高等代数(2017秋季)第一章自测题

第一章多项式自测题

一、填空题

1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ．

2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++++∈L ,若|()x f x ,则0a = ;若1()x f x =是的根,则012n a a a a ++++=L .

3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根.

4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , .

二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式)

1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ϕϕϕ≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ).

A.()|(()()()())x u x f x v x g x ϕ+；

B.(())min{(),(())}x f x g x ϕ∂≤∂∂ ；

C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ϕ+=则((),())()f x g x x ϕ=

D.若|(),x a x ϕ-则()()0f a g a ==

2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ).

A.23((),())1f x g x =

B.1))()(),((=+x g x f x f

C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x

D. 以上都不对

3.下列命题为假的是( ).

A.在有理数域上存在任意次不可约多项式

B.在实数域上3次多项式一定可约

C.在复数域上次数大于0的多项式都可约

D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根

4.下列命题为真的是( ).

A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式

B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根

C.()f x 有重根(),()f x f x '⇔有一次因式

D.若()f x 有重根,则()f x 有重因式,反之亦然

三、判断题

1.设(),(),()[]f x g x h x P x ∈,若()g x 不能整除()h x ,则()g x 不整除(()()).f x h x + ( )

2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式. ( )

3. 若()()()(),f x g x q x r x =+则((),())((),()).f x g x g x r x = ( )

4.如果()p x 是数域P 上的不可约多项式,那么对于任意的,c P ∈且0,()c cp x ≠也是P 上的不可约多项式. ( )

5.若一个整系数多项式在有理数域上可约, 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.

四、 证明：如果((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，那么((),()())1f x g x h x =.

五、求下列多项式的公共根：

32()221f x x x x =+++；432()21g x x x x x =++++

六、求下列多项式的有理根，并给出它的标准分解式：

32()61514f x x x x =-+-；