用函数思想解决数列问题

用函数的思想解决数列问题

数列是刻画离散现象的数学模型,本质上数列是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)

的函数,数列的通项公式则是相应的函数解析式.可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质,从而可以用函数思想解决数列问题。将现在学习的新知识数列与先前的函数结合在一起进行探究，它不仅能够使学生深入了解以前学习的函数，利用函数思想去解决数列问题，还能使解数列的问题更有新意和综合性，从一定程度上简便问题的解法,能有效地培养学生的灵活应用和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，灵活应用函数的概念、图象、性质，架起函数与数列之间的桥梁，从而有效地解决数列问题。 一、

函数性质结合法

通过对数列中的通项公式及前n 项和公式等这些特殊的函数关系的推导，清楚了n a 、n

S 和n 的对应关系，然后利用概念，寻找出数列通项公式、求和公式与函数的联系，这样能够培养学生对数学整体意识，用联系发展的眼光来学习数学,在解题时也能够进一步提高效率,增强灵活度。现归纳出了数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于n 的函数，为我们以后解决数列的问题提供了非常有益的启示。请看下面几道综合应用函数和数列求解的例题。

例1：等差数列、中，,()n m a m a n m n ==≠，则m n a +=________.

分析：因为是等差数列且m n ≠，所以0d ≠，即通项公式是关于n 的一次函数，一次函数图象是一条直线，则(,),(,),(,)m n n m m n m n a ++三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即

()m n

a n n m

m n m n m

+--=-+-，得0m n a +=，这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例2:等差数列{}n a 中, m n S S =,()m n ≠,则m n S += ____.

分析：因为{}n a 是等差数列，所以n S 是关于n 的二次函数并且没有常数项，二次函数的图像是一条抛物线，则m 、n 关于对称轴对称，对称轴为2

m n

x +=

，与x 轴交点分别为0，m n +关于直线2

m n

x +=

对称，故0m n s +=. 例3:等差数列{}n a 中，125a =，前n 项和为n S ，若311S S =，n 为何值时n S 最大？

分析：等差数列前n 项和n S 可以看成关于n 的二次函数21()22

n d d

S n a n =+-，(,)n n S 是抛物线21()()22

d d

f x x a x =

+-上的离散点，根据题意，(3)(11)f f =，则因为欲求n S 最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为311

72

x +==，即当7n =时，n S 最

大.

二、构造函数求解法

我们应不断的鼓励学生寻找积极主动、灵活性强的学习方法。而学会构建函数，体现

了学生在学习过程中的体验、思考与参与.在构建函数之后，需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。 1、 构造具体函数

例4:已知递增数列{}n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求。

分析：

解法一：构造一次函数，由数列{}n a 递增得到：10n n a a +->对于一切*

n N ∈恒成立，即

恒成立，所以(21)n λ>-+对一切恒成立，设()(21)f n n =-+，则只

需求出()f n 的最大值即可，显然()f n 有最大值(1)3f =-，所以

的取值范围是：3λ>-.

解法二：构造二次函数，2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是

，因为是递增数列，即函数2()f x x x λ=+为递增函数，单调增区间为

[)1,+∞,抛物线对称轴2

x λ

=-

，因为函数f(x)为孤立的点，要函数单调递增，就看动轴与已

知区间的位置。从对应图像上看，对称轴2

x λ

=-在

的左侧也可以，于是，32

2

λ

-

<

，得

2、构造抽象函数

例5：已知数列{}n a 满足42,11n n n a a a a ++=-=，则2005S = .

分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。 令()n f n a =，则(4)(2)()f n f n f n +=+- 那么函数()f x 满足

①，

②，

①+②，得，

则，

即函数

周期为12

则(1)(2)(12)(1)(2)(6)(1)(2)(6)0f f f f f f f f f +++=+++----= 所以

2005122005121167(2005)(2005)(1)1S a a a S f f f a =+++=+==== .