微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)解答

专题30 圆锥曲线中的最值问题

【考情分析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展

【备考策略】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】

1．已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞

2． P 是双曲线

22

1916

x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7

3．抛物线y=-x 2

上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是

43

4．已知抛物线y 2

=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12

+y 2

2

的最小值是 32 .

5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：22

x y 122

－＝ （x >0）

（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02

0x 2－），B （x 02

0x 2－，OA OB ⋅＝2

当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，

代入双曲线方程22x y 122

－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2

－2＝0

依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则

2222122

2122

44(1)(2)02012

01k b k b kb x x k b x x k ⎧

⎪∆=--•--≥⎪

⎪

+=>⎨-⎪

⎪+=>⎪-⎩

解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）

＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2

＝22

22k 242k 1k 1

＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2

【典型示例】

求抛物线2

y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x 2

)，

由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5

|

834|2

00--x x =5320)32(320+-x 34≥，

当0x =32时，d(0x )取得最大值3

4,

分析二：设抛物线上点P(0x ,-

x 2

)到直线4x+3y-8=0距离最小，

则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，

故y '

( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-9

4

), 此时d=5

|

8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0

则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，

由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0

342

C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时

d=3

45|

34

8|=---）（

【分类解析】

例1:已知椭圆22

1259

x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求

5

||||4

PA PB +的最小值；

（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q ， 则由椭圆的第二定义

||4

||5

PA e PQ ==， ∴

5

||||||||4

PA PB PQ PB +=+， 显然点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小

值为

174

。 （2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，

则||2||PA a PC =-∴||||||2||10(||||)PA PB PA a PC PB PC +==-=+-，

根据三角形中两边之差小于第三边，当P 运动到与B 、C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。 当P 到P"位置时，||||||PB PC BC -=，||||PA PB +有最大值，最大值为10||10210BC +=+当P 到'

P 位置时，||||||PB PC BC -=-，||||PA PB +有最小值，最小值为

10||1010BC -=-（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）

变式: 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2

=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|PA|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。 解：抛物线y 2

=4x 的准线方程为x=-1，

设P 到准线的距离为d ，则|PA|+|PF|=|PA |+d 。 要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A 点

的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2

代入y 2

=4x ，得P （1，2）。

例2: 已知椭圆的中心在O,右焦点为F ，右准线为L ，若在L 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，求椭圆的离心率e 的取值范围?

解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则,c OF MF ==利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距

离），则有 2c ≥c

a 2

e ∴≥22，

A

P F O d X=1

x y