北城中学中考数学专题研究：证明线段相等.docx

2012 年北城中学中考数学证明线段相等的常用方法

一、证明两线段是全等三角形的对应边

例1、如图（1），△ABC是边长为a的等边三角形，沿长BC到D，使CD=b，

沿长 BA到 E，使 AE=a+b，连结 EC、ED。求证 CE=DE

证明：沿长 BD到 F使DF=a则BF=2a+b而BE=2a+b

∴ BF=BE又∠ B=60°∴△ BEF为等边三角形

∴ BE=EF而∠ B=∠F BC=DF

∴△ BEC ≌△ FED∴ CE=DE

例2、如图（2）、 B 、C、D 在一直线上，△ ABC与△ ECD都是等边三角形，BE、AD分别交 AC、 EC于点 G、F。求证 CG=CF

证明：在△ ACD与△ BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE=120°

CD=CE∴ △ACD≌△ BCE∴∠ 1 =∠ 2

∴在△ ACF与△ BCG中，有∠ 1 =∠ 2AC=BC∠ ACF =∠BCG ∴ △ACF≌△ BC`G∴ CG=CF

二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量

例3、图（3），梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD， AC 、BD相交于 O，∠ BOC=60°，E、 F、 G分别为 AO、 BO、CD的中点。

求证：△ EFG为等边三角形。

证明：∵ ABCD为等腰梯形∴ AB=CD可知△ ABC≌△ DCB ∴∠ ACB=∠DBC∵∠ BOC=60°,∴∠ BCO=∠CBO=60°连

结 DE，可知 DE⊥ AO而 DG=GC∴ EG=1

CD=

1

AB=EF

同理 EF=FG ∴ △EFG是等边三角

形。

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例4、如图（ 4），正方形 ABCD中， E 为 BC 上一点，且 AE=CD+CE，AF 为∠ EAD 的平分线。求证 DF=CF。

证明：在 AE上截取 AH=AD，连FH、FE

则△ ADF≌△ AHF∴∠ FHE=90° DF=FH AH=AD

又因为CE=AE-CD=AE-AH=HE

∴△ FCE≌△ FHE∴FH=FC∴DF=FC

三、证明两线段是一个三角形的等角的对边

例5、如图（ 5），在△ ABC中，∠ ABC=90°，∠ 1=∠ 2， BD⊥AC

于 D，FH⊥AC于 H。求证 BEHF是菱形。

证明：∵∠1=∠2BD⊥AC FH⊥ AC

可知∠ 4=∠BEF=∠BFE BE ∥ FH ∴BE=BF 又

BF=HF ∴BE=HF ∴ BGHF为菱形

四、证明两线段是平行四边形的对边或者是对角线交点所分的两部分

例6、如图（6），E、F 是平行四边形 ABCD对角线 B、D 上两点，且 BE=DF，求证： AE=CF

证明：连结 AC设 AC与 BD的交点为 O，∵ ABCD是平行四边形

∴ OB=OD OA=OC又∵ BE=DF

∴ OE=OF∴四边形AECF是平行四边形

∴ AE=CF

五、利用平行线等分线段定理来证

例7、如图， CP为⊙ O 的切线， PAB为割线， COD为直径，自 A 作PO 的平行线分别交 CD、BD于 E、 F。求证： AE=EF.

证明：作 OM ⊥AB

∵∠ PCO=∠AMO=90°

∴∠ MCO=∠OPB=∠BAE

则 AM=BM 连 CM 、EM 、CA

∴P 、C 、M 、O 四点共圆 ∴ A 、C 、M 、E 四点共圆 ∴∠ AME=∠ACE=∠ABF

∴ME ∥BF

∴ AE=EF

六、 利用平行线分线段成比例定理来证

例 8、如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，AB=CD 。 O 是对角线 AC 、BD 的交点，EF 过点 0 并且平行于 AD 。求证： OE=OF

证明：∵ AD ∥BC ∥EF

∴OE/BC=AE/AB 又由于 AE/AB=DF/DC ∴OE/BC=OF/BC

∴ OE=OF

OF/BC=DF/DC 七、 用代数方法通过计算来证明 例 9、如图△ ABC 中，D 、E 为 BC 上的任意两点，

ER ⊥AC ，且 DM+DN=ES+ER

求证： AB=AC

DM ⊥ AB ，DN ⊥ AC ，ES ⊥ AB ，

证明： △ ABD 面积 +△ ACD 面积 =△ ABE 面积 +△ACE 面积

∵ DM ⊥AB ，DN ⊥ AC ，ES ⊥ AB ，ER ⊥AC

∴

1 1 1 1 2

AB · DM+ AC ·DN= AB ·ES+ AC ·ER

2

2

2

∴ AB(ES-DM)=AC(DN-ER) ∵ DM+DN=ES+ER ∴ ES-DM=DN-ER ∴ AB=AC 八、利用线段垂直平分线的性质定理来证明

例 10、如图（ 10）， AC=AD ，BC=BD ， E 是 AB 上任意一点，求证 EC=ED

（如图）

又E 证明：∵ AC=AD， BC=BD

在线段 AB上∴

∴ AB

EC=ED

是线段CD的垂直平分线