二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题
⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。
我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。
与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。
但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。
令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。
我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。
既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。
微积分8-6(极值与最值)
A 2 xy yz zx), x、y、z 0.
构造
利用拉格朗日乘数法求例4 解 设容器长、宽、高分别为 x , y ,z m , 则所用材料的面积为
令
F xyz a 0.
3
F 2 xy yz zx) ( xyz a ) Fx 2( y z ) yz 0; Fy 2( x z ) xz 0; 得驻点 Fz 2( y x) xy 0; ( a , a, a )
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题.
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件 ( x, y ) 0 下,求函数 z f ( x, y) 的极值 . 分析： 设 ( x, y ) 0 确定隐函数 y (x) ,
当( x, y)落在Ⅱ、Ⅳ时，h( x, y ) 0.
h( x, y) xy在 (0,0) 处无极值．
f ( x, y) 3 x 4 y ；
2 2
在 (0,0) 处有极小值0．
(1)
g ( x, y ) x y ；
2 2
(2)
在 (0,0) 处有极大值0．
h( x, y ) xy.
f (0 x,0) f (0,0) lim x 0 x
求函数
z f ( x, y ) 极值的一般步骤：
f x( x, y) 0,
f y ( x, y ) 0.
第一步 解方程组
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
当区域内部最值存在, 且只有一个极值点 P 时, f (P) 为最小值 f (P) 为极小值 (大) (大)
二元函数最大值最小值
二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。
二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。
2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。
具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。
2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。
具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。
3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。
3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。
3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。
微积分第三章第3.6节 二元函数的极值与条件极值
解 为求驻点，解联立方程组
f x'( x, y) 3x2 3 y 0
f
' y
(
x,
y)
3
y2
3
x
0
得到两个驻点：（0，0），（1，1）。
由于
f
'' xx
(0,0)
0,
f xy''(0,0)
3,
f
'' yy
(0,0)
0
故[ f xy''(0,0)]2
f
'' xx
有 f ( x,0) x2 ，即函数取负值，而对原点附近任何的 y，
f (0, y) y2 ，函数取正值。因此，原点（0，0）不是函数的极值点。
如果要求二元函数的极值点，应当从驻点或一阶偏导数不存在的点中 选取可能的极值点，为了判断所选的点是否是极值点，我们不加证明地给 出：
定理 3.6.2 设函数 z=f（x，y）的所有的二阶偏导数都在点 ( x0 , y0 ) 附
3
3 33
在该点处 S 3 3 R2 。 4
在闭区域 D 的边界上，即在直线 x=0，y=0 及 x y 2 上，S 恒等
于零，因此 S 在 ( 2 , 2 ) 处达到最大值，换言之，当 x y z 2 时，
33
3
即内接三角形为等边三角形时，其面积最大。
Hale Waihona Puke 以上我们讨论了二元函数的极值问题，系指自变量可任意取值，在不
受限制的情况下的极值，通常被称为无条件极值(unconditional extremum)。
6.6 二元函数的极值
对于 U ( P0 )内的任意点 ( x , y ), 若恒有不等式
0
z 3x 2 4 y 2 在点 (0,0) 处取得极小值. z 2 ( x2 y 2 ) 在点 (0,0)处取得极大值. z y 2 x 2 1 在点 (0,0)既不取得极大值也不取得极小值.
在点 0,4 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 0,4 不是极值；
在点 3,2 处， f xx 8 , f xy 0 , f yy 18，
AC B 2 8 18 0 ，又 A 0 ，所以函数有
2 2 求函数 f x, y 6 x x 4 y y 的极值． 例2
解 函数的定义域为整个 xOy 面； 2 2 f x 6 2x4 y y f y 6x x 4 2 y
fx 0 由 得： 0,0 、 0,4 、 3,2 、 6,0 、 6,4 fy 0
极大值 f 3,2 36 ；
在点 6,0 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 6,0 不是极值；
在点 6,4 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 6,4 不是极值．
(3).若 B2
AC 0 ,
情况不定.
注意：
结论(1)中的 A 换为 C 结论不变。
例1. 求函数 解:
f ( x, y) x3 y 3 3x2 3 y 2 9 x
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
考研数学备考重点解析如何求二元函数的极值和最值
2014考研数学备考重点解析——如何求二元函数的极值和最值极值和最值问题共分三类题型，即无约束极值、条件极值和有界闭区域上连续函数的最值. 做题时第一步是要确认类型，然后对应相应的解决方法进行求解.（一）无约束极值求二元函数),(y x f z =无约束极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得驻点00(,)x y ； ⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===；⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.【例1】设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的医学考研论坛函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【解析】分析：极值结合隐函数求导方程两边对x 求导，得26220z z x y y z x x∂∂---=∂∂，⑴ 方程两边对y 求导，得6202220z z x y z y z y y∂∂-+---=∂∂，⑵ 令0z x ∂=∂，0z y ∂=∂，得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3,,x y z y =⎧⎨=⎩代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x ，解得9,3,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者9,3,3,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩⑴式两边对x 求导，得22222222()20z z z y z x x x∂∂∂---=∂∂∂， ⑴式两边对y 求导，得22622220z z z z z y z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂，⑵式两边对y 求导，得22222202222()20z z z z z y z y y y y y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂， 将9,3,3,x y z ===0z x ∂=∂，0z y ∂=∂代入，得22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,,623z z z A B C x x y y ∂∂∂====-==∂∂∂∂ 2110,0366AC B A -=>=>，故点(9,3)是),(y x z z =的极小医学考研论坛值点，极小值为(9,3)3z = 类似可得点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.（二）条件极值求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为某一常数；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注：这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格医学考研论坛朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.【例2】求椭球面 1222222=++cz b y a x 的内接长方体的最大体积. 【解析】设内接长方体位于第一卦限的顶点为(,,)x y z ，则它的长、宽、高分别为2x ，2y ，2z ，问题归结为求体积8V xyz =(0,0,0)x y z >>>在条件1222222=++cz b y a x 下的最大值. 构造拉格朗日函数:222222(,,,)8(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=+++-解驻点方程组:222222222280,280,280,10, xyzxL yzayL xzbzL yxcx y zLa b cλλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩得唯一驻点：x y z===由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为maxV==（三）有界闭区域D上连续函数的最值因为有界闭区域D上连续函数的最值一定存在，所以只要分别求出函数在D的内部和D的边界上可能取得最值的点.其中内部的可能最值点按无约束极值的求法，求出若干驻点，但只取落入D内的驻点（注意：这里不需要用二阶条件来验证极值）.D的边界上的最值点按条件极值的求法求出.医学考研论坛最后，比较所有这些可能点处函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.【例3】求二元函数)4(),(2yxyxyxfz--==在直线6=+yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.【解析】⑴先求函数在D内的驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---=')4(),()4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内驻点)1,2(,且4)1,2(=f,⑵再求D的边界上的可能的最值点在边界0=x和0=y上,0),(=yxf；在边界6=+yx(06)x<<上，xy-=6，于是232()(,6)(6)(2)212(06)g x f x x x x x x x=-=--=-<<,由2()6240g x x x'=-=,得4x=，且(4)(4,2)64g f==-，⑶故4)1,2(=f 为最大值,64)2,4(-=f 为最小值.。
二元函数的最值与极值
二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。
在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。
最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。
一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。
类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。
2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。
通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。
边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。
最值往往出现在函数在 D 的边界上。
极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。
2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。
通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。
一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。
二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。
对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。
三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。
7.7二元函数的极值和最值
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
f (x, y)在点(1,0)取极小值， 极小值为 f (1,0) 5.
A fxx 6x 6, B fxy 0, C f yy 6 y 6
在(1,2)处A 12 0, B 0,C 6,
B2 AC 72 0, f (x, y)在点(1,2)无极值。
驻点有 (1,0),
闭区间上连续函数最值只能在极值点
和端点处取得.
y
而极值点只会在 驻点和不可导点处
所以闭区间上连续 函数最值只能在
x1
a
o
x2
x3 b x
驻点、不可导点和端点 处取得
1.求闭区间[a ,b]上连续函数最值的步骤：
(1)求出f (x)在[a,b]内的可疑最值点（驻 点、不可导点、区间端点)及其函数数值 注：对这些可疑最值点不需采用第一或第 二充分条件确认其是否为极大（小）值点
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
区间[a, c]上 max f ( x) f (c), min f (x) f (x2 )
可见, 闭区间上连续函数最值只能在极值 点和端点处取得. 为什么要单独考虑端点？ 因端点没有资格做极值点，但可能取最值
第三步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步 对每一个驻点，根据 ABC 法则判断 其是否为极值点.
二元函数极值的定义
§1. 极值与最小二乘法
设f x, y 在点 x0 , y0 取到极值，则
则 f f x0 x , y0 y f x0 , y0
1 ( f x 2 x0 x , y0 y x 2 2 f xy x0 x , y0 y xy 2 f yy x0 x , y0 y y 2 )
§1. 极值与最小二乘法
f yy x0 x, y0 y C
且当x 0, y 0时， 0， 0， 0
1 1 2 2 f ( Ax 2 Bxy C y ) (x 2 2xy y 2 ) 2 2
故当 y y0 ， x x0 时， 有
Yunnan University
f x, y0 f x0 , y0 .
§1. 极值与最小二乘法
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x0 处有极大值,
必有
类似地可证
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
在 (0,0) 处有极大值．
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
Yunnan University
(3)
§1. 极值与最小二乘法
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
A f x 2 x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f y 2 x0 , y0 ,
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
8.4 多元函数的极值
f ( x, y ) > f ( x0 , y0 )
则称函数 f ( x, y ) 在点P0 ( x0 , y0 ) 有极小值 f ( x0 , y0 ) ,点 P0 称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值, 使得函数取得极值的点称为极值点.
2.n元函数极值的概念: 2. 元函数极值的概念:设n元函数u=f(p)的定义域为 D 元函数极值的概念
f x ( x0 , y0 ) = 0 的点( x0 , y0 ) 称为函数的驻点. f y ( x0 , y0 ) = 0
极值的必要条件可重述为:可偏导函数的极值点必为驻点 可偏导函数的极值点必为驻点. 可偏导函数的极值点必为驻点 注: (1)但驻点不一定是极值点. 例如, 有驻点(0, 0), 但在该点不取极值.
z
y
思考: 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?x 提示: 利用对称性可知,x = y = z = 3 V0 提示:
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
例2. 求函数 解: 求驻点. 第一步 求驻点. 解方程组
的极值.
得驻点: (1, 0),(1, 2),(–3, 0),(–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 判别.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
4.二元函数极值的充分条件 4.二元函数极值的充分条件
8.8二元函数的极值
D 的内点。若存在 p0 的某个领域U ( p0 ) ⊂ D ，使得对 的内点。
于该领域内异于 p0 的任何点 ( x , y )都有
f ( x , y ) < f ( x 0 , y0 )
则 称 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 有 极 大 值 f ( x 0 , y0 ) 点
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1 ） AC − B > 0 时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2 ） AC − B 2 < 0 时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
例 2 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱。问当长、 高各取怎样的尺寸时， 方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省。 才能使用料最省。
解 设水箱的长为 xm ，宽为 ym ，则其高应
2 为 m 。 此水箱所用材料的面积 xy 2 2 2 2 A = 2( xy + y ⋅ + x ⋅ ) = 2( xy + + )( x > 0, y > 0) xy xy x y 2 2 Ay = 2( x − 2 ) = 0 x = 3 2 ,y = 3 2 Ax = 2( y − 2 ) = 0 y x 即 当 水 箱 长 为 3 2m 、 宽 为 3 2m 、 高 为
8.8 二元函数的极值 一、二元函数的极值 二、条件极值与拉格朗日乘数法
极值与最值
结合(1),(2)的 讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。 且z极小值 1 2 1
例2. 求函数 解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值 可能点
二元函数的极值最值
4、二元函数的极值、最值 10极值定义 P208()()00y x f y x f 、、≤ ()00y x f 、为极大值()()0y xf y x f 、、≥ ()0y xf 、为极小值 ()()()()⎩⎨⎧='='→0y x f 0y x f y x y x f 0yx0、、有极限值、在、驻点 ← 极值点，需判别设()A y x f 00xx=''、 、()B y x f 00xy =''、 、()C y x f 00yy =''、例1、 求x y 3y x z 33-+=的极值解：y 3x 3f 2x-=' ，x 3y 3f 2y -=' ，x 6f xx ='' ， 3f xy-='' ，y 6f y y ='' 令⎩⎨⎧='='0f 0f y x → ⎩⎨⎧=-=-0x 3y 30y 3x 322 → 0y y 4=- 1y 0y ==得驻点 ()0,0 ，()1,1在()0,0 ，()()0903AC B 20,02>=--=-∴ ()0,0f 非极值 ()1,1 ，()()0363AC B 21,12<--=-∴ ()1,1为 极值点又()06A 1,1>= ∴ ()11,1f -= 为极小值例2、求()y x 5y x z 2--=在闭区域D ：0x ≥，0y ≥，4y x ≤+的最大，最小值。
解：()y 2x 310x y f x--=' ，()y 2x 5x f 2y --=' 令()()⎩⎨⎧=--=--0y 2x 5x 0y 2x 310xy 2 （在D 内） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==45y 25x在D 的内部函数只有一个驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛45,25 ，6462545,25f =⎪⎭⎫ ⎝⎛在边界0x = ，0f = 在0y = ，0f =在4y x =+，()()()3222x x 4x 4x x 4x 5x 4x z -=-=+---=0x 3x 8dx dz 2=-= 得：38x = ，即38x = ，34y =为驻点2725634,38z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 比较64625z = ，0z = ，27256z = 得最大值64625z =，最小值0z = 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
第五节 二元函数极值-精选文档
2
注意：
(1)中的A换为C结论不变。
4
例1. 求函数 解:
的极值. f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9 x
3 3 2 2
2 2 , 0 f x 3 y 6y 0 f 3 x 6 x 9 y 1 , 0 ), ( 1 , 2 ), ( 3 , 0 ), ( 3 , 2 ) 得驻点: ( , f 0 fyy 6 y 6 f xx 6 x 6 xy
(x (x, y)0 fx ,y) 0 , fy
称为函数 zf(x ,y)的驻点.
同时成立的点,
2
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
第五节 二元函数的极值
一. 二元函数的极值 定义4.7 设函数 zf( x ,y )在点 P(x0, y0)某邻域内有定义,
对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点 P 处有极大值 f (x0, y0) 0 0
A 12 , B 0 , C 6
5
B2 AC 3 ,2 )31 72 0 A0 , 有极大值 f(
步骤：
求函数
zf(x ,y )极值的方法和步骤.
fy ( 1 ) 求 f x，
（2）求出驻点( x0 , y0 ) （3）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值A,B,C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
这体 现了考研的基本要求。
2z z z2 2z 0, y x x y22z z 2 z2( ) 2z 2 0 ， 2yy解】 因为 x 2 6xy10 y 22yz zzz2 x 6y 2 y2zxxzz 6x 20 y 2z2y2zyyx zyx 3 y 0, 3x 10 y z 0,3y, z y.将上式代入 x 2 6 xy10 y 2 2yz z 2 18 0 ，可得x 9,9, 3,3, 3.由于222zy2xz22( ) 2 2z x2z 0，22zz 6 2 2yx x yzz20 2 2 2 y 2 y yy 2z 0,218 0 ，所以511，从而点 (-9, -3) 是 z(x,y)的极大值点，极大6值为z(-9, -3)= -3.评注 】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时 应注意 x,y,z 满足原方程。
2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设 f(x,y), (x,y)在点 (x 0,y 0) 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数F (x, y, ) f(x, y) (x, y) 解联立方程组Ff 'x (x,y) 'x (x,y) 0x Ff 'y (x, y) y '(x, y) 0 y(x, y) 0得(x 0,y 0)可能是 z f (x,y)在条件 (x,y) 0 下的极值点例 3 经过点 (1,1,1) 的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的 体积最小．并求此最小体积．【分析 】条件极值经常考应用题。
这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为xyz1, (a 0,b 0,c 0) ． abc因为平面过点 (1,1,1) ，所以该点坐标满足此平面方程，即有所以 2 x 2(9 ,3,3)2B2z xy( 9,3,3)22z(9 ,3,3)故 ACB 2360， 又A 0， 从而点 (9,3)是 z(x,y)的极小值点， 极小值为z(9,3)=3.类似地，由22z22z( 9, 3, 3)xy( 9 , 3, 3)y 2( 9 , 3, 3)可知 AC B36 0，又 A(1)元及报纸广告费 y 万元之间的关系为：22R 15 14 x 32 y 8xy 2x 10 y ．⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵ 若提供的广告费用为总额 1．5 万元，求相应最佳广告策略． 解 】⑴ 利润函数为L(x,y) R (x y) 15 13x 31y 8xy 2x 2 10 y 2，求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：Lx 13 8 y 4x 0,Lx31 8x 20 y 0y111 1． abc设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V ， 则1 V abc ．6原问题化为求目标函数( 2)在约束条件( 1) (2)下的最小值．作拉格朗日函数11 11 L (a,b,c) abc ( 1) ．6求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：abc1 b c2 0,6 a 21 ac2 0, 6b21ab20.6c 2由此方程组和( 9)解得 a = b = c = 3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故 a = b = c = 3 为所求 平面x + y + z = 3 ． 与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为V min1 3 93 62例 4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告， 收入R 万元与电视广告费 x 万解得x 0.75，y 1.25 ．则(0.75,1.25) 为L ( x , y )惟一的驻点．又由题意，L(x, y )可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为L(0.75,1.25) 39.25 万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为0.75 万元和1 .25 万元时，最大利润为39.25 万元，此即为最佳广告策略．⑵ 求广告费用为1． 5 万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件x y 1.5下，求L(x,y) 的最大值．作拉格朗日函数F ( x, y) L ( x, y) (x, y )2215 13 x 31 y 8xy 2 x 10 y ( x y 1 .5) ．求函数F(x, y)的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：F13 8 y 4 x 0,xF31 8 x 20 y 0 .y并和条件x y 1. 5 联立解得x 0 ，y 1.5 ．这是惟一的驻点，又由题意，L ( x, y )一定存在最大值，故L(0,1.5) 39 万元为最大值．【评注】本题也可由x y 1.5 ，解得y 1.5 x ，代入目标函数转换成一元函数求解。
3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:(2007数学一)求函数 f (x, y) x2 2y2 x2y2在区域D上的最大值和最小值，其中： D {( x , y) x y 4, y 0} 。
【分析】由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
详解】因为f x(x,y) 2x 2xy ，f y(x,y) 4y 2x2y，解方程：2x 2 xy 0 , x 2 x2y 0 ,得开区域内的可能极值点为y 2 x y 0其对应函数值为 f ( 2,1) 2.又当 y=0 时， f (x, y) x 2在 2 x 2 上的最大值为 4，最小值为 0.当 x 2y 24, y 0, 2 x 2 ，构造拉格朗日函数22 2 222F ( x, y, ) x2 y xy ( x y4 )2F x 2x 2xy2 x0,解方程组F y 4y 2x y 2 y 0,得可能极值点： (0, 2), ( , )，其对F x y 4 0,应函数值为 f (0, 2) 8, f ( 5, 3) 7.比较函数值 2,0,4,8,7，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.4【 评注 】当 x y 4, y 0, 2 x 2 ， y 4 x 代入目标函数转换成一元函 数求解更简单。
例 3(: 2005数学二)已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz 2xdx 2 ydy ，并且f(1,1,)=2.2求 f(x,y)在椭圆域 D {( x, y) x2 y1} 上的最大值和最小值 . 4解】 由题设，知 f2x ， f2y ， xy于是 f (x,y) x C(y)，且 C (y) 2y ，从而 C( y) y C ， 再由 f(1,1)=2，得 C=2, 故 f (x, y) x 2y 22.(下略)( 2,1) .f x 2。