高一数学 不等式测试

高一数学不等式测试
时间120分钟 满分100分
一、选择题（共10题，共30分）
1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A.a+c>b+d B.a －c>b －d C.ac>bd D.
c
b d a > 解：选A
2. 若x x f 2
1log )(=, A )2(
b a f +=, G )(ab f =,H )2(b
a ab
f +=，其中,a b ∈R +，则A ，G ，H 的大小关系是( )
A ．A ≤G ≤H B.A ≤H ≤G C.H ≤G ≤A D.G ≤H ≤A 解：A
3.不等式1
(13)(0)3
y x x x =-<<的最大值是（ ）
A.4243
B.112
C.164
D.172
解：B
4．若02522>-+-x x ，则221442
-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- C 2
1
2520,(21)(2)0,
22
x x x x x -+->--<<<，
22212221423x x x x x -=-+-=-+-=
5．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+
72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+x
C ．13>-x 与13>-x
D ．3
3
)1(x x >+与
x
x 111<+
B 对于A ．727,,2x x <<
与 7272
x x <+≤< 对于C ．31,3131x x x ->->-<-或与13>-x
对于D ．3
3)1(x x >+与
x x 111<+， 当10x -<<时，x
x 1
11<+ 不成立
6．若1
22
+x ≤()1
4
2x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1
[,2)8
B ．1[,2]8
C ．1(,]8-∞
D ．[2,)+∞
B 1
22+x ≤2421()24
x x --=,221142,230,31,28x x x x x y +≤-+-≤-≤≤≤≤
7．如果22
1x y +=,则34x y -的最大值是 ( )
A ．3
B ．
5
1
C ．4
D ．5
D 设cos ,sin ,343cos 4sin 5sin()5x y x y θθθθθϕ==-=-=+≤
8．若方程05)2(2
=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）． A ．4-≤m 或4≥m B ． 45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ． 25-<<-m
B 21212
(2)4(5)0(2)0
,5450m m x x m m x x m ⎧∆=+-+≥⎪
+=-+>-<≤-⎨⎪=+>⎩ 9．若(
)
a ax x x f ++-=12lg )(2
在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（ ） A ．[1,2) B ． [1,2] C ．[)1,+∞ D ． [2,)+∞
A 令(]2
21,,1u x ax a =-+--∞是的递减区间，得1a ≥
而0u >须恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a ≤<； 10．若不等式2
01x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
B 当2
0x ax a -+=仅有一实数根，2
40,04a a a a ∆=-===或，代入检验，不成立
或2
1x ax a -+=仅有一实数根，2440,2a a a ∆=-+==，代入检验，成立！
二、填空题（共8题，共20分）
1．若方程222
2(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数
n =_______。

1
1,2
- 2224(1)4(3442)0m m mn n ∆=+-+++≥
22244210m mn n m ++-+≤，即22(2)(1)0m n m ++-≤
而2
2
(2)(1)0m n m ++-≥，即22
1(2)(1)01,2
m n m m n ++-=⇒==-
且 2．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。

(][)+∞-∞-,11, 2
222211,()1,11x
xy y y x y x y x y ++=+≥+≥+≥+≤-或
3．设函数2
3()lg()4
f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。

11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
2
3310,422x x x -->-<<，递减则12x ≥-， ∴1122x -≤< 4．若{}
|3,,A x x a b ab a b R +==+=-∈，全集I R =，则I C A =___________。

()
,6-∞ 2333,9,36a b ab ab ab +=-≥-≥≥-≥
{}[)|3,,6,A x x a b ab a b R +==+=-∈=+∞，(),6I C A =-∞
5．不等式1
22log (21)log (22)2x x +-⋅-<的解集是_______________。

534
22(log ,log ) 2222log (21)log [2(21)]2,log (21)[1log (21)]2x x x x -⋅-<-⋅+-< 2222log (21)log (21)20,2log (21)1x x x -+--<-<-<
22155
212,23,log log 3444
x x x <-<<<<<
6．已知0,0,1a b a b ≥≥+=2
1
+
b 的范围是____________。

,22⎤⎥⎣⎦
令y =22y =+1
04ab ≤≤
224,
y +≤≤22
y ≤≤ 7．设0≠x ，则函数1)1(2
-+
=x
x y 在x =________时，有最小值__________。

3,1± 221111
22()4()13x x x y x x x x x
+
≥+≤-⇒+≥⇒=+-≥或 8．若22
*1()1,()1,()()2f n n n g n n n n n N n
ϕ=+=-=∈,用不等号从小到大
连结起来为____________。

)()()(n g n n f <<φ 2
2
2
()()()11f n g n n n n
n n
n n
ϕ=
=
=
++-++
三、解答题（共6题，共50分） 1． 函数4
52
2++=
x x y 的最小值为多少？
解：222244
4
y x x x =
=+++24,(2)x t t +=≥
1y t t =+在[)2,t ∈+∞上为增函数 ∴当2t =时，min 15222
y =+=
2．已知△ABC 的三边长是,,a b c ，且m 为正数，求证：a b c
a m
b m
c m
+>
+++。

证明：设()(0)x
f x m x m
=>+，易知(0,)+∞是()f x 的递增区间
,()()a b c f a b f c +>∴+>，即a b c
a b m c m
+>
+++ 而a b a b a b a m b m a b m a b m a b m ++>+=
++++++++ a b c
a m
b m
c m
∴+>
+++ 3．（12分）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．
解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞1；当a ≠0时，分解因式a (x －a 1)(x －1)＜0
当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，不等式的解为x ＞1或x ＜a 1；
当0＜a ＜1时，1＜a 1，不等式的解为1＜x ＜a 1；
当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解为a
1＜x ＜1； 当a ＝1时，不等式的解为 。

4．（13分）某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？ 3x+y=9M(2,3)
o x+2y=8
3
9
x
y
解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,09382y x y x y x
目标函数为：z =2x +3y 作出可行域：
把直线l ：2x +3y =0向右上方平移至l '的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =2x +3y 取最大值
解方程⎩
⎨
⎧=+=+938
2y x y x 得M 的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润。

5．设f x ax bx ()=+2
，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

解：令f mf nf ()()()-=-+211 则42a b m a b n a b -=-++()() ∴-=+--42a b m n a m n b ()()
比较系数有m n m n +=-=⎧⎨⎪⎩⎪42
∴==⎧⎨⎪⎩⎪
∴-=-+≤-<≤≤∴≤-+≤m n f f f f f f f 3
12311112214531110
()()()()()()() ， 即5210≤-≤f ()
6.(12分)已知函数f (x )=ax 2
+2(b +1)x ,g (x )=2x －c ,其中a ＞b ＞c ,且a +b +c =0.
(1)求证:
31＜c a a -＜3
2； (2)求证:f (x )与g (x )的图象总有两个不同的公共点；
(3)设f (x )与g (x )的图象的两个公共点为A 、B ，记S =|AB |.求证:15＜S ＜215.
证明:(1)
c a a -－31=)(33c a c a a -+-=)(32c a c a -+=)(3c a a
c a -++=)
(3c a b a --. ∵a ＞b ＞c ,∴a －b ＞0,a －c ＞0. ∴c a a -＞3
1
.
c a a -－3
2=)(3223c a c a a -+-=)(32c a c a -+=)(3c a c
c a -++=)(3c a b c --.
∵a ＞b ＞c ,∴c －b ＜0,a －c ＞0. ∴c a a -－32＜0.∴c a a -＜3
2
. ∴
31＜c a a -＜3
2
. (2)解方程组⎩⎨⎧-=++=c
x y x b ax y 2,)1(22消去y 得ax 2
+2bx +c =0.
(*)
∵a ＞b ＞c ,且a +b +c =0, ∴a ＞0,c ＜0.∴方程(*)是一元二次方程.
∵Δ=4b 2
－4ac =4［(a +c )2
－ac ］=4［a 2
+ac +c 2
］=4［(a +
21c )2+4
3c 2
］＞0, ∴原方程组有两个不同的解.故f (x )与g (x )的图象总有两个不同的公共点.
(3)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2),则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=a c . ∴S 2=|AB |2
=5(224a
b －a
c 4).
又b =－a －c ,代入得S 2
=5［2
2)(4a c a --－a c 4］=20［(a c + 21)2+43］.
又－2＜a
c ＜－21,∴15＜S 2
＜60. 故15＜S ＜215.。