5--连续时间马尔可夫链--beamer
马尔可夫链专题讲义——2025届高三数学一轮复习

马尔科夫链专题讲义马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关系求的概率.一、马尔科夫链的性质马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列X m已知第n小时的状态X n.如果X n−1的随机变化规律与前面的各项X1,X2,⋯,X n−1的取值都没有关系,那么称随机变量序列X n具有马尔科夫性,称具有马尔科夫性的随机变量序列{X n}为马尔科夫链。
二、马尔科夫链基本原理虽然贝叶斯公式不做要求,但是全概率公式已经是新高考考查内容,利用全概率公式,我们既可以构造某些递推关系求解概率,还可以推导经典的一维随机游走模型,即设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻t=0时,位于点X=i(i∈N∗)一个时刻,它将以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态X t=i表示在时刻t该点位于位置X=i(i∈N∗),那么由全概率公式可得P(X t+1=i)=P(X t=i−1)⋅P(X t+1=i∣X t=i−1)+P(X t=i+1)⋅P(X t+1=i∣X t=i+1).另一方面,由于P(X t+1=i∣X t=i−1)=β,P(X t+1=i∣X t=i+1)=α,代入上式可得P i=α⋅P i+1+β⋅P i−1.进一步,我们假设在x=0与x=m(m>0,m∈N∗)处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是P0=0,P m=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为a,原地不动,其概率为b,向右平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得P i=aP i−1+bP i+cP i+1.三、应用举例1.药物试验问题例1(2019全国1卷21)为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,脱停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈半分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列:(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1.⋯.8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p i=1,p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i−1−p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列;(iii)求p c,并根据p c的值解释这种试验方案的合理性.解:(1)由超意知,X的所有可能取值为-1.0,1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=a(1−β),∴X的分布列为X−10 1P(1−α)βαβ+(1−α)(1−β)α(1−β)(2)(i)由(1)知,a=(1−0.5)×0.8=0.4,b=0.5×0.8+(1−0.5)(1−0.8)=0.5,c=0.5×(1−0.8=0.1.∴p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1,∴0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1),∴p i+1−p i=4(p i−p i−1),又p1−p0=p1≠0,∴{p i+1−p i}(i=0,1,2,⋯,7)是首项为p1,公比为4的等比数列. (ii)由(i)可得p i+1−p i=p1⋅4i,∴p8=p8−p7+p7−p6+⋯+p1−p0+p0=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)=p1(47+46+⋯+4)=4(1−47) 1−4p1=48−4 3p1∵p8=1,∴48−43p1=1,∴p1=348−4.∴p4=(p4−p3)+(p3−p2)+(p2−p1)+(p1−p0)=p1(43+42+4+1)=1−44 1−4p1=44−13p1=44−13×348−4 =144+1=1257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验注:虽然当时学生未学过全概率公式,但命题人直接把p i=ap i−1+bp i+cp i+1给出,并没有让考生推导这个递推关系,实际上,这就是一个一维随机游走模型。
马尔可夫链公式
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马尔可夫链公式1. 什么是马尔可夫链马尔可夫链是指一个随机过程,在这个过程中某些状态可以通过概率转移去到其他状态,而且转移只与当前状态有关,与之前的状态无关。
具有这个特点的随机过程称为马尔可夫过程,而它产生的序列称为马尔可夫链。
2. 马尔可夫链的特点马尔可夫链具有以下几个特点:- 状态空间:指该随机过程中所有可能的状态的集合。
- 转移概率:在任意时刻,从一个状态转移到另一个状态的概率。
- 状态的分布:表示在任意时刻每个状态出现的概率。
- 稳定性:表示在长时间运转后达到的稳定状态的分布。
3. 马尔可夫链的公式马尔可夫链的公式描述了该过程中某个状态在下一时刻的概率分布与当前状态的概率分布之间的关系。
数学表示如下:P(X_n+1=i | X_n=j) = Pij其中,Pij表示从状态j转移到状态i的概率。
上述公式可以表示为一个矩阵形式:P = [Pij]其中P是一个n×n的矩阵,表示马尔可夫链的状态转移概率矩阵。
矩阵中的每个元素都是非负的,且每一行元素之和为1。
4. 马尔可夫链的应用马尔可夫链可以应用于许多现实生活中的问题。
例如:- 预测天气:根据前面几天的天气情况,通过马尔可夫链可以预测后面几天的天气情况。
- 音乐生成:通过马尔可夫链可以生成新的音乐片段,以及根据既有音乐生成新的音乐曲目。
- 股票分析:通过分析历史数据,使用马尔可夫链可以预测未来股票价格的走势。
- 自然语言处理:使用马尔可夫链可以构建文本生成模型,例如自动泡面爆款语录。
总之,马尔可夫链是一种极为重要的随机过程,在很多领域都有广泛的应用。
熟悉马尔可夫链公式,能够帮助我们更好地理解和应用这个概念,从而解决很多实际问题。
马尔科夫链
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0 1 m 0 P 0 0 1 0 2 m 0 0 0 m 1 m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 m 0
m2 m 0 0
m 1 0 m 0 1
4.1 马尔可夫链与转移概率
马尔可夫链的性质(无后效性)
P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1} P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
= P{Xn=in|Xn-1=in-1}
P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
第四章 马尔可夫链
有一类随机过程,它具备所谓的“无后效
性”(Markov性),即要确定过程将来的状
态,知道它此刻的情况就足够了,并不需 要对它以往状况的认识,这类过程称为 Markov过程。
常见马尔可夫过程通常有三类:
(1)时间、状态都是离散的,称为马尔可夫链; (2)时间连续、状态离散的,称为连续时间马尔 可夫链; (3)时间、状态都是连续的,称为马尔可夫过程;
4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn,nT },参数T={0, 1, 2, },状 态空间I={i0, i1, i2, }
定义
若随机过程{Xn,nT },对任意nT和
i0,i1,,in+1 I,条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}, 则称{Xn,nT }为马尔可夫链,简称马氏链。
随机过程Ch5-连续时间的马尔可夫链
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推论:对有限齐次马尔可夫过程,有
qii qij ji
称该马尔可夫过程为保守的。
证: pij (h) 1 1 pii (h) pij (h)
jI
ji
lim1
h0
pii (h) h
lim h0
ji
pij (h) h
qij
ji
即 qii qij 状态空间有限 ji
若状态空间为I 1,2,, N有限,
为的指数变量,而在回到状态0之前,它停留 在状态1的时间是参数为的指数变量。显然该
马氏链是一个齐次马氏链。
其状态转移概率为:
p01h p10 h
h h
0h 0h
由指数分布的无后效性得到。
理由如下:设正常工作为0状态,故障为1状态。
设器件寿命X服从参数为的指数分布。
f
x
ex
,
x0
0, x 0
则器件在0, t 正常工作,即寿命超过t的概率为: PX t exdx et
t
已知器件用了t小时,器件寿命超过t h,
即在t,t h器件不坏的概率为:
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX PX
t h t
eth eh 1 h 0h
互通:i j i j,j i。 若所有状态都是互通的,则称此马尔可夫链 为不可约的。
定理5.7 设连续时间马尔可夫链是不可 约的,则有下列性质:
(1)若它是正常返的,则极限 lim t
pij (t)
存在
且等于j >0,jI。这里j 是
jq jj kqkj,
j 1
k j
jI
的唯一非负解,此时称{j >0,jI}是该
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
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马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中,马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链(Markov chain),又称离散时间马尔可夫链(discrete-time Markov chain),因俄国数学家安德烈·马尔可夫(俄语:Андрей Андреевич Марков)得名,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步,系统根据概率分布,可以从一个状态变到另一个状态,也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移,与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点,每一步可以移动到任何一个相邻的点,在这里移动到每一个点的概率都是相同的(无论之前漫步路径是如何的)。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话,那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子,假如每天的天气是一个状态的话,那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气,而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨,但是这样做可以大大简化模型的复杂度,因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用,比如循环神经网络RNN,隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知,时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关,用数学公式来描述就是:既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态,那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率,这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的,共有三种状态:牛市(Bull market), 熊市(Bear market)和横盘(Stagnant market)。
第05章 连续时间马尔可夫链S.ppt
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一般地可用归纳法证明 P{T1 T2 Tj t} (1 et ) j 因此,由 P{T1 T2 Tj t} P{X (t) j 1 | X (0) 1}可见对 于一个尤尔过程, P1 j (t ) (1 et ) j1 (1 et ) j et (1 et ) j1, j 1
ji
{ Xn : n 0,1, 2, }为马尔可夫链,称为嵌入马尔可夫链。)
vi 的状态 i 称为瞬时状态,因为一旦进入此状态立即就离 开。不研究瞬时状态,将始终假设对一切 i,0 vi 。如果vi 0, 则称状态 i 为吸收的,因为一旦进入这一状态就永不再离开了。
一个连续时间马尔可夫链称为规则的,若以概率 1 在任意有 限时间内的转移次数是有限的。
证明: P{ i t s | i s} P{X(s y) i,0 y t | X(s) i, X(u) i,0 u s} P{X(s y) i,0 y t | X(s) i}
P{X( y) i,0 y t | X(0) i}
P{ i t}
i
ii i
i
命题 5.3.1 一个尤尔过程,其 X(0)=1,则给定 X(t)=n+1 时,出生时刻 S1,S2,, Sn 的分布如同取自密度为(5.3.2)的母体的容量为 n 的子 样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的分布。
例 5.3(b) 考虑一尤尔过程,其 X(0)=1。计算在时刻 t 群
以 Pij (t)记马尔可夫链现在处于状态 i,再经过一段时间 t 后处于状态 j 的概率,即 Pij (t) P{X (t s) j | X (s) i}
三、生灭过程
定义:具有状态 0,1,2,的连续时间马尔可夫链若| i j | 1时
第五章 连续时间马尔可夫链
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的停留时间
i 超过x的概率为1,则称状态i为吸收状态. 随机过程讲义
第五章 连续时间的马尔可夫链
定理5.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性:
(1) pij(t) 0; (2)
kI
p (t ) 1;
jI ij
(3) pij ( t s ) pik ( t ) pkj ( s ) 证 由概率的定义, (1)(2)显然成立, 下证(3).
ji
p ( t )
ijtຫໍສະໝຸດ qij .ji
说明 对状态空间无限的齐次马尔可夫过程, 一般只有
qii qij .
ji
随机过程讲义
第五章 连续时间的马尔可夫链
二、柯尔莫哥洛夫方程
问题:若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状态空间为 I={0,1,2, ,n}, 则其转移速率可构成矩阵
iI iI
(4) p j ( t ) pi ( t ) pij ( );
iI
jI
pi pii1 ( t1 ) pi1i2 ( t 2 t1 )
, X ( t n ) in }
pin1in ( t n t n1 ).
随机过程讲义
第五章 连续时间的马尔可夫链
分布律
(n) pij 0,
转移方程
( n) ( l ) ( nl ) pij pik pkj k I
j I
(n) pij 1
时间 连续
1 , i j lim pij ( t ) t 0 0 , i j
pij ( t ) 0
p (t ) 1
j I ij
则对一切i,j及t 0, 有
( t ) qik pkj ( t ) qii pij ( t ) Qi Pj . pij
马尔可夫链模型
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马尔可夫链模型(重定向自马尔可夫链)马尔可夫链模型(Markov Chain Model)[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫(Andrey Markov,1856-1922)得名,是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中,在给定当前知识或信息的情况下,过去(即当期以前的历史状态)对于预测将来(即当期以后的未来状态)是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围,即他们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数,则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的,但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机,名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程:1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关,与t时刻以前的状态无关;2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S,P,Q),其中各元的含义如下:1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集,有时也称之为系统的状态空间,它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2)是系统的状态转移概率矩阵,其中Pij表示系统在时刻t处于状态i,在下一时刻t+l处于状态i的概率,N是系统所有可能的状态的个数。
对于任意i∈s,有。
3)是系统的初始概率分布,qi是系统在初始时刻处于状态i的概率,满足。
[编辑]马尔可夫链模型的性质马尔可夫链是由一个条件分布来表示的P(Xn + 1 | X n)这被称为是随机过程中的“转移概率”。
10第五章连续时间马尔可夫链ppt课件

利用Q矩阵可以推出任意时间间隔t的转移概 率所满足的方程组,从而可以求解转移概率。
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定理5.4( 柯尔莫哥洛夫向后方程)
假设 qik qii ,则对一切i,j及t≥0,有 k i pij (t) qik pkj (t) qii pij (t) k i 证明 由C-K方程可以知道:
pij (t h) pik (h) pkj (t) kI
pij (t h) pij (t) pik (h) pkj (t) [1 pii (h)] pij (t)
k i
ppt课件
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两边除以h, h 0 取极限可以得到:
lim lim lim h0
pij (t h) pij (t) h
Pik (t)Pkj (s) kI
ppt课件
8
定义5.3 对于任一t≥0,记
p j (t) P{X (t) j}, p j p j (0) P{X (0) j},
jI
为绝对概率和初始概率。
分别称{pj(t),j∈I}和{pj,j∈I}为齐次马尔可夫 过程的绝对概率分布和初始概率分布。
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Q矩阵和柯尔莫哥洛夫方程
定理5.3 设pij(t)是齐次马尔可夫过程的转移概率且满足正 则性条件,则下列极限存在:
1.
lim 1
t 0
pii (t) t
vi
qii
2.
lim
t 0
pij (t) t
qij
,i
j
称为转移速率或跳跃强度
ppt课件
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lim
t 0Βιβλιοθήκη pij(t )
马尔可夫链(一)
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马尔可夫链(⼀)
⼀:马尔可夫过程在实际中的应⽤
Markov过程是在理论上和实际应⽤中都⼗分重要的⼀类随机过程,它是由苏联数学家A.A. Markov(1856-1922)⾸次提出并进⾏研究。
⾄今已形成内容丰富、理论完整、应⽤⼴泛的⼀门数学分⽀。
特别地, Markov过程在⼯程系统中的噪声和信号分析、通信⽹络的模拟、统计物理学、⽣物学、数字计算⽅法、经济管理和市场预测等领域中都有⼗分重要的作⽤和⼴泛的应⽤,它在⼈⼯智能和在⼈⼯神经⽹络中也有重要的应⽤。
本⼈正是读了⼯信出版社的深度浅出强化学习才打算写⼀篇关于马尔可夫过程的博⽂。
⼀:马尔可夫过程的分类
马尔可夫过程按其状态和时间可参数是连续,离散分为三类:
(1): 时间,状态都是离散的马尔可夫过程,称马尔可夫链
(2): 时间连续,状态离散的马尔可夫过程,称为连续的马尔可夫过程
(3):时间,状态都是连续的马尔可夫过程
⼆:马尔可夫链的定义
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。
通过上⾯的数学推导可见,马尔可夫链的马尔可夫性可以表⽰为:
P{Xn+1 =in+1 | Xn = in }
也就是说当前状态只与前⼀个状态有关,与其他状态⽆关。
三:转移概率
条件概率P{Xn+1 = j | Xn = i } 的直观含义为系统在时刻n处于状态i的条件下,在时刻n+1下处于状态J的概率。
记条件概率Pij(n)
我们⼀般讨论的马尔可夫链都是齐次的马尔可夫链。
马尔可夫链法
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马尔可夫链法1. 简介马尔可夫链法(Markov Chain)是一种基于概率的数学模型,用于描述具有随机性质的离散事件序列。
它是根据马尔可夫性质而命名的,该性质指的是未来状态只与当前状态相关,与过去状态无关。
马尔可夫链法被广泛应用于各个领域,如自然语言处理、金融市场预测、信号处理等。
它的核心思想是通过建立状态转移矩阵来描述事件之间的转移关系,并利用概率计算不同状态出现的概率。
2. 历史背景马尔可夫链法最早由俄国数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出。
他在研究随机过程时发现了一种特殊的概率性质,即未来状态只与当前状态有关,而与过去状态无关。
这一发现为后来的马尔可夫链方法奠定了基础。
20世纪50年代以后,随着计算机技术的快速发展和数学理论的深入研究,马尔可夫链方法得到了广泛应用。
尤其是在自然语言处理领域,马尔可夫链法被用于模拟文本生成、语音识别等任务,取得了显著的成果。
3. 基本概念3.1 状态空间马尔可夫链方法中,事件被抽象为若干个状态。
这些状态构成了一个状态空间,记作S。
每个状态表示系统在某一时刻的特定情况或状态。
3.2 状态转移概率马尔可夫链的核心是描述不同状态之间的转移关系。
假设当前时刻系统处于状态i,下一个时刻系统可能转移到另一个状态j。
这个转移的概率可以用条件概率P(j|i)表示,其中i和j都属于状态空间S。
3.3 转移矩阵将所有可能的状态转移概率按照一定规则组织起来形成一个矩阵,称为转移矩阵。
转移矩阵通常记作P,其元素P(i,j)表示从状态i到状态j的转移概率。
3.4 马尔可夫性质马尔可夫性质指的是未来状态只与当前状态相关,与过去状态无关。
具体而言,在马尔可夫链中,给定当前状态,过去状态对未来状态的影响可以通过当前状态来表示。
4. 马尔可夫链模型4.1 离散时间马尔可夫链离散时间马尔可夫链是指系统在离散时间点上的状态转移。
假设在每个时间点t,系统处于某个状态Si,那么在下一个时间点t+1,系统将以一定概率转移到另一个状态Sj。
(完整word版)马尔可夫链的概念及转移概率(word文档良心出品)

2). ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ = ������,且有P(������������) > 0, i = 1,2, ⋯ , n,则 P(A) = ∑������������=1 P(������������)P(������|������������)
������{������������+1 = ������������+1|������0 = ������0, ������1 = ������1, … , ������������ = ������������}
= ������{������������+1 = ������������+1|������������ = ������������}
要到从箱子中再抽出一球后才放回箱中,每抽出一球作为一次取样试验。 现引进随机变量序列为{X(n), n = 1,2, ⋯ },每次取样试验的所有可能结果只
可见,马尔科夫链的统计特性完全由条件概率
������{������������+1 = ������������+1|������������ = ������������} 所决定。如何确定这个条件概率,是马尔科夫链理论和应用中的重要问题之一。
现举一例说明上述概念: 例 4.1.1 箱中装有 c 个白球和 d 个黑球,每次从箱子中任取一球,抽出的球
(4.1.1)
则称{������������, n ∈ T}为马尔科夫链,简称马氏链。
式(4.1.1)即为马氏链,他表明在状态������(0) = ������0, ������(1) = ������1, … ������(n) = ������������已知的
4--离散时间马尔可夫链--beamer

(2) ������ (������������+������ = ������ |������������ = ������) = ������ (������������ = ������ |������0 = ������); (3) ������ (������������+������ = ������ |������������ = ������, ������������−1 ∈ ������������−1 , · · · , ������0 ∈ ������0 ) = ������ (������������ = ������ |������0 = ������); (4) ������ (������������+������ ∈ ������|������������ = ������, ������������−1 ∈ ������������−1 , · · · , ������0 ∈ ������0 ) = ������ (������������ ∈ ������|������0 = ������).
1 0 ������ . . . 0 0 0 ������ 0 . . . 0 0 0 0 ������ . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 . . . ������ 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . ������ 0
0 ������ 0 . . . 0 0
则 {������������ } 是马氏链, 且 1 1 ������ ������ ������ − 1, ������ = ������ − 1, ������ − 1, ������ = ������ + 1,
马尔科夫链模型简介

a(2) a(1) P ( p 2 ,2 pq, q 2 ) p a b, q b c a 2b c 1 a(0)任意,稳态分布 wP ( p 2 ,2 pq, q 2 ) w
自然界中通常p=q=1/2 稳态分布D:H:R=1/4:1/2:1/4
随机过程可以描述为:
xt, t T
,则该过程为
,则该过程为
其中 xt 为在同一状态空间中取值的随机变量, 为参数集。 T
若T 为可数参数集,如 离散参数的随机过程。 若 T 为不可数参数集,如 连续参数的随机过程。
(二)状态与状态转移
• 状态:当系统由一组确定的变量值来描述的时候,就 说系统处于一个状态。 • 状态转移:当系统的变量从一个特定值变化到另一个 特定值时,就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
(四)马尔可夫预测法
• 定义:对马尔可夫过程的演变趋势和状态加以 分析,用于预测事物未来状态的研究,称为马 尔可夫预测法。 • 特点:
1. 随机性:确切的未来状态是不可预测; 2. 局限性:只适合于马尔可夫过程; 3. 简便性:无需大量的统计资料。
• 适用领域:企业规模、市场占有率、选择服务 点、设备更新等的预测。
2. 平稳分布
定义:设 n 为有限s个状态的均匀马尔可夫链,若初 始概率 Pj P(E j ), j 1,2,, s 满足全概率公式:
Pj Pi Pij , j 1,2,, s
s
则称 n 为平稳的, Pj ( j 1,2,, s) 称为 n 的一个平稳分布 Pj ( k ) 表示第k次转移到状态 E j 的绝对概率; 可以证明: Pj Pj (1) Pj (2) 结论: 当马尔可夫链是平稳时,初始概率等于绝对概率; 平稳均匀马尔可夫链在任一时刻处于状态 E j 的概 率 Pj (n) 都相等,说明平稳。
5.连续时间的马尔可夫链3

(三)各种排队模型的记号 排队模型将如下六个特征按顺序由各自的符号给出,
并用斜线隔开:
输入过程/服务分布/服务台个数/系统容量/顾客源数/排队规则
例4 M/M/S/n/∞/FIFO
表示顾客按泊松过程来到,时间间距为指数分布, 服务时间为指数分布,有s个服务员,系统容量为n 个,顾客来源无限,排队规则是先到先服务。
j1 12 j
即当状态空间 I 1,2, , 时,平稳分布为
0=
1+
j 1
01 12
1
j1 j
1=
0 1
0,
2=
01 12
,
0
,
j
=
01 12
j1 j
,
0
,
应用举例
例1 泊松过程 N t ,t 0 是生率为
的纯生过程。
状态空间 I 0,1,2, , 状态转移速率图如下
顾客
到达 等待服务 排队规则
提供服务 的服务台 服务时间
随机服务系统示意图
顾客离去
这里“顾客”和“服务台”是广义的,如病人到医院看 病, “顾客”是病人,“服务台”是医院;某人去商店 去购物, “顾客”是购买货物者,“服务台”是柜台; 打电话到寻呼台, “顾客”是打电话的人,“服务台” 是寻呼台;……
解:此系统为M/M/1损失制 = 4,= 2
53
(1)平稳分布
0
=5, 11
1
=
6. 11
(2)系统处于无顾客状态的概率为 即可以接通的
概率为 0 = 151,因每分钟呼唤 =0.8 次,故每分钟
每分钟可以接通的概率
三节连续时间马尔可夫链

P '(t) Q P(t)
方程 pij '(t) qik pkj (t) k
j (t) pi pi j (t) i
j '(t) k (t) qkj k
Q 0
15
6 两个定理
定理3.2
一种连续时间旳齐次马氏链,系统处于同一状态旳连续 时间服从负指数分布
j(t)=P(X(t)=j)= pi pi j (t)
由初始分布与t时间i 区间转移概率矩阵求t时刻绝对 分布
j '(t) k (t) qkj
初值:i (0) pi
为求瞬时k 概率分布函数旳方程组
10
5 平稳分布
定义
若lim t
j
(t)
j
( j E) 存在,且 j 1
,则{j}称为齐次
2 K-C方程
1.K-C方程: pij (t s) pik (t) pkj (s)
写成矩阵旳形式:
k
P(t+s)=P(t)·P(s)
2. K氏前向方程 P '(t) P(t) Q pij '(t) pik (t) qkj k
3. K氏后向方程 P '(t) Q P(t) pij '(t) qik pkj (t)
k
P(nm) Pn Pm
P( X n i)
pk
p(n) ki
k
(n) i
(0) i
P(n)
(n1) i
P
P ( I ) P 0
pij (t s) pik (t) pkj (s) k
P(t s) P(t) P(s)
前向 方程
后向
随机过程-第五章 马尔可夫链

0.95 0.02 0.02 0.01 0.3 0.6 0.06 0.04 P 0.2 0.1 0.7 0 0.2 0.2 0.1 0.5
P
jS
ij
1, i S 。则称该矩阵为随机矩阵。
显然,随机矩阵的各行元素之和都等于 1。
例 5.1 赌徒输光问题 :考虑一赌徒,在每局赌博中他以概率 p 赢得 1 元,以概率
q 1 p 输掉 1 元,假设各局赌博是相互独立的,赌徒开始有 i ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i n )元,且他在赌
显然, Markov 链的统计特征由其初始分布 P{ X 0 i0 } 和转移概率 P{ X k i X k 1 ik 1} ( k 1, 2,, n )决定。
定义 5.3 时齐 Markov 链: 当 Markov 链的转移概率 P{ X n1 j X n i} 只与状态 i, j 有
m n m, n 0 使得 P ij 0, Pjk 0 ,利用 C-K 方程(1)可知
n n Pikm n Pirm Prk Pijm Pjk 0 rS
K 类似地可以证明存在 K 0 使得 Pki 0 。
称互通的两个状态属于同一个类,且由命题 5.1 可知,任何一个状态不能同时属于两个 不同的类,即任意两个不同的类不相交。 思考:对例 5.1 中的赌徒问题的状态分类? 定义 5.7 可约:若 Markov 链只存在一个类,则称它为不可约的;否则称为可约的。 在不可约的 Markov 链中,一切状态都是彼此互通的。
第五章 连续时间的Markov链之欧阳法创编

第五章 连续时间的马尔可夫链第四章我们讨论了时间和状态都是离散的Markov 链,本章我们研究的是时间连续、状态离散的Markov 过程,即连续时间的Markov 链. 连续时间的Markov 链可以理解为一个做如下运动的随机过程:它以一个离散时间Markov 链的方式从一个状态转移到另一状态,在两次转移之间以指数分布在前一状态停留. 这个指数分布只与过程现在的状态有关,与过去的状态无关(具有无记忆性),但与将来转移到的状态独立.5.1 连续时间马尔可夫链的基本概念定义 5.1 设随机过程{(),0}X t t ≥,状态空间{,1}n I i n =≥,若对任意的正整数1210n t t t +≤<<<及任意的非负整数121,,,n i i i I +∈,条件概率满足{}11()|()n n n n P X t i X t i ++===(5.1)则称{(),0}X t t ≥为连续时间的Markov 链.由定义知,连续时间的Markov 链是具有Markov 性(或称无后效性)的随机过程,它的直观意义是:过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1n t +的状态只依赖于现在的状态而与过去的状态无关.记(5.1)式条件概率的一般形式为{()|()}(,)ij P X s t j X s i p s t +===(5.2)它表示系统在s 时刻处于状态i ,经过时间t 后在时刻s t +转移到状态j 的转移概率,通常称它为转移概率函数.一般地,它不仅与t 有关,还与s 有关.定义 5.2 若(5.2)式的转移概率函数与s 无关,则称连续时间Markov 链具有平稳的转移概率函数,称该Markov 链为连续时间的齐次(或时齐)Markov 链. 此时转移概率函数简记为(,)()ij ij p s t p t =.相应地,转移概率矩阵简记为()(()),(,,0)ij P t p t i j I t =∈≥.若状态空间{0,1,2,}I =,则有()000102101112012()()()...()()()()()............()()()............ij n n n p t p t p t p t p t p t P t p t p t p t p t ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭(5.3)假设在某时刻,比如说时刻0,Markov 链进入状态i ,在接下来的s 个单位时间内过程未离开状态i (即未发生转移),我们要讨论的问题是在随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少?由Markov 性知,过程在时刻s 处于状态i 的条件下,在区间[,]s s t +中仍处于状态i 的概率正是它处在状态i 至少t 个单位时间的(无条件)概率,若记i τ为过程在转移到另一状态之前停留在状态i 的时间,则对一切,0s t ≥有可见,随机变量i τ具有无记忆性,因此,i τ服从指数分布.因此,一个连续时间的Markov 链,每当它进入状态i ,具有如下性质:(1) 在转移到另一个状态之前处在状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;(2) 当过程离开状态i 时,接着以概率ij p 进入状态j ,且 1ij j ip ≠=∑.当i v =∞时,称状态i 是瞬时状态,因为过程一旦进入状态就离开;若0i v =,称状态为吸收状态. 因为过程一旦进入永远不再离开.尽管瞬时状态在理论上是可能的,但我们以后还是假设一切i ,0i v ≤<∞.因此,考虑连续时间Markov 链,可以按照离散时间的Markov 链从一个状态转移到另个状态,但在转移到另一状态之前,它在各个状态停留的时间服从指数分布,而且在状态i 停留的时间与下一个状态必须是相互独立的随机变量.定理5.1 齐次Markov 链的转移概率函数具有下列性质:(1)()0ij p t ≥;(2)()1ij j Ip t ∈=∑;(3)()()()ij ik kj k Ip t s p t p s ∈+=∑.(2)式表明转移概率矩阵中任一元素行和为1;(3)式称为连续时间齐次Markov 链的Chapman Kolmogorov -方程,简称C K -方程.证明 (1)和(2)由概率定义及()ij p t 的定义易知,下面只证明(3)式由全概率公式和Markov 性可得对于转移概率函数,我们约定01,,lim ()0ij ij t i j p t i j δ→=⎧==⎨≠⎩(5.4)称上式为连续性条件或正则性条件.连续性条件保证转移概率函数()ij p t 在边界点0t =处右连续.它的直观意义在于:当系统经过很短时间,其状态几乎不变,也就是认为系统刚进入一个状态又立刻离开这个状态是不可能的.定义 5.3 连续时间Markov 链{(),0}X t t ≥在初始时刻(即零时刻)取各状态的概率(0){(0)},i i p p P X i i I ===∈(5.5)称为它的初始分布.{(),0}X t t ≥在t 时刻取各状态的概率 称为它在时刻t 的绝对(概率)分布.初始分布和绝对分布都是概率分布,对于任意0t ≥,()j p t 总满足:(1)0()1j p t ≤≤;(2)()1j jp t =∑.利用全概率公式容易得到()(0)(),j i ij i I p t p p t j I∈=∈∑(5.6)(5.6)式表明:连续时间Markov 链的绝对概率分布完全由其初始分布和转移概率函数所确定.下面举一个简单的例子说明转移概率函数的计算方法.例5.1 证明Poisson 过程{(),0}N t t ≥是连续时间的齐次Markov 链.证明 先证明Poisson 过程具有Markov 性.由Poisson 过程的独立增量性和()0N t =,对任意1210n n t t t t +<<<<<,有=1111{()()|()(0),n n n n P N t N t i i N t N i ++-=--=另一方面,因为11{()|()}n n n n P N t i N t i ++===11{()()|()(0)}n n n n n n P N t N t i i N t N i ++-=--= =11{()()}n n n n P N t N t i i ++-=-因此 1111{()|(),,()}n n n n P N t i N t i N t i ++====11{()|()}n n n n P N t i N t i ++== 即Poisson 过程是连续时间的Markov 链.再证齐次性. 当j i ≥时,由Poisson 过程的定义,得到 当j i <时,由于过程的增量只取非负整数值,因此,(,)0ij p s t =,故即转移概率函数只与t 有关,因此,Poisson 过程具有齐次性.容易看出,固定,i j 时,()ij p t 是关于t 的连续可微函数。
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������ (������ (������) = ������, ������ (2������) = ������, · · · , ������ (������������) = ������|������ (0) = ������) = [������������������ (������)] .
(������ −������)!
当 ������
������,
⎩ 0, ������ = ������, ������ ̸= ������.
第五章: 连续时间马尔可夫链
当 ������ < ������,
其中 ������������������ 是马氏链.
������������������ (0) = ������������������
并且对于 ������ ������, 有
∞ ∞ ∑︁ ������������ (������) ∑︁ ������������ ������ −������ ������������������ = (������)������ ������������ (−1)������−������ ������! ������! ������=0 ∞ ∑︁
称矩阵 ������ = (������������������ (������))������,������ ∈������ 为马氏链的一步转移概率矩阵, 简称为转移矩阵.
韩参变量 (某某大学)
第五章: 连续时间马尔可夫链
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连续时间马氏链的性质
1. ������������������ 是 ������ 函数, 即 ������������������ (0) = ������������������ = ⎧ ⎨ 1, ⎩ 0, ������ = ������, ������ ̸= ������.
韩参变量 (某某大学)
第五章: 连续时间马尔可夫链
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S5.2 泊松过程是马氏链
韩参变量 (某某大学)
第五章: 连续时间马尔可夫链
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泊松过程是马氏链
设 ������ 是泊松过程 {������ (������)} 的强度, ������0 < ������1 < · · · < ������������+1 , 由独立增量性和平稳增量 性可知 ������ (������ (������������+1 ) = ������ |������ (������������ ) = ������, ������ (������������−1 ) = ������������−1 , · · · , ������ (������0 ) = ������0 ) =������ (������ (������������+1 ) − ������ (������������ ) = ������ − ������|������ (������������ ) = ������, · · · , ������ (������0 ) = ������0 ) =������ (������ (������������+1 − ������ (������������ ) = ������ − ������). 上式只与 ������, ������, ������������+1 − ������������ 有关, 所以 {������ (������)} 是马氏链, 且有初始分布 ������ (������ (0) = 0) = 1 和转移概率 ������������������ (������) = ������ (������ (������) = ������ − ������) = ⎧ ⎨1, = ⎩0, ⎧ ⎨ (������������)������ −������ ������−������������ ,
1 ������
������ = ������, ������ = ������ + 1, 是质点在 ������ 的平均
= −������ 为质点停留在 ������ 的速
⎟ ⎟ , 常称之为泊松过程 {������ (������)} ⎠
−������ 的转移速率矩阵或转移强度矩阵, 简称 ������ 矩阵.
������=0
= = =
������=0 ∞ ∑︁
������������ ������ −������ (������)������ −������ ������������ (−������)������+������−������ ������! (������������)������ −������ (−������������)������−(������ −������) (������ − ������)![������ − (������ − ������)]!
6. 对于 Байду номын сангаас�����, ������
0, 有 ������������������ (������ + ������)
������������������ (������)������������������ (������), ������������������ (������)
������ )]������ . [������������������ ( ������
0, 有 ������������������ (������ + ������) =
∑︀
������∈������
������������������ (������)������������������ (������) 或 ������ (������ + ������) = ������ (������)������ (������).
第五章: 连续时间马尔可夫链
韩参变量
开课单位: 手机号码: 电子邮件: 某某大学数学与统计学院
+1234567654321
某某大学邮箱
韩参变量 (某某大学)
第五章: 连续时间马尔可夫链
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S5.1 连续时间马氏链的定义
韩参变量 (某某大学)
第五章: 连续时间马尔可夫链
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马尔可夫链
������
5. ������ (������) 的概率分布由转移矩阵 ������ (������) 和 ������ (0) 的概率分布 ������(0) = [������1 (0), ������2 (0), · · · ] 唯一确定: ������(������) = ������(0)������ (������).
利用 ������������������ (0) = ������������������ 得到 ������������ = (������������������ ), ������0 = 单位矩阵.
韩参变量 (某某大学) 第五章: 连续时间马尔可夫链
(������)
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泊松过程是马氏链
4. 马氏链的有限维分布由转移概率 ������������������ (������) 和初始分布 ������������ = ������ (������ (0) = ������) 唯一确定. 且对于 0 < ������1 < ������2 < · · · < ������������ , 有 ������ (������ (������1 ) = ������1 , ������ (������2 ) = ������2 , · · · , ������ (������������ ) = ������������ |������ (0) = ������) =������������������1 (������1 )������������1 ������2 (������2 − ������1 ) · · · ������������������−1 ������������ (������������ − ������������−1 ).
其中对于 ������ < 0 或 ������ > ������, 规定
(������)
������ ������������
= 0. 定义 1, ������, ������ ∈ ������,
������ −������ ������������������ = (������)������ ������������ (−1)������−������ , ������
显然, 取整数值的有独立增量性的平稳增量过程
韩参变量 (某某大学)
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泊松过程是马氏链
⎧ ⎪ −������, ⎪ ⎪ ⎨ ′ 易知 ������������������ (������) 是连续函数, 在 ������ = 0 有右导数 ������������������ (0) = ������, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩0, 其它. 由于泊松过程在 ������ 的停留时间服从指数分布 E(������), 故其期望 停留时间. 因此称 ������ 为 ������ 的转移速率或转移强度, 称 率. ⎛ ⎜ 引入矩阵 ������ = (������������������ )������,������ ∈������ = ⎜ ⎝ −������ ������ .. . ⎞ .. . ������ ������′ ������������ (������)
Definition 1
如果对于任意正整数 ������, ������0 < ������1 < · · · < ������������+1 和 ������ 中的 ������, ������, ������0 , ������1 , ������2 , · · · , ������������−1 , 随机序 列 {������������ } 满足 ������ (������ (������������+1 ) = ������ |������ (������������ ) = ������, ������ (������������−1 ) = ������������−1 , · · · , ������ (������0 ) = ������0 ) =������ (������ (������������+1 ) = ������ |������ (������������ ) = ������), 则称 {������ (������)} 为连续时间离散状态的马尔可夫链, 简称为连续时间马氏链. 特别地, 当 ������ (������ (������ + ������) = ������ |������ (������) = ������) = ������ (������ (������) = ������ |������ (0) = ������), ������, ������ 为时齐马氏链. 称概率 ������������������ (������) ������ (������ (������ + ������) = ������ |������ (������) = ������), ������, ������ ∈ ������ 为马氏链的转移概率, 0 时, 称马氏链