7.4-控制点加密

p2
= xA + r cosαAB + hsin αAB
yp2 = yA + r sin αAB −hcosαAB
⑵推算AP和BP边的坐标方位角和边长 推算AP和BP边的坐标方位角和边长 AP
αAP =αAB −α
αBP =αBA + β
D sin β D = AB AP sin γ
D sin α D = AB BP sin γ
γ=180° γ=180°-(α+β)
⑶计算P点坐标 计算P 分别由A点和B点按下式推算P点坐标（坐标正算） 分别由A点和B点按下式推算P点坐标（坐标正算）， 并校核。 并校核。
现以一个三角形为例说明前方交会的定点方法。 现以一个三角形为例说明前方交会的定点方法。 ⑴ 据已知坐标计算已知边AB的方位角和边长(坐 据已知坐标计算已知边AB的方位角和边长( AB 的方位角和边长 标反算) 标反算)
αAB =arctan
yB −yA xB −xA
DAB = (xB − xA)2 +(yB − yA)2
xp = xA + DAP cosαAP
yp = yA + DAP cosαAP yp = yB + D cosαBP BP
xp = xB + DBP cosαBP
xA ctg β + xB ctgα − yA + yB 进一步推算得： 进一步推算得： xp = ctgα +ctg β yA ctg β + yB ctgα − xA + xB yp = ctgα +ctg β
C
第一步：计算 第一步：计算A,B,C角 角
A =α −α
A C
B B
A B
B =α −α C =α −α
B A C B
B C
C A
第二步：计算权系数 第二步：
tg ⋅ tgA α 1 A, A P = = ctgA−ctg α tgα −tgA β tg ⋅tgB 1 P = = β tgβ −tgB ctgB−ctg tg ⋅ tgC 1 γ P = = ctgC−ctg γ tgγ −tgC
7.4 控 制 点 加 密
当导线点和小三角点的密度不能满足工程施工或 大比例尺测图要求时，需加密的点不多时， 大比例尺测图要求时，需加密的点不多时，可用交会 法加密控制点，称为交会定点。 法加密控制点，称为交会定点。常用的交会法有前方 交会、后方交会和距离交会。 交会、后方交会和距离交会。 7.4.1 前方交会 如图a，在已知点A、 分别对 分别对P点观测了水平角 如图 ，在已知点 、B分别对 点观测了水平角 α和β，求P点坐标，称为前方交会。 和 ， 点坐标， 点坐标 称为前方交会。
为了检核，通常需从三个已知点A、 、 分别向 分别向P 为了检核 ， 通常需从三个已知点 、 B、C分别向 点观测水平角，如图（ ） 分别由两个三角形计算P点 点观测水平角，如图（b），分别由两个三角形计算 点 坐标。 坐标。 P点精度除与 、β角观测精度有关，还与 角的大小 点精度除与α、 角观测精度有关 还与γ角的大小 角观测精度有关， 点精度除与 有关。 角接近 角接近90°精度最高，在不利条件下， 角也不 有关。γ角接近 °精度最高，在不利条件下，γ角也不 应小于30°或大于120° 应小于 °或大于 °。
点的圆为“危险圆” 点落在危险圆上则无解。 点的圆为“危险圆”。若P点落在危险圆上则无解。 点落在危险圆上则无解
后方交会的危险圆
当待定点P位于三个已知点A 当待定点P位于三个已知点A、 B、C的外接圆时，无论P点位于 的外接圆时，无论P 该圆周的任何位置， 该圆周的任何位置，其γ1和γ2圴不 变，因此P点无解。故称此外接圆 因此P点无解。 为危险圆。 为危险圆。 实际工作中， 点位于危险圆上的情况是极偶然的， 实际工作中，P点位于危险圆上的情况是极偶然的， 但在危险圆附近时，计算出的坐标误差会很大。 但在危险圆附近时， 计算出的坐标误差会很大。 为了避 免P点落在危险圆附近，规定后方交会角γ1、γ2与固定角 点落在危险圆附近，规定后方交会角γ B不应在160°～180°之间，否则应重新选择点位。 不应在160° 180°之间，否则应重新选择点位。
2 D2 = DAB + D2 −2DABD cos A b a a
2 DAB + D2 − D2 a b cos A= 2DABD a
r = D cos A= a
1 2 (DAB + D2 − D2) a b 2DAB
2 2 Q点 。 垂距 1Q为 h， AQ为 r h = Da −r 点 垂距P 为 ， 为
7.4.3 距离交会
如图，在两个已知点 、 如图，在两个已知点A、 B上分别量至待定点 1的边长 上分别量至待定点P 上分别量至待定点 Da、Db，求解 1点坐标，称 求解P 点坐标， 为距离交会。 为距离交会。 利用A、 已知坐标求 ⑴利用 、B已知坐标求 方位角α 和边长D 方位角 AB和边长 AB。 点作AB垂线交于 ⑵ 过 P1点作 垂线交于 ，利用余弦定理求A角。 利用余弦定理求 角
AA γ B
B
p
β
α
如果P点落在危险圆上则无解 如果 点落在溢出” 为了避免在计算P时遇特殊角“溢出” 的问题， 的问题，可改用下式
sin asin A P= a cosasin A−cos Asin a sin bsin B P= b cosbsin B−cos Bsin b sin csin C P= c coscsin C−cosCsin c 四点共圆， 当P和A，B，C四点共圆，无解。称过 和 ， ， 四点共圆 无解。称过ABC三 三
⑶ P1点坐标为： 点坐标为：
xp1 = xA + r cosαAB −hsin αAB
yp1 = yA +r sin αAB +hcosαAB
上式P 点在AB AB线段右 上式 P1 点在 AB 线段右 侧(A、B、P1顺时针构成三 (A、 角形) 若待定点P AB线 角形)。若待定点P2在AB线 段左侧(A、 段左侧(A、B、P2逆时针构 (A 成三角形) 公式为： 成三角形)，公式为： x
A B C
γ
p
β
α
C C
第三步：计算待定点 的坐标 第三步：计算待定点P的坐标
P ⋅ xA + P ⋅ xB + P ⋅ xC B C Xp = A P +P +P A B C P ⋅ yA + P ⋅ yB + P ⋅ yC B C yp = A P +P +P A B C
后方交会法有很多种解法
按上式可用计算器方便的计算出P点坐标。 按上式可用计算器方便的计算出P点坐标。 由三角形Ⅰ 由三角形Ⅰ、Ⅱ可计算出两组P点坐标，如果较 可计算出两组P点坐标， 差符合规定，则取两组结果的平均值，作为P 差符合规定，则取两组结果的平均值，作为P点的最 后坐标。 后坐标。
7.4.2 角度侧方交会法
观测值： 观测值：一个已知点处的水 平角α和待定点处的水平角 。 平角 和待定点处的水平角γ。 和待定点处的水平角 计算：先求第三角 计算：先求第三角β β=180-α-γ 然后再按前方交会法计算P点 然后再按前方交会法计算 点 的坐标。 的坐标。
7.4.3 后方交会法
已知点： ， ， 已知点：A，B，C 观测值：后交角α，β 观测值：后交角 ， 辅助量： 辅助量：γ=360°－α－β ° － 物理重心公式
γ A,
B
p
α β
P ⋅ xA + P ⋅ xB + P ⋅ xC B C Xp = A P +P +P A B C P ⋅ yA + P ⋅ yB + P ⋅ yC B C yp = A P +P +P A B C