定单期收益率服从正态分布，那么多期收益率就不可能符合正态分布。因为虽然n 个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布，但是n 个正态分布随机变量的乘积却不服从正态分布。例如，周期收益率如果是百分比收益率，那么可以假设它服从正态分布；但是如果由5个服从正态分布的日收益率乘积计算得到的，那么它就不能认为服从正态分布，这就导致了一个悖论。

尽管我们可以认为百分比收益率近似描述了证券价格行为，但其理论性质却难以令人满意。尤其是计算跨期复合收益率时，问题会变得很突出，这的确是一个很大的缺陷。为此，我们引入对数收益率的概念，使收益率具有满意的统计性质，从而有效的应用于金融建模过程中。

在给定名义收益率的情况下，年真实收益率的计算公式如下：

(1)1m n e r r m

=+- (4.4) 式中：e r 为真实年收益率；

n r 为名义年收益率；

m 为一年内复利的频数。

当m 趋向于无穷大时，(1)m n r m

+一致收敛于n r e ，称之为连续复利，于是当m 趋于无穷大时，我们就可以得到年真实收益率为1n r e -。

我们用c r 表示连续复利计算的收益率，n r 表示与之等价的每年计m 次复利的名义收益率，显然用这两种收益率计算的证券终值应该相等，于是有：

(1)c r m n r e m

=+

（4.5） 即： ln(1)n c r r m m =⨯+

（4.6） 结合（4.4）和（4.6）可得：

ln(1)c e r r =+ （4.7）

我们将式（4.7）定义的收益率称为连续复利收益率，也称为对数收益率。