用函数思想解决数列问题
函数思想在数列中的应用
＊ 臻
函数 思想在 数 列 中的应 用
◎ 王 璐 （华 中 师 范 大 学数 统 学 院 ４３００７９ 湖 北省 襄 樊 市 南漳 县 第一 中学 ４４１５００）
数 列 一 直 备 受 高 考 命 题 人 的 青 睐 ，也 是 学 生 的难 点 问 题 ．我 们 可 以把 数 列 通 项 公 式 ％ 与 前 ｎ项 和 公 式 ５ 看 成 是 一 种 以 正 整 数 ｎ为 自变 量 的 函 数 ，那 么 数 列 的性 质 就 可 以通 过 函 数 的 性 质 反 映 出来 ．本 文着 重 用 函 数 的观 点 去 理 解 数 列 ，找 出它 们 之 间存 在 的 联 系 ，拓 展 学 生 的 思 维 结 构 ， 提 高 学 生分 析 问题 和 解 决 问题 的 能 力 ．
·。 ，ｒ … ．＋ 奇１ １ 寺
总 之 ，运 用 函 数 思 想 解 决 数 列 问题 ，能 使 一 些 数 列 问 题 简 单 化 、趣 味 化 ，提 高 学 生 学 习 数 列 的 兴 趣 ，锻 炼 其 思 维 ，培 养 其 能 力．
，
）（ ：
１，２… ）的表 达 式 ；
（２）设 直 线 ＝ ， ＝— ， 轴 及 ｙ＝／（ ）的 图像 围
成 的矩 形 的 面 积 为 （ ＝１，２… ），求 ａ１，ｎ２及ｌｉｍ （ａｌ ４－啦＋… ＋
％）的值 ． 分 析 本 题 考 查 函 数 、数 列 、极 限 等 基 本 知 识 的综 合 问
２．用 函 数 的 单 调 性 求值 域
例 已知 数 列 ｛ａｎ｝中 ， ＝ １＋— ，求 数 列 中 最 大
｝ ｎ 一
项 与 最 小 项． 分 析 这里 求 数 列 的 最值 ，不 妨 我 们 就 用 函数 的思 想
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
例说用函数与方程思想解数列题
例说用函数与方程思想解数列题数列是数学中的重要概念，它可以通过函数和方程进行求解。
本文将以1200字以上的篇幅，详细介绍如何运用函数与方程思想解决数列题。
首先，让我们来回顾一下数列的定义。
数列是按照一定规律排列的一组数，可以用公式表示。
常见的数列类型有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中每个数与它前一个数之差都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2、可以通过以下方程表示第n个数的值：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个数的值，a1表示第一个数的值，d表示公差，n表示位置。
等比数列是指数列中每个数与它前一个数之比都相等。
例如，2，4，8，16，32就是一个等比数列，公比为2、可以通过以下方程表示第n个数的值：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个数的值，a1表示第一个数的值，r表示公比，n表示位置。
接下来，我们将以若干实例来说明如何运用函数与方程思维解决数列问题。
例一：已知数列1，4，7，10，13，...，则数列的通项公式是什么？求第100项的值。
这是一个等差数列，公差为3、我们可以用函数的思想来解决这个问题。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可以得到该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3、因此，第100项的值为a100 = 1 + (100-1)3 = 298例二：已知数列2，6，18，54，...，则数列的通项公式是什么？求第10项的值。
这是一个等比数列，公比为3、我们可以用函数的思想来解决这个问题。
根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，可以得到该数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。
因此，第10项的值为a10 = 2 * 3^(10-1) = 1458例三：已知数列3，5，7，9，...，若数列的和等于100，求数列的第n项。
这是一个等差数列，公差为2、我们可以通过方程的思想来解决这个问题。
立足函数观点 观察数列问题——例谈用函数图像性质解决数列问题
ｇ （ ） ＝ １ ０ 一 （ ２ ｃ 。 ｓ 子 ＋ ２ ｃ 。 ｓ 詈 ＋ １ ） ｃ ０ ｓ 一 ５ ， ｒ ｒ ，
则ｇ ， （ ） ： １ ０ ＋ （ ２ ｃ ｏ ｓ 寻 ＋ ２ ｃ 。 ｓ 詈 ＋ １ ） ｓ ｉ ｎ ｘ ＞ ０ ．
１ ０ 一 （ ２ ｃ 。 ｓ ＇ Ｉ Ｔ ＋ ２ ｃ 。 ｓ 詈 ＋ ） ｃ ０Байду номын сангаас懿 一 ５ ， ｒ ｒ ＝ ０
ｇ
（ ＂ Ｉ Ｔ ＋ ） ＋ ｇ （ 芋 一 ） ： ０ ，
所 以 ｇ （ ） 关 于 ｆ 詈 ， Ｏ １ 对 称 ． 由 ｇ （ ） ＝ ２ ＋ ｓ ‘ ｌ ｎ ｘ ＞
０ ， 知ｇ （ ） 在实数集上是递增 函数． 又｛ ａ ｝ 是公差
１ ０ ［ ｃ ｏ ｓ （ 詈 ） …ｓ （ 詈 ） － ｔ － ｃ ｏ ｓ ａ ３ ＋ （ 詈 ） …ｓ （ 詈 ） ］ ：
ｃｏｓ
为 詈的 等差 数列（ 即ｎ ， …， ｎ 在数 轴上对应的 点
是均匀分布 的） ， 结合
ｇ （ ａ 】 ）＋ ｇ （ ａ ２ ）＋… ＋ ｇ（ ａ ）＝ ０，
一
１ ０ （ ２ ｃ ０ ｓ 詈 ｃ ｏ ｓ 詈 ＋ １ ） ｃ 咖， ．
方法 １ 构 造 函数 ． 利 用 函数 的单 调 性．
，
（ ＋ ２ ＝
ｇ （ 川＝ １ ０ 一 （ ２ ｃ ０ ｓ 寻 ＋ ２ ｃ 。 ｓ 詈 ＋ １ ） ｃ 一 ５ 订 ，
（ ２ ０ １ ２年 四 川 省 数 学 高考 试 题 ）
解 厂 （ ａ １ ）＋ 厂 （ ａ ２ ）＋… ＋ 厂 （ ａ ５ ）＝ ２ （ ａ １ ＋ ａ ２ ＋ ａ ３ ＋ ａ ４ ＋ ａ ５ ）一（ Ｃ Ｏ Ｓ Ｇ １ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ Ｇ ２ ＋ ｃ ｏ ｓ ａ ３ ＋ｃ ｏ ｓ ａ ４ ＋Ｃ Ｏ Ｓ Ｇ ５ ）＝
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用函数思想解决数列最值问题
25 ， 2
20 A B 得 100 A 10 B 225 A 15B
5 A 6 5 2 125 故 Sn n ，所以 S12 S13 130 。 125 6 6 B 6 答案： S12 S13 130 。
点拨： 本题采用的方法体现函数与方程的思想， 并应用了待定系数法， 求数列前 n 项和。
高中数学 编稿老师
巧用函数思想解决数列最值问题 王应祥 一校 程文军 二校 黄楠 审核 隋冬梅
数列的最值问题是一类常见的数列问题， 是数列中的难点之一， 也是函数最值问题的一 个重要类型，数列的最值问题大致有以下两种情况。 1. 求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值。 方法：（1）研究数列 an=f（n）的项的情况，判断 Sn 的最值； 特别地，在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：
n
说明是第几项；若没有，说明理由。 解析：假设数列{an}中存在最大项，
an1 an (n 1)0.9n1 n0.9n 0.9n (0.9 0.1n) ，
当 n＜9 时， 当 n=9 时， 当 n＞9 时，
an1 an 0 ，即 an1 an ， an1 an 0 ，即 an1 an ； an1 an 0 ，即 an1 an ； a9 a10 a11 a12
令|an|=1536•（
T12 最大。
由数列的前 n 项之积 Tn =1536n•（时，则 T12 （n∈N*）最大。
2
1 0+1+2+3+…+（n-1） 1 n ( n 1) ） =1536n• ( ) 2 ，可得当 n=12 2 2
答案：n=12 点拨：本题考查考生对等比数列的定义及性质等考点的理解。
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。
而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。
一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。
函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。
通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。
通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。
三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。
实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。
根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。
实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。
例析函数思想在解决数列问题中的应用
例析函数思想在解决数列问题中的应用作者：高青来源：《职业·中旬》2010年第05期数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值;数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n 之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点。
一、用函数观点认识数列数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。
等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。
对于等差数列{an},它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数(特殊地,公差为0时是常数函数)图像上的离散点;当d≠0时,前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点(特殊地,当公差为0时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点)。
对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。
在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。
二、用函数的方法解决数列问题1.用函数观点研究数列前n项和问题例1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn,且S10=100,S100=10试求S110。
分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为当d≠0时,Sn是n的二次式,所以当d≠0时,可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此{}也是等差数列。
解:已知{}是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,-110。
例2.已知数列{an}是等差数列,公差d≠0,a1>0,若SK=Sl(K≠1,K,L∈N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn 取最值时,n的值。
分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求出SK+i的值和Sn取最值时n的值。
函数思想在数列中的应用
gsp
例题3
设无穷等差数列{an }的前n项和为S n . 3 2 (1)若a1 , 公差d 1, 求满足S k 2 ( S k ) 2 的正整数k ; (2)求所有的无穷等差数列{an }, 使得对 于一切正整数k都有S k 2 ( S k ) 2 成立.
略解 : 设Sn an bn , 3
( a a 2 ) 0 a 0或1 a0 或 解得 2ab 0 b0 , b 0或1 , 2 b b 0 ,
Sn 0或Sn n或Sn n ,
2
故 an 0或an 1或an 2n 1 .
例题4
等比数列{xn }的各项均为不等于1的正 数, 数列{ yn }满足yn log xn a 2(a 1), 且 y4 17, y7 11. (1)求数列{ yn }的通项公式yn ; (2)问：是否存在自然数M , 使得n M 时, xn 1恒成立 ? 若存在, 求出相应的M ; 若 不存在，请说明理由.
上.
二、等差数列、等比数列的前n项和公式
d 2 d n(n 1) ● 等差数列 Sn na1 d n (a1 )n 2 2 2
0
上.
点{n, Sn }(n N)在曲线
d 2 d y x (a1 ) x 2 2
n a1 a a1 a (1 q ) n 1 1 ● 等比数列 Sn q 1 (q 1) 1 1 q 1 q q 1 q
n 1 (1) 设数列 { x } 的公比为 q , 则 x x q . n n 1 略解 :
yn log xn a 2, 2 yn 2 log a x1 (n 1) 2 log a q. log xn a 于是有yn1 yn 2log a q, 为常数,{ yn }是等差数列.
高考数学题型全归纳：用函数观点看数列问题(含答案)
用函数观点看数列问题
新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联
系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于
认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题．
1 数列的本质
数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，,，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{a n}来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一
次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和S n是关于n的无常数项的二次函数，因此S n/n也是关于n的一次函数．
式是________．
考虑到a n是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式．由待定系数法知：
p＋q=0(舍去)或p＋2q=0．
例2 等差数列{a n}中，a p=q，a q=p(p≠q)求a p+q．
解由于等差数列的通项a n是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线．
解由题设知：公差a≠0．。
函数思想在中学数学中的应用
函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一，利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，m，k∈N *，且m≠k，若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析：由于{a n}是等差数列，所以S n是关于n的二次函数，设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0)，∵S m=S k=a，∴f(m)=f(k)，∴f(n)的对称轴为n=m+k2，∴f(m+k)=f(0)=0，即S m+k =0，选 D .评析：解本题的关键是建立目标函数f(n)，因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的对称性就可以解出这道题．二．利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。
在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．解析：线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点，∴方程x 2-(m+1)x+4=0在［0,3］上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4，则f(x)的图像在［0,3］上与x轴有两个不同的交点，∴Δ=(m+1) 2-16＞0,0＜m+12＜3,f(0)=4＞0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3＜m≤10三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈［-2,2］恒成立,求实数x的取值范围．解析：设f(m)=(x 2-1)m-7x+2，f(m)是关于m的一个函数，其图像是直线.依题意，f(m)<0对m∈［-2,2］恒成立.当-2≤m≤2时，y=f(m)的图像是线段，该线段应该全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(-2)＜0， f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是（12,72）四。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
列谈数学中能转化思想之函数与方程
解析 ： 设容器底面 宽为 ｘｍ ， （）则长为
ｘ Ｏ５ （ ） ＋ ． ｍ ，高 为 — ．－ ｘ ４￣ ．） ： １ ８ ４ － Ｃ＋０５ ： ４
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３２ ｘｍ） ．—２ （ 。
＋ ＞ ｏ（１奇对 切 于 专］ ａ） 一 大 ｇ －＋ ｚ
求和 ， 常规 数列的方法就不起作 用了 ， 故
必 须 用 函数 的思 想 ， 用研 究 函 数 单 调 性 的 方 法研 究这 个 数 列 ， 出 最 小值 。 求 解 析 ： ｎ 令 ） ＋ ＋‘ 。 …‘＋
６ ＋４４ ＋１６ ０， １ 一１ ｘ ４ ０， ． ．＝ 即 ５ 一＝ ｌ
＾
解 得 １ １ ＝ ＝ ，２一
１
（ 合题意 ， 不 舍
去） 。从 而 ， 定义 域 （ ， ．） 只有 在 在 Ｏ １６ 内 ｘ ｌ处使 ）＝ 。 ＝ ， ０ 因此 ， ｘ ｌ时 ， 取得最 Ｉ 当 ＝ ） ， 大 值 ，『＝ ２ ２２ １６ １８ 这 时 ， 为 ｙｌ 一 ＋ ．＋ ．＝ ．， 『 ａ ） ｃ 高
领域 ， 在解题 中有着广泛的运用。
一
、
函数 思 想
一
所谓 函数 思想 ，不仅仅是使 用函数
的方 法来 研 究和 解 决 函 数 的 问 题 ， 它 的
（ Ｎ且 ｎ ） ｎ∈ ≥２。当 ｎ ≥２时， 有 ＋１ ｎ～ … ） ） 丁 ＋
３２ ２ ； ．（ 。 ． Ｘ１ １２ ｍ） －
边 比另一边长 Ｏ５ ，那么高为 多少 时容 ．ｍ 器的容积 最大？并求出它的最大容积 。
１的 自然数 ｎ都成立 ，求 实数 ａ的取值 范围。
例谈函数思想在数列问题中的应用
２ 运 用 函数 思 想 解 数 列的 求 和 问题
数列 求 和 是数 歹 知识 的一个 重 要 万 囱 ， 在求 Ｕ 向
与一般 的关 系 ， 是这 种关 系 ， 函数 思想方 法成 为 正 使
研究 和解决 数列 问题 的重 要 方 法． 们 可 以用 函数 我 的思想 、 方法 解 决 数 列 的 问题． 列 中 的通项 、 ／ 数 前 ７ ，
， 、 ＃一２
图 是 条 线那 三 点ｍ ）２ ） 的研 究 ， 出函数 的 最大值． 象 一 直 ，么 个 （ ，ｍ ， ， （， 求
、厶 ，
３ ｌｆ 的最大 一 ２÷ｌ 值问题， 通过对函数单调性
和 问题上 ， 我们 时 常会运用 到 函数 的单 调性 、 周期性
等性 质及 函数 的解析 式．
项 和、 递推关 系 、 最值 问题及 大小 比较 问题通 常都 可
以转化 为 函数 问题 来求 解．
ｕ ｝ 项 （２ ｓ ） ｛的 ｃ ＿ ， 通 ０ ｉ ｓ
其前 项和为 ， 则 为
斜率相等， 求出 ｓ 。的值． 解： 等差 数列 ｛ ｝ 的前 ｎ项 和 ＝ １ ＋
＋∞ ） 上是 减 函数 ， 最大值 是 ２ 其 ）＝一 ． ９
所 以有 ａ 一 ． ａ ＝ａ ４ ≥ ９ 又 ２ １－ ３＞ａ． １
综上 ， 所求 的 ａ的最小 值是 一 ． ９
识， 它们 的解析 式应是相 同的 ， 而得到 ｇ 口 的值． 从 ，。
有两种形式有时我们必须运用等差、 比数列的 等 知识去解决其它数列 问题 ， 将非等差 、 比的问题转化 等 为等差 、 等比问题加 以解决 ， 从而使 问题简单化
或其 子集上 的 函数． 列 与 函数 之 间的关 系是 特 殊 数
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列是数学中重要的概念，解数列问题是学习数学的关键。
本文将从结合函数思想的角度，探讨如何巧解数列问题。
首先，我们需要了解什么是数列。
数列是按照一定的规律排列的一组有序数。
数列可以用一个通项公式来表示，也可以通过递推公式来生成。
在解决数列问题时，我们常常会用到的方法之一是递推法。
递推法的思想是通过已知数列中的一些元素，求出数列中其他元素的值。
递推法的关键就在于找出数列中元素之间的关系，这就需要我们灵活运用数学知识进行分析。
而结合函数思想就是一种灵活运用数学知识的方法。
在数列问题中，我们可以通过观察数列的特点，找出递推关系所对应的函数，从而快速求解问题。
举个例子来说明。
有一个数列的前三项分别是1，4，13，我们需要找出数列的递推关系。
我们可以观察到，第二项是第一项的平方加1，第三项是第二项的平方加1。
那么我们可以猜测，数列的递推关系是前一项的平方加1。
我们可以用一个函数f(n)表示数列的第n项，那么递推公式可以表示为f(n) = f(n-1)² + 1。
通过这种思想，我们可以将数列问题转化为函数问题，从而利用数学方法进行求解。
那么如何求解这个函数的通项公式呢？一种方法是通过递归的方式求解。
我们可以从已知条件开始推导，递归求得数列的第n项。
这种方法的思路是比较清晰的，但是计算量较大，不适用于大规模的数列。
另一种方法是通过求解递推关系所对应的差分方程。
差分方程是一种数学方程，它用来描述随机变量之间的关系。
我们可以将数列的递推关系表示成一个差分方程，然后通过求解差分方程得到数列的通项公式。
不同方法适用于不同的问题。
有些数列问题通过观察可以找到递推关系，可以直接使用递推法解决；有些问题则需要利用函数思想，将数列转化为函数，进而求解。
用函数方程的思想研究等差数列题
用函数方程的思想研究等差数列题函数方程是数学中非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种数学问题。
在等差数列中，我们也可以运用函数方程的思想来进行研究。
本文将通过一系列等差数列题目，来展示如何用函数方程的思想来研究等差数列问题。
等差数列是数学中常见的数列形式，其特点是每一项与前一项之差都是一个常数。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n=a_1+(n-1)d。
a_n表示第n项，a_1表示第一项，d为公差。
我们首先来看一个简单的等差数列问题：已知等差数列的第一项为3，公差为4，求这个等差数列的第10项。
按照等差数列的一般形式，我们可以直接代入a_1=3，d=4，n=10，就可以求出第10项的值为39。
这是一个比较简单的等差数列问题，直接套用公式就可以求解。
接下来，我们将通过函数方程的思想来研究更复杂的等差数列问题。
我们需要明确一个概念，等差数列的第n项和第m项之差是一个常数。
根据这个性质，我们可以得到一个等差数列数列的函数方程：f(n)=a_1+(n-1)d这里，f(n)表示等差数列的第n项。
可以看出，这其实就是等差数列的一般形式，只不过用函数的形式来表示而已。
现在让我们来看一个例题：按照函数方程的思想，我们可以用两个函数方程来表示这个等差数列：f(1)=3f(5)=15代入函数方程的表达式，我们可以得到：a_1+0d=3a_1+4d=15这样我们就得到了两个方程，通过这两个方程我们可以解出a_1和d的值。
进而求得第10项的值。
通过这个例题，我们可以看到用函数方程的思想来研究等差数列问题是非常简单而且直观的。
我们只需要把等差数列的性质用函数的形式表达出来，然后用方程将其联系起来即可。
对于这个问题，我们同样可以利用函数方程的思想来进行研究。
我们可以用等差数列的前n项和的公式来表示前6项的和：S_6=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=45S_6表示前6项的和，n=6，a_n表示第6项。
通过这个方程，我们可以得到一个关系式，用来表示第6项和第一项与第六项之和的关系。
如何运用函数思想解答等差数列问题
函数与数列之间关系紧密.数列可以看成是定义在正整数集或者是和其对应的子集上的函数.由于自变量为正整数，所以函数的图象不是连续的，是由一些孤立的点构成的.因此，我们在解答等差数列问题时，可以将等差数列看作一种特殊的函数，灵活运用函数思想来辅助解题，借助函数的概念、图象、性质来分析问题，从而提升解题的效率.例1.已知等差数列的前n 项公式和S n ，若S 5=60,S 20=840,求S 30.解：由于等差数列的前n 项公式和S n 是关于n 的二次函数，所以可设S n =pn 2+qn ,则S 5=25p +5q =60，S 20=202p +20q =840，解得p =2,q =2所以S n =2n 2+2n ，将n =30代入上式可得S 30=1860解答本题若采用常规方法，需根据等差数列的前n 项公式，设S n =na 1+n (n -1)2d ，将已知条件代入进行计算，计算量会非常大.将等差数列的前n 项和与二次函数联系起来，设S n =pn 2+qn ，运用函数思想来解题，则便于计算.例2.已知数列a n 的各项都是正数，且a 0=1,a n +1=12a n(4-a n),n ∈N.证明:a n <a n +1<2，n ∈N.解：设a n =x ,则f (x )=12x (4-x )，将其变形可得f (x )=-12(x -2)2+2，又因为-12(x -2)2≤0，所以f (x )=-12(x -2)2+2<2成立，即a n +1<2.又f (x )-x =-12x 2+2x -x =-12x (x -2)>0，所以f (x )>x ，即a n +1>a n .综上可得a n <a n +1<2成立.根据数列与函数的关系，可将a n +1=12a n (4-a n )看作关于a n 的二次函数.通过配方，将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的性质确定函数的最值，进而证明a n <a n +1<2成立.例3.在等差数列{}a n 中，a 1>0,S 4=S 9，问当n 取何值时，S n 有最大值.解：设等差数列的前n 项和S n =na 1+n (n -1)2d ，根据S 4=S 9可得S 4=4a 1+6d =S 9=9a 1+36d ，解得a 1=-6d ，则S n =d 2n 2-132nd =d2（n -132d ）2+1694，由a 1>0得d <0,所以抛物线的开口向下且点(n ,S n )在抛物线上，又因为n 为正整数，所以当n =b -2a =132时，S n 取最大值，但n 为正整数，所以n 取6和7时，S n 有最大值.如果采用常规方法解答本题，直接用等差数列前n 项和公式求解的话，必须先根据已知等式条件求出a 1与d 的关系，然后由S k >S k +1,S k >S k -1且k 为正整数求出满足条件的n 的值.这里，我们将等差数列前n 项和与函数关联起来，构造出函数模型，利用二次函数的对称性和单调性求得最值以及n 的取值.例4.已知数列{}a n 满足a 1=3,a n =2a n -1-4,n ≥2.求该数列的通项公式.解：令f (x )=2x -4，由x =3x -4可得f (x )的不动点是x =2.所以a n -2=3a n -1-4-2=3(a n -1-2),n ≥2，可得{}a n 是首项为3、公比为3的等比数列，探索与研究51则a n -2=(a 1-2)3n -1=3n -1，可得数列的通项公式为a n =3n -1+2.我们将该数列看作函数，结合已知的递推式求出函数f (x )的不动点，由此构造出新的等比数列，利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式.在解题时，灵活运用函数思想，借助函数的性质来解题，能将数列问题化繁为简，大大提升解题的效率.例5.已知递增数列{}a n ，对任意正整数n ，都有a n =n 2+bn >0恒成立，求b .解法一：由{}a n 是递增数列可知a n +1-a n >0对于一切n ∈Ν∗恒成立，即2n +1+b >0恒成立，所以b >-(2n +1)对于一切n ∈Ν∗恒成立，可设f ()n =-(2n +1)，则f ()n 是单调递减函数，有最大值为f ()1=-3，所以b 的取值范围是b >-3.解法二：可将a n =n 2+bn 看作是二次函数f ()x =x 2+bx ，则其定义域为{}xx ≥1,x ∈Ν∗，由{}a n 是递增数列可知f ()x 是递增函数，递增区间为[1,+∞)，且抛物线的对称轴为x =-b 2，因为函数f ()x 的图象是由一些孤立的点构成的，所以函数的对称轴x =-b2在x =1.5左侧，即-b2<1.5，解得b >-3.例6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=3，a n +1=2a n +2n +1-1(n ∈N *)．（1）求实数λ使{}a n +λ2n为等差数列，并由此求出a n 与S n ；（2）求n 的所有取值，使S na n∈N *，说明你的理由．解：（1）a n =n ·2n +1，S n =T n +n =(n -1)·2n +1+2+n .（2）S n a n =(n -1)⋅2n +1+n +2n ⋅2n +1=2+n -2n+1n ⋅2n +1，结合y =2x及y =12x 的图象可知2n >n 2恒成立，∴2n +1>n ，即n -2n +1<0，∵n ·2n +1>0，∴S na n<2.当n =1时，S n a n =S 1a 1=1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S na n<2，∴当n ≥2时，S na n∉N *.综上可得n =1.解答本题主要运用了指数函数y =2x及一次函数y =12x 图象和性质，将的表达式进行放缩，从而求得n 的可能取值.此题是恒成立问题.由于b 是未知的，并且仅仅根据已知条件无法得到问题的答案，因此考虑运用函数思想，将数列恒成立问题转化为函数最值问题来求解.解法一是通过构造一次函数，利用一次函数的单调性求得函数的最值，进而求得b 的取值范围；解法二是构造二次函数，根据二次函数的单调性和对称性使问题获解.一般地，对于较为复杂的等差数列问题，我们可以根据数列与函数的关系，构造出函数模型，将S n 看作关于n 的二次函数S n =d 2n 2+æèöøa 1-d2n ，那么点(n ,S n )是抛物线y =d 2x 2+æèöøa 1-d 2x 上的离散的点，这样便可运用函数思想来解题.利用待定系数法可求出函数的解析式，即数列的和的表达式；根据二次函数的对称性以及对称轴，便可简便地求出S n 取最大值时n 的取值；根据二次函数的性质建立使不等式恒成立的关系式；等等.根据数列与函数之间的关系对数列问题进行转化，能有效地拓宽解题的思路，提升解题的效率.（作者单位：云南省会泽一中文渊中学）探索与研究52。
品数列知识本质 用函数思想解题
ａ ＋１ ｎ ＞ ；
（ ９ ＋ ａ ２ … ＋ ａ９ ） ａ ７ … ＋ ａｌ 口ｌ ＋ ９ ６ ＋ ９＋ ｏ ０—
当 一 ９时 ， ｌ ａ —ａ 一０ 即 ｎ。 ， １一ｎ ； ９ 当 ＞ ９时 ， Ｉ１ ０ 即 Ⅱ 十＜ 口 ； 口 ＋ 一ａ ＜ ， １ ｆ
例 １ 已 知数 列 ｛ 的通 项 ｎ 一 （ １ （ ） ｎ｝ ＋ ） ”
（ ∈Ｎ＋ ， 问 该 数 列 有 没 有 最 大 项 ？若 有 ， 出 最 ）试 求 大项 和最 大项 的项数 ； 若没 有 ， 明理 由． 说
析 因 十厂 （ １ Ｌ ０ （ 州 ）・
同 理 口 一 一 一 ｎ一 ， 以 口 一 口一 ． ３ ６所 ６
用 函数 的思 想认识 ａ 一ａ一 ， 显 然数 列 ｛ 的 很 口｝
周期 为 ： 一６ Ｔ ．
又 ａ 一 ａ 一 ａ １ ａ ａ 一 ａ 一 １ ａ ａ 一 ３ ２ １ ，４ ３ ２ ，５ ４
２ 利 用 函数 的 周 期 性 求 数 列 中 的 项
，
三 例 ３ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ａ 一 １ ｎ 一 ２ ａ 一 ａ｝ ｌ ，。 ，
ａ 一ｎ～ （ ≥ ３ ， 中 Ｓ Ｅ Ｎ＋， ）其 为 前 ７ 和 ， ２项 求 Ｓｍ ¨ 的值 ．
单调性 、 值等 联 系 起 来 ， 到 数 列 问 题 就 可 以借 助 最 遇
Ｌ 在（， 上单调递增． 厂 ） ０÷］ （
毒
饕篓 主誊
毒
助 周 期性大 大地 减 少 了运 算 量 ， 化 了解 题 过程 ， 简 但
增 加 了思 维 量 ， 现 了 函 数 思 想． 体
同理由ｆ（） ， 数 厂 在［ ÷］ ≤０得函 （） ÷， 上单调
运用函数思想巧解数列问题
造函数 ）＝
＋ （ 。 其 图象如 图 ２ ｌ ＞ ）
所示 ， ９ 而 ＜ ＜ ０ 所以数列 ｉ ｝ １， 中的最大项为 ａ０最 小项 为 口． ｌ， ９
二
９Ｏ 与
一
）：
一
的 图象及 其单 调性
，
￣９ ／９
解 法
轴对称 的两 点 ， 即抛物 线 的对 称轴 方 程为 ：
＝
便 跃然 而 出“ 暗花明 ” 柳 ．
１（ ３ 如图 ３ ）
‘
．
．
ｓ 最 大． ｌ ３
解 ：１ （ ）由 口 ２ ＝
。 ＝
， 得
１ 构造 函数 ）＝ ＋
上述所 给出的答案计算量明显较大 ， 感觉机械 操作过程颇多， 主要是 因为没有充分利用函数 的思
想 和方法 来解 决 问题．
碍 ，
差㈩ ・
…
６
由（ ） 的结 构特 征 ， 想 到三 角等式 ｔ 式 联 ａ ｎ
＝ ４的三角 函数表示该数列 的通项 ， 问题便能迎刃
评注： 从以上两例， 可以看出若我们能用函数的
观点审视数列问题 ， 巧借 函数的图象及单调性 ， 运用 数形结合的方法来解决问题 常能起到化难为易、 化
繁为简的作用．
２ 巧 用 函数 周 期
例 ３ 求 出数列 １０ 一１０ １０ 一１０ …一 个 ，， ，，， ， ，， 可 能的通项公 式． 分析 ： 该数 列 的前八项 ， 从 我们 不难 看 出它是 周 期 Ｔ＝ ４的数列 ． 如何 写 出其通 项公 式？若 我们思 维 定势局 限在数 列知识 范 围 ， 问题 将难 于解决 ． 但如 果 我们 能联 想起 三 角 函数 ， 着 用 振 幅 Ａ＝１ 周期 试 ，
用函数思想处理一些数列问题
在求数列极限 １ ｆ ） ｝ （ 很困难时， ｍ ｎ 可以考虑将求数列极限 ｌ ｆ ） ｉ （ 转换成求函 ｍ ｎ 数极限 （ 。 ｘ 若 ） ！ ｆ ） Ａ， （）＝ ； ｉ（ ＝ 则 ｍｘ ｎ Ａ 反之， ｉｆ ）＝ ， 若 （ Ａ则不一定有Ｅ ｔ ）＝ 。 ｍｎ ｍ（ Ａ ｘ
一
１利 用 函数极 限 ）
＞ ｛ ｎ：ｍ ｎ ∞， Ｖ Ｘ）… ＝＋ 一＞ ｌｘ ｉ
（） ｘ求数 列极 限 ｌ （ ） ｉ ｎ ｍｆ
（ ） Ａ ｘ ＝・ ｎ
＞ ｛ ｎ：ｎ 。ｎ １２…）； ｎ ｘ 一 ＞￣ ｆｘ） Ａ Ｖ Ｘ｝ ≠ｘ ＝ ，， ， ＝ 。 Ｘ ， ｉ （ｎ＝ ・ ｍ
ｌ
例 １ 求数列极限 ｌ — ｒ ａｎ ＂ ． ． （Ｉ ａ ｔ ） － ＂ ｆ ｃｎ ￣
１
解： 此题属于 Ｏ 型的不定式， 。 直接计算比较复杂， 若将其转换为函数极限且
可 以 用洛 必达法 则求 解 。 问题 变得 相对 简单 。 使
． ．
一 ｒａｎ ａｔ ） ， ｃ ｎ 则
必达法则 ， 导数以及微分 中值定理等结论和方法进行研究， 反而比直接研究数列要 简单得多。
关键词 ： 列极 限 ； 数 函数 极 限 ； 涅定 理 ； 海 洛必达 法则
文章编 号 ：０ ９－０ ７ （ ０ ７ Ｏ － ｏ Ｏ － ｏ 中图分类 号 ： ７ １ ０ － ６ ３ ２ ０ ）４ ＿ １４ ＿ ４ － － ０１ ２
（ 考 一 ｏ＞ ）或 如 虑ｘ ｘ＜ （ ｏ， 三二＜ （ １等） 奏效时， 妨考虑 列的 性转 ＋ １ ） 均不 ＞ 不 将数 单调 换成函 单 数的
文 献标 识码 ： Ａ
一
、
数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 关 系
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用函数的思想解决数列问题
数列是刻画离散现象的数学模型,本质上数列是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)
的函数,数列的通项公式则是相应的函数解析式.可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质,从而可以用函数思想解决数列问题。
将现在学习的新知识数列与先前的函数结合在一起进行探究，它不仅能够使学生深入了解以前学习的函数，利用函数思想去解决数列问题，还能使解数列的问题更有新意和综合性，从一定程度上简便问题的解法,能有效地培养学生的灵活应用和创新意识。
因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，灵活应用函数的概念、图象、性质，架起函数与数列之间的桥梁，从而有效地解决数列问题。
一、
函数性质结合法
通过对数列中的通项公式及前n 项和公式等这些特殊的函数关系的推导，清楚了n a 、n
S 和n 的对应关系，然后利用概念，寻找出数列通项公式、求和公式与函数的联系，这样能够培养学生对数学整体意识，用联系发展的眼光来学习数学,在解题时也能够进一步提高效率,增强灵活度。
现归纳出了数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于n 的函数，为我们以后解决数列的问题提供了非常有益的启示。
请看下面几道综合应用函数和数列求解的例题。
例1：等差数列、中，,()n m a m a n m n ==≠，则m n a +=________.
分析：因为是等差数列且m n ≠，所以0d ≠，即通项公式是关于n 的一次函数，一次函数图象是一条直线，则(,),(,),(,)m n n m m n m n a ++三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即
()m n
a n n m
m n m n m
+--=-+-，得0m n a +=，这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例2:等差数列{}n a 中, m n S S =,()m n ≠,则m n S += ____.
分析：因为{}n a 是等差数列，所以n S 是关于n 的二次函数并且没有常数项，二次函数的图像是一条抛物线，则m 、n 关于对称轴对称，对称轴为2
m n
x +=
，与x 轴交点分别为0，m n +关于直线2
m n
x +=
对称，故0m n s +=. 例3:等差数列{}n a 中，125a =，前n 项和为n S ，若311S S =，n 为何值时n S 最大？
分析：等差数列前n 项和n S 可以看成关于n 的二次函数21()22
n d d
S n a n =+-，(,)n n S 是抛物线21()()22
d d
f x x a x =
+-上的离散点，根据题意，(3)(11)f f =，则因为欲求n S 最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为311
72
x +==，即当7n =时，n S 最
大.
二、构造函数求解法
我们应不断的鼓励学生寻找积极主动、灵活性强的学习方法。
而学会构建函数，体现
了学生在学习过程中的体验、思考与参与.在构建函数之后，需要利用函数的概念和性质来解决问题。
函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。
1、 构造具体函数
例4:已知递增数列{}n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求。
分析：
解法一：构造一次函数，由数列{}n a 递增得到：10n n a a +->对于一切*
n N ∈恒成立，即
恒成立，所以(21)n λ>-+对一切恒成立，设()(21)f n n =-+，则只
需求出()f n 的最大值即可，显然()f n 有最大值(1)3f =-，所以
的取值范围是：3λ>-.
解法二：构造二次函数，2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是
，因为是递增数列，即函数2()f x x x λ=+为递增函数，单调增区间为
[)1,+∞,抛物线对称轴2
x λ
=-
，因为函数f(x)为孤立的点，要函数单调递增，就看动轴与已
知区间的位置。
从对应图像上看，对称轴2
x λ
=-在
的左侧也可以，于是，32
2
λ
-
<
，得
2、构造抽象函数
例5：已知数列{}n a 满足42,11n n n a a a a ++=-=，则2005S = .
分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。
令()n f n a =，则(4)(2)()f n f n f n +=+- 那么函数()f x 满足
①，
②，
①+②，得，
则，
即函数
周期为12
则(1)(2)(12)(1)(2)(6)(1)(2)(6)0f f f f f f f f f +++=+++----= 所以
2005122005121167(2005)(2005)(1)1S a a a S f f f a =+++=+==== .。