3.1--网络的时延模型

3.1 Little定理 – 3.1.1 Little定理 – 3.1.2 Little定理的应用 3.2 数学基础 3.3 M/M/m型排队系统 – 3.3.1 M/M/1排队系统 – 3.3.2 M/M/m排队系统 3.4 M/G/1型排队系统 – 3.4.1 M/M/1排队系统 – 3.4.2 M/M/m排队系统 – 3.4.2 M/M/m排队系统 3.5 排队网络 – 3.5.1 Kleinrock独立性近似 – 3.5.2 Burke定理 2016/9/18 14 – 3.5.2 Jackson定理

3.1.1 Little定理 (1)

令N(t) = 系统在t时刻的顾客数，
Nt 表示在[ 0, t ]时间内的平均顾客数, 即
1 t N t N (t )dt t 0

系统稳态时系统中的平均顾客数为
N lim N t
t
2016/9/18
15
3.1.1 Little定理 (2)
K 对服务窗口应用Little公式有 K X X 最后有 T NX

K
2016/9/18
21
3.1.2 Little定理的应用 (3)

例3 现在改变例2中顾客到达方式。假定顾客到达时发现服 务窗口被占满就立即离开系统(即顾客被阻塞或丢失)。设顾 客的到达率为λ,问顾客被阻塞的概率β为多少? 解：因为顾客是随机到达的，则系统有时满，有时空。平 均而言，平均处于忙的窗口数为 k (k K ) 。则系统中的 平均用户数为 k (1 )X 式中, (1-β)λ表示没有被阻塞部分(或被正常服务部分)的顾 客到达率。
2016/9/18
11
3.1 网络的时延模型 (6)
实际的通信网络模型：分组交换网

顾客：（数据报方式）：分组（变化长度） （虚电路方式）：虚拟链路（逻辑时隙）

服务者：路由器/分组交换机以及之间的传输链路（link） 服务时间：分组传输时间、虚电路占用时间 等待空间：缓冲器（待时系统、呼叫等待系统）


3.1 网络的时延模型 (1)

一个典型的排队模型，描述该模型有三个方面：
顾客 排队 服务窗口
顾客

（1）顾客到达的规则或行为
– 顾客到达的数目（有限或无限） – 顾客到达的间隔（确定值或随机值） – 顾客到达的方式（顾客是独立到达或是成批到达）
2016/9/18
7
3.1 网络的时延模型 (2)

（2）服务速率：指系统处于忙时单位时间内服务 的平均顾客数。
2016/9/18
10
3.1 网络的时延模型 (5)

排队系统中的求解量有两个：
顾客 排队 服务窗口
顾客

（1）平均顾客数：指队列中等待和正在接受客所花的等待 时间和服务时间之和的平均值。

是分组进入传输队列到该分组实际进入传输的时延。
– （2）若节点的输入端有一个等待队列，则排队时延是
指分组进入等待队列到分组进入节点进行处理的时延。
2016/9/18
3
引言 (2)

传输时延是指发送节点在传输链路上开始发送分组的
第一个比特至发完该分组的最后一个比特所需的时间。
数据块长度 传输时延= 信道带宽

令a(t) = 在[ 0, t ]内到达的顾客数，

则在[ 0, t ]内的平均到达率为:
t

(t )
t
系统稳态时的平均到达率为
lim t
t
2016/9/18
16
3.1.1 Little定理 (3)

令Ti为第i个到达的顾客在系统内花费的时间(等待+服务)，

则在[ 0, t ]内平均顾客时延为

网络中的时延通常包括四个部分：处理时延、排队时
延、传输时延和传播时延。
2016/9/18
2
引言 (2)

处理时延(processing delay)是指分组到达一个节点的输入 端与该分组到达该节点输出端之间的时延。 排队时延(queuing delay)等待时延
– （1）若节点的传输队列在节点的输出端，则排队时延
2016/9/18
12
3.1 网络的时延模型 (7)
实际的通信网络模型：电路交换网

顾客：呼叫请求、迂回呼叫、重拨请求、越区切换 服务者：交换机以及之间的传输链路（link） 服务时间：占线时间（holding time） 等待空间：无（即时系统、呼损系统）
2016/9/18
13
第三章 内容概述
情况。
分析一： 1
k K 300 1 1 0.5 X X 200 3
分析二：每个用户每分钟的呼叫到达率为1/30次/分钟，则 3000个用户的整体呼叫到达率为：λ≥100次/分钟。 λT=100× 3=300﹤N=3000，肯定会出现打不通电话的情况。
23
2016/9/18
Fundamental of Communication Networks
通信网络基础
第三章 网络的时延分析
引言 (1)

衡量网络传输能力的重要指标之一是将一个分组从源
节点传到目的节点的时延。

对时延的考虑将会影响网络算法和协议（如多址协议、 路由算法、流控算法等）的选择。

因此，我们必须了解网络时延的特征和机制，以及网络 时延取决于哪些网络特征。
k k 1 1 X X
上式给出了系统阻塞概率的下限。
2016/9/18 22
3.1.2 Little定理的应用 (4)

例4 假设一个电话交换机同时可以服务k=300用户的呼叫, 每 个用户的平均通话时间为3分钟, 设该交换机服务区内有3000 用户。如果在忙时, 每个用户至少半小时打一次电话, 则每分 钟的呼叫到达率λ≥100次/分钟, 讨论会不会出现打不通电话的

3.1.2 Little定理的应用 (1)

例1 考察一个分组流通过一个节点在一条链路上的传输过程。
– 假定分组到达率为λ， – –
分组在输出链路上的平均传输时间 x ， 在该节点中等待传输（不包括正在传输）的分组的个数
（队长）为NQ，
– –
由于该链路上最多有
表示在传输链路上的平均分组数，一个分组在传输，因 分组在节点中等待的时间（不包括传输时间）为 W。 而 可以表示为信道

本章将讨论用于网
络时延特性分析的 主要定理和模型
第三章 内容概述
3.1 Little定理 – 3.1.1 Little定理 – 3.1.2 Little定理的应用 3.2 数学基础 3.3 M/M/m型排队系统 – 3.3.1 M/M/1排队系统 – 3.3.2 M/M/m排队系统 3.4 M/G/1型排队系统 – 3.4.1 M/M/1排队系统 – 3.4.2 M/M/m排队系统 – 3.4.2 M/M/m排队系统 3.5 排队网络 – 3.5.1 Kleinrock独立性近似 – 3.5.2 Burke定理 2016/9/18 6 – 3.5.2 Jackson定理

一个典型的排队模型，描述该模型有三个方面：
顾客 排队 服务窗口
顾客

（3）服务窗口
– 服务规则：无窗口、单窗口和多窗口。 – 服务时间：可以是确定的或是随机的。
2016/9/18
9
3.1 网络的时延模型 (4)

排队系统中的已知量有两个：
顾客 排队 服务窗口
顾客

（1）顾客到达率：指单位时间内进入系统的平均 顾客数。
利用率。 求解：将等待的队列和输出链路分别作为考虑对象，应用 Little定理求得表达式。
2016/9/18
20
3.1.2 Little定理的应用 (2)

例2 假定一个服务大厅有K个服务窗口, 该服务大厅最多可 容纳N个顾客(N≥K)。又假定服务大厅内始终是客满的, 即离 开一个顾客将会有一个新顾客立刻进入大厅。设每个顾客的 平均服务时间为X, 问顾客在大厅内停留的时间T=? 解：顾客进入大厅的到达率为λ, 对整个系统应用Little公 式有 N T T N
2016/9/18
18
第三章 内容概述
3.1 Little定理 – 3.1.1 Little定理 – 3.1.2 Little定理的应用 3.2 数学基础 3.3 M/M/m型排队系统 – 3.3.1 M/M/1排队系统 – 3.3.2 M/M/m排队系统 3.4 M/G/1型排队系统 – 3.4.1 M/M/1排队系统 – 3.4.2 M/M/m排队系统 – 3.4.2 M/M/m排队系统 3.5 排队网络 – 3.5.1 Kleinrock独立性近似 – 3.5.2 Burke定理 2016/9/18 19 – 3.5.2 Jackson定理

一个典型的排队模型，描述该模型有三个方面：
顾客 排队 服务窗口
顾客

（2）排队规则
– 等待制：指系统忙时，顾客在系统中等待。 – 损失制：指顾客发现系统忙时，立即离开系统。典型的
损失制系统就是日常使用的电话通信系统，当用户打电 话时，发现系统忙（占线）时，立即会挂断电话。
2016/9/18 8
3.1 网络的时延模型 (3)
(t )
Tt

T
i 0
i
(t )
稳态平均顾客时延为:
T lim Tt
t
2016/9/18 17
3.1.1 Little定理 (4)

N、λ、T的相互关系是:
N=λ T

这就是Little定理(公式)。 该公式表明: 系统中的用户数(顾客数)=［用户(顾客)的平均 到达率］×［用户(顾客)的平均时延］。