复旦版数学分析答案全解 ex5-2

=
f '(ξ ) g '(ξ )
> G,
a <ξ < x< a+δ ，
所以
lim f (x) = +∞ 。
x→a+ g(x)
再考虑
lim
x→a+
g(x)
=
∞
的情况，任取
x0
∈
(a,
a
+
δ
)
，再取
0
<
δ1
<
x0
−
a
，
使得当 x ∈ (a, a + δ1) 时， max{|
g(x0 ) |,| g(x)
x→1 ln x x→1 1 x
（12） lim x→0
x tan x − sin2 x4
x
= lim x→0
x
−
sin x
x
3
x→0+ 2 sin14x x→0+ 28 cos14x
（6） lim x→π 2
tan 3x tan x
=
lim
x→π 2
sin 3x ⋅ cos x sin x cos 3x
=
sin 3π 2
sin π
⋅ lim x→π 2
− sin x −3sin 3x
=
1。
3
2
（7）
limBaidu Nhomakorabea
ln(1 +
1 x
⎝ x→0+ x ⎠
⒅
lim⎜⎛ 1 x→0⎝ x
−
e
1 x−
1
⎟⎞ ⎠
;
1
⒇
lim x1−x .
x→1
解 （1） lim ex − e−x = lim ex − (− e−x ) = 2 = 2 。
x→0 sin x x→0 cos x
1
（2） lim x→π
sin 3x tan 5x
=
lim
x→π
g '(x)
首先考虑 lim f (x) = lim g(x) = 0 的情况，补充定义 f (0) = g(0) = 0 ，
x→a+
x→a+
则 f (x), g(x) 在[a, d ] 连续，满足 Cauchy 中值定理条件。当 x ∈ (a, a + δ ) 时
f (x) g(x)
=
f (x) − f (a) g(x) − g(a)
x→1 x ln x + x −1 x→1 ln x +1+1 2
（10）
lim⎜⎛ x→0⎝
1 sin
x
−
1 x
⎟⎞ ⎠
= lim x→0
⎛ ⎜⎝
x
− sin x2
x
⎞ ⎟⎠
⋅
⎛ ⎜⎝
x sin
x
⎞ ⎟⎠
= lim x→0
⎛ ⎜⎝
1
−
cos 2x
x
⎞ ⎟⎠
⋅1
= lim x→0
sin 2
x
=
0
。
（11） lim x − 1 = lim 1 = 1。
| f (x) |≥ 1 (G +1) − 1 = G ，
g(x) 2
22
所以
lim f (x) = +∞ 。
x→a+ g(x)
109
lim f ′(x) = −∞ 的情况即为 lim − f ′(x) = +∞ ，所以 L'Hospital 法则也
x→a+ g′(x)
x→a+ g′(x)
成立。
⒉ 求下列极限：
;
⑹
tan 3x lim x→π tan x
;
2
⑻
lim ln(1 + x 2 ) ;
x→0 sec x − cos x
⑼ lim⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ ;
x→1⎝ ln x x − 1⎠
⑽ lim⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ ;
x→0⎝ sin x x ⎠
⑾ lim x − 1 ;
x→1 ln x
⒀ lim x cot 2x ; x→0
⒂ lim(π − x) tan x ;
x→π
2
⑿
lim
x→0
x
tan
x− x4
sin 2
x;
1
⒁ lim x 2 e x2 ; x→0
⒃
lim ⎜⎛ ⎝ x→+∞
2 π
arc
tan
x
⎟⎞ ⎠
x
;
⒄ lim ⎜⎛ 1 ⎟⎞tan x ;
⎝ x→0+ x ⎠
⒆ lim ⎜⎛ ln 1 ⎟⎞sin x ;
f (x0 ) |} ≤ g(x)
1 ，于是由
2
f (x) = [1− g(x0 )] f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) = [1− g(x0 )] f '(ξ ) + f (x0 ) ，
g(x)
g(x) g(x) − g(x0 ) g(x)
g(x) g '(ξ ) g(x)
可得当 x ∈ (a, a + δ1) 时
⑴
ex − e−x lim
;
x→0 sin x
⑶
ln(sin x)
lim π x→
(π
−
2x)2
;
2
⑸ lim ln(tan 7x) ;
x→0+ ln(tan 2x)
⑺
lim
ln(1 +
1 x
)
;
x→+∞ arc cot x
⑵ lim sin 3x ;
x→π tan 5x
⑷
xm − am lim x→a x n − a n
= lim m x→a n
xm−n = m am−n 。
n
（5） lim ln(tan 7x)
x→0+ ln(tan 2x)
=
cot 7x sec2 7x ⋅ 7
lim
x→0+
cot
2
x
sec2
2
x
⋅
2
=
lim 7 sin 2x cos 2x x→0+ 2 sin 7x cos 7x
= lim 7 sin 4x = lim 28cos 4x = 1 。
习 题 5.2 L'Hospital 法则
⒈ 对于
lim f ′(x) = +∞ 或 − ∞ x→a+ g′(x)
的情况证明 L'Hospital 法则。
证 设 lim f ′(x) = +∞ ，则 ∀G > 0, ∃δ > 0,∀x ∈ (a, a + δ ), f '(x) > G +1。
x→a+ g′(x)
3cos 3x 5sec2 5x
=
−3 5
=
−
3 5
。
（3） lim x→π
ln(sin x) (π − 2x)2
=
lim
x→π
2(π
cot x − 2x)(−2)
=
lim
x→π
− csc2 x −4(−2)
=
−1。
8
2
2
2
110
（4） lim x→a
xm xn
− am − an
=
lim
x→a
mxm−1 nxn−1
)
=
lim
[ln(1 +
x)]'− (ln x) '
x→+∞ arc cot x x→+∞
−
1
1 + x2
= lim (−1− x2 )[ 1 − 1] = lim 1+ x2 = 1。
x→+∞
x +1 x x→+∞ x(1+ x)
2x
（8） lim ln(1+ x2 ) = lim
1+ x2
x→0 sec x − cos x x→0 sec x tan x + sin x
=
lim
x→0
x sin
x
⋅2 1+ x2
⋅ cos2 x 1+ cos2
x
=
1⋅ 2 ⋅
1 2
=1。
（9） lim⎜⎛
x →1 ⎝
1 ln x
−
x
1 ⎟⎞ −1⎠
=
lim
x→1
x −1− ln (x −1) ln
x x
=
lim
x→1
ln
1− x+
1
x x
−1
x
= lim x −1 = lim 1 = 1 。