二元函数的极值与最值

2．
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。

对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则
当B 2
AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。

注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2
－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：
并求出相应的极值 . 2
z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 2
6x ,
x
y x
2
z
xy
2
z
2
y 2
再求函数的驻点．令 z
= 0，
x
得方程组
2
3x 2y 0, 2y 2x 0.
22
求得驻点(0，0)、( 2，2)．
33
利用定理 2 对驻点进行讨论：
2．
(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函
数 z = f(x, y) 的极值点．
(2)对驻点( 2
，2
)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2
－AC =－4 0, 且A 0,则 33
2 2 4 f ( 2
，2
) 4
为函数的一个极小值．
3 3 27
例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 2
6xy 10 y 2
2yz z 2
18 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .
分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

这体 现了考研的基本要求。

2
z z z
2 2z 0, y x x y
22
z z 2 z
2( ) 2z 2 0 ， 2
yy
解】 因为 x 2 6xy
10 y 2
2yz z
z
z
2 x 6y 2 y
2z
x
x
z
z 6x 20 y 2z
2y
2z
y
y
x z
y
x 3 y 0, 3x 10 y z 0,
3y, z y.
将上式代入 x 2 6 xy
10 y 2 2yz z 2 18 0 ，可得
x 9,
9, 3,
3, 3.
由于
22
2
z
y
2
x
z
2
2( ) 2 2z x
2
z 0，
2
2
zz 6 2 2y
x x y
zz
20 2 2 2 y 2 y y
y 2
z 0,
2
18 0 ，所以
5
1
1
，从而点 (-9, -3) 是 z(x,y)的极大值点，
极大
6
值为
z(-9, -3)= -3.
评注 】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时 应注意 x,y,z 满足原方程。

2．二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法：设 f(x,y), (x,y)在点 (x 0,y 0) 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数
F (x, y, ) f(x, y) (x, y) 解联立方程组
F
f 'x (x,y) 'x (x,y) 0
x F
f 'y (x, y) y '(x, y) 0 y
(x, y) 0
得(x 0,y 0)可能是 z f (x,y)在条件 (x,y) 0 下的极值点
例 3 经过点 (1,1,1) 的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的 体积最小．并求此最小体积．
【分析 】条件极值经常考应用题。

这一点大家应引起重视。

【解】设所求平面方程为
xyz
1, (a 0,b 0,c 0) ． abc
因为平面过点 (1,1,1) ，所以该点坐标满足此平面方程，即有
所以 2 x 2
(9 ,3,3)
2
B
2
z xy
( 9,3,3)
2
2
z
(9 ,3,3)
故 AC
B 2
36
0， 又A 0， 从而点 (9,3)是 z(x,y)的极小值点， 极小值为
z(9,3)=3.
类似地，由
2
2
z
2
2
z
( 9, 3, 3)
xy
( 9 , 3, 3)
y 2
( 9 , 3, 3)
可知 AC B
36 0
，又 A
(1)
元及报纸广告费 y 万元之间的关系为：
22
R 15 14 x 32 y 8xy 2x 10 y ．
⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；
⑵ 若提供的广告费用为总额 1．5 万元，求相应最佳广告策略． 解 】⑴ 利润函数为
L(x,y) R (x y) 15 13x 31y 8xy 2x 2 10 y 2，
求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：
L
x 13 8 y 4x 0,
L
x
31 8x 20 y 0
y
111 1． abc
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为
V ， 则
1 V abc ．
6
原问题化为求目标函数( 2)在约束条件( 1) (2)
下的最小值．作拉格朗日函数
11 11 L (a,b,c) abc ( 1) ．
6
求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：
abc
1 b c
2 0,
6 a 2
1 ac
2 0, 6
b
2
1
ab
2
0.
6
c 2
由此方程组和( 9)解得 a = b = c = 3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故 a = b = c = 3 为所求 平面
x + y + z = 3 ． 与
坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为
V min
1 3 9
3 62
例 4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告， 收入R 万元与电视广告费 x 万
解得x 0.75，y 1.25 ．则(0.75,1.25) 为L ( x , y )惟一的驻点．
又由题意，L(x, y )可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为L(0.75,1.25) 39.25 万元．
因此，当电视广告费与报纸广告费分别为0.75 万元和1 .25 万元时，最大利
润为39.25 万元，此即为最佳广告策略．
⑵ 求广告费用为1． 5 万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件
x y 1.5下，求L(x,y) 的最大值．作拉格朗日函数
F ( x, y) L ( x, y) (x, y )
22
15 13 x 31 y 8xy 2 x 10 y ( x y 1 .5) ．
求函数F(x, y)的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
F
13 8 y 4 x 0,
x
F
31 8 x 20 y 0 .
y
并和条件x y 1. 5 联立解得x 0 ，y 1.5 ．这是惟一的驻点，又由题意，
L ( x, y )一定存在最大值，故L(0,1.5) 39 万元为最大值．
【评注】本题也可由x y 1.5 ，解得y 1.5 x ，代入目标函数转换成一元函数求解。

3．二元函数的最值
二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。

例5:(2007数学一)求函数 f (x, y) x2 2y2 x2y2在区域D上的最大值和最小值，其中： D {( x , y) x y 4, y 0} 。

【分析】由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件
极值讨论即可。

详解】因为f x(x,y) 2x 2xy ，f y(x,y) 4y 2x2y，解方程：
2
x 2 xy 0 , x 2 x
2
y 0 ,
得开区域内的可能极值点为
y 2 x y 0
其对应函数值为 f ( 2,1) 2.
又当 y=0 时， f (x, y) x 2
在 2 x 2 上的最大值为 4，最小值为 0.
当 x 2
y 2
4, y 0, 2 x 2 ，构造拉格朗日函数
2
2 2 2
2
2
F ( x, y, ) x
2 y x
y ( x y
4 )
2
F x 2x 2xy
2 x
0,
解方程组
F y 4y 2x y 2 y 0,得可能极值点： (0, 2), ( , )，其对
F x y 4 0,
应函数值为 f (0, 2) 8, f ( 5
, 3
) 7
.
比较函数值 2,0,4,8,7
，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.
4
【 评注 】当 x y 4, y 0, 2 x 2 ， y 4 x 代入目标函数转换成一元函 数求解更简单。

例 3(: 2005数学二)已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz 2xdx 2 ydy ，并且
f(1,1,)=2.
2
求 f(x,y)在椭圆域 D {( x, y) x
2 y
1} 上的最大值和最小值 . 4
解】 由题设，知 f
2x ， f
2y ， x
y
于是 f (x,y) x C(y)，且 C (y) 2y ，从而 C( y) y C ， 再由 f(1,1)=2，得 C=2, 故 f (x, y) x 2
y 2
2.
(下略)
( 2,1) .
f x 2。