高中数学竞赛讲义(四)——几个初等函数的性质
高中学数学竞赛(自主招生)必备的高等数学知识
高中学数学竞赛决赛（自主招生）必备的高等数学知识集合集合的概念：我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B、C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。
如果元素是集合A中的元素，记，否则记有限集：只有有限个元素的集合。
无限集：有无穷多个元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合叫空集，记集合的表示方法列举法：如，描述法：如，子集：如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B），记如：,,则。
并集：集合A与集合B的元素放在一起构成的集合，称为A与B的并集。
记，即如：则:交集：记集合A与集合B的公共元素构成的集合，称为A与B的交集，记。
如：，则:绝对值与绝对值不等式几何意义：点到原点的距离。
几何意义：点到点的距离。
性质：1）， 2）， 3）；4）设，；5）；6）7）例1：解下列不等式1）， 2）， 3）4）， 5）解：1） 2）3）或或4）5）或区间与邻域设为实数，，称为以、为端点的开区间，称为以、为端点的闭区间，，以上为有限区间，以上为无穷区间称为点的邻域，为对称中心，为半径。
称为点的去心邻域。
函数的定义设有两个变量与，当变量在实数某范围任取一值时，变量按确定的规则有确定的值与之对应，那么称是的函数，记。
叫自变量，叫因变量，的取值范围称为函数的定义域，记。
对称为函数在点的函数值，所有函数值的集合称为值域。
记。
说明：（1）定义中的记号表示自变量与因变量的对应法则。
（2）函数的两要素：定义域与对应法则。
与表示同一函数；与表示同一函数；与表示不同的函数；与表示不同函数。
（3）单值函数与多值函数对于函数，如果对自变量的一个取值，函数只有一个数值与之对应，则称函数是单值函数；如果对自变量的一个取值，函数有两个或更多个数值与之对应，则称函数是多值函数；如：是单值函数，是多值函数。
（4）定义域实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由函数表达式来确定。
初等函数的性质与像变化规律总结
初等函数的性质与像变化规律总结初等函数是数学中常见且重要的函数形式，它们具备一些特殊的性质和变化规律。
本文将对初等函数的性质与像变化规律进行总结，以帮助读者更好地理解和应用初等函数。
一、初等函数的特性1. 定义域与值域：初等函数的定义域通常由其函数定义决定，而初等函数的值域则受到定义域和函数形式的限制。
例如，多项式函数的定义域为全体实数，而三角函数的定义域为实数集合，其值域则分别由多项式函数和三角函数的特性决定。
2. 奇偶性：初等函数的奇偶性可以方便地通过函数的解析式来判断。
例如，偶函数满足$f(x)=f(-x)$，而奇函数满足$f(x)=-f(-x)$。
常见的偶函数有多项式函数中的偶次幂项，如$x^2$；而常见的奇函数则包括多项式函数中的奇次幂项，如$x^3$。
3. 连续性与可导性：初等函数通常在其定义域内是连续的，并且多数初等函数还是可导的。
例如，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等在其定义域内都是连续且可导的。
二、初等函数的像变化规律1. 多项式函数：多项式函数在整个实数集上都有定义，其像的变化规律受到最高次项的正负性质和次数的影响。
当最高次项为奇数时，多项式函数的图像会以不同幅度的上升或下降趋势逼近正负无穷；而当最高次项为偶数时，多项式函数的图像则会在两个方向上逼近无穷。
2. 指数函数与对数函数：指数函数和对数函数在实数集上的定义域和值域存在一定的差异。
指数函数的图像呈现出上升或下降的指数增长趋势，而对数函数则呈现出上升或下降的指数衰减趋势。
两者在函数间存在着互为逆函数的关系。
3. 三角函数：三角函数是初等函数中的重要一类，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的周期性和振荡特性使得其图像具有规律性的波动。
通过改变函数的振幅、周期、相位等参数，可以得到不同形态的三角函数图像。
4. 反比例函数：反比例函数的特殊性在于其定义域不包括使分母为零的值。
反比例函数的图像呈现出一种“开口”朝上或朝下的形态，其变化规律与分子与分母的幂数及系数密切相关。
高中数学竞赛辅导第四讲常见的初等函数、二次函数
高中数学竞赛辅导第四讲 常见的初等函数、二次函数知识、方法、技能常函数y=c ，幂函数y=x α(α∈Q),指数函数y=a x ,对数函数y=log a x,三角函数（y=sinx, y=cosx , y=tanx 等），反三角函数（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx 等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.绘制幂函数y=x α(α=,nmm 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是： (1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I-1-4-1.(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况①m,n 均为奇数时，y=x α为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称. ②m 为偶数，n 为奇数时Y=x α为偶函数，图象在一、二象限内关于y 轴对称. ③m 为奇数，n 为偶数时，y=x α既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+xk的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+xk的性质求出一些分式函数的值域.赛题精讲例1 3个幂函数y=4321,x y x =和y=65x 的图象如图I —1—4—2：试写出各个函数的图象的对应编号. 【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试一试.【略解】当x=2时，3个函数值分别为6543212,2,2.因为 y=t2为增函数，而图中所以.222,654321654321<<<<,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对应点纵坐标最小，所以y=654321,x y x y x ==和对应的图象依次为③，②，①.【评述】一般地，当α越大大时，幂函数图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5353)3()2(----与；（2）;)()14.3(3232π--与 （3）5432)()(ππ--与（4）log 23与log 23.1.【思路分析】（1）中两数有相同的指数－53，故可将这两者看做同一函数53-=x y 的两个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.【略解】（1）因为53-=xy 是（－∞，0）上的减函数，又,32->-所以5353)3()2(---<-.（2）因为;)()14.3(,14.3)0,(323232ππ-<-->--∞=所以上的减函数又是x y（3）因为y=54323232)(,5432,)(,),(πππππ<-<=-+∞-∞所以又上的增函数是x（4）因为y=log 2x 是（0，+∞）上的增函数，又3<3.1，所以log 23<log 23.1. 例3 求下列函数的定义域：（1）);1,0(log log log ≠>=a a x y a a a （2）.1223log )31(91.03+-+-=x x y x【略解】（1）据题意有log a log a x>0.①a>1时，上式等价于log a x>1,即x>a.②0<a<1时，上式等价于0<log a x<1,即1>x>a . 所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当0<a<1时，函数定义域为（a,1）.（2）据题意有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+->+-≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≥--.011223,01223,)31()31(.1122309)31(.01223log ,0)31(932311.03x x x x x x x x x x x 即即解得].3,32(.321.332,213232所以函数定义域为即或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<>-≥x x x x x【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数a 与1的大小，从而确定去掉指数、对数符号后不等号是否改向.例4 解方程：（1）;34)223()223(=++-x x （2）)0.(1446>=x x x【略解】（1）因为,1)223)(223(=+-所以原方程等价于.34)223(1)223(=-+-xx126666612)(144144)(144)2(.2.21217.341,)223(6666====±=±==+=-x x x x x x x x x x t t t t 即则令令y=x 6,显然y>1,则f(x)=y y 是y 的增函数.所以y y =1212只有惟一解y=12. 即原方程有解.126=x例5 比较下列各组数的大小 ： （1）sin48°, cos313°；（2）cos96°, sin96°, tan69°.【思路分析】 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313°=cos(360°－47°)=cos47°=sin43°<sin48° 所以cos313°<sin48°（2）因为钝角的余弦小于0，正弦大于0，所以cos96°<0, 0<sin96°<1. 又tan69°>tan45°=1所以cos96°<sin96°<tan69°.例6 已知x ∈[0，π]，比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.【略解】)sin 2sin()cos(sin x x -=π).cos(sin )sin(cos )sin 2sin()sin(cos .sin 2cos ,]2,2[sin ,22cos sin .1cos 1,2sin 212,],0[x x x x x x t y x x x x x <-<-<-=<≤+<≤-≤-≤-∈即所以所以上的增函数是且又因为时当πππππππππ例7 已知40,10πα<<<<b ，比较下列三数的大小：..)(cos )(sin ..cos sin .),0()(,0cos log .)(sin )(sin 0cos log sin log ,10.1cos 22sin 040][.)(sin ,cos log )(cos ,)(sin cos log cos log cos log cos log sin log cos log log sin y z x y z t t f z x b z y x b b b b b b bb b b b <<∴<<∴<+∞=∴>∴><∴>>∴<<<<<<∴<<===即又上的增函数是即又解αααααααααααααααααπαααααα例8 求下列函数的最小正周期：（1）y=tanx －cotx; （2）y=sin(cosx); （3）y=cos(sinx).【略解】（1）因为.222sin 212cos cos sin cos sin cot tan 22x ctg x xxx x x x x -=-=-=- 所以函数y=tanx －cotx 的最小正周期T=2π. （2）因为sin(cos(x+2π))=sin(cosx)，所以2π是函数y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为T ，若0<T<2π,则sin[cos(x+T)=sin(cosx)特别地，令x=0, sin(cosT)=sinl.而另一方面，0<T<2π,－1≤cosT<1,由正弦函数的单调性和sin(cosT)<sinl ，与sin(cosT)=sinl 矛盾，所以假设不成立.综上，函数y=sin(cosx) 的最小正周期为2π.（3）因为cos(sin(π+x))=cos(－sinx)=cos(sinx),所以π是函数y=cos(sinx)的周期，仿（2）可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为π.【评述】（1）求函数最小正周期时，应尽量将函数化简.（2）对于由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数f(g(x)),如果g(x)是周期函数，且其最小正周期为T 1，那么，f(g(x))也是周期函数，且T 1仍是f(g(x))的一个周期，但未必是它的最小正周期.例9 判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期.（1）y=2sin25x+3cos6x ； （2）y=sin πx+cos2x . 【略解】（1）y=2sin 25x 和y=3cos6x 的最小正周期分别是πππ54,354因此和 ，3π的最小公倍数4π是y=2sin25x+3cos6x 的周期.可以证明4π也是它的最小正周期.（2）y=sin πx 和cox2x 的周期分别为2和π，因为π2不是有理数，所以2和π没有最小公倍数（此处倍数应为整数倍），可以证明y=sin πx+cos2x 不是周期函数.【证明】假设T 是函数y=sin πx+cos2x 的周期.则 sin π(x+T)+cos2(x+T)=sin πx+cos2x. sin π(x+T)－sin πx=cos2x －cos2(x+T),2sin2πTcos(πx+2πT)=2sinTsin(2x+T), (*) 令x=0, 得2cos 2πTsin 2πT=2sin 2T.即sin 2πTcos 2πT=sin 2T ①而令x=－2, 化简得 sin 2πTcos 2πT=sinTsin(T+4).②令x=－2, 得sin 2πTcos 2πT=sinTsin(T －4) ③由②－③得 sinTsin(T+4)－sinTsin(T －4)=0,即2sinTcosTsin4=0, sin2T=0, T=Z k k ∈,2π④ 但显然④不适合①，矛盾，所以假设不成立.函数y=sin πx+cos2x 不是周期函数.【评述】一般地，周期函数f(x)和g(x)的最小正周期分别为T 1和T 2，若T 1/T 2∉θ，则函数f(x)+g(x)不是周期函数，若T 1/T 2∈θ，则f(x)+g(x)是周期函数.针对性训练题1．已知∈++=b a x b x a x f ,(,4sin )(3R ）且f(lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是 . 2．设a 、b 满足2a 2+6b 2=3，证明函数f(x)=ax+b 在[－1，1]上的满足|f(x)|≤2. 3．已知方程x 2+2mx+2m 2－3=0,有一根比2大，另一根比2小，求m 的取值范围. 4．关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明： （1）如果|α|<2, |β|<2，那么2|a|<4+b,且|b|<4. （2）如果2|α|<4+b, 且|b|<4，那么|α|<2, |β|<2. 5．若a<0，求证：方程01112=++++ax a x x （1）有两个异号实根； （2）正根必小于－32a ，负根必大于－32a 2.6．已知f(x)=|1－2x|, x ∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 7．已知集合A={(x, y)||x|+|y|=a,a>0}, B={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}, A ∩B 是平面上正八边形的 顶点构成的集合，则a 的值为 . 8．函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值为 .9．函数),0[11)(2+∞+-+=是x ax x f 上的单调函数，求a 的取值范围. 10．关于x 的方程(a 2－1)x 2－2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，求a.。
基本初等函数及其性质(高中数学)
01 函数及其表示函数的概念【知识简介】函数与映射的概念【典例】1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)D.(3，＋∞)【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.【答案】C3．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝( ) A ．4 B.14C.－4D.－14【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B. 【答案】B 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 【解析】[∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 【答案】-2 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． 【解析】由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确． 【答案】① 求函数的定义域 【知识简介】求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解，高考中常以选择题形式出现，难度较低． 【典例】 1(1)(2014·山东，3)f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2013·大纲全国，4)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，1【答案】 (1)C (2)B 【名师点睛】(1)求定义域时对于解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 1.(2012·江西，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，与函数y ＝sin xx 的定义域相同，故选D.2．若典型例题1(2)改为函数f (x 2－1)的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－12，32,求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．求函数的解析式 【知识简介】高考中直接考查求函数解析式的题目很少，主要考查应用问题，备考时熟练掌握换元法、待定系数法求解析式，高考中常以选择题或填空题形式出现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9(2)(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(3)(2013·安徽，14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】 (1)由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，∴f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9，故选C.(3)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．【答案】 (1)C (2)D (3)－12x (x ＋1),【名师点睛】题(2)中判断对应关系“f ”是否是函数关键在于对于∀x ∈R 在f 的作用下是否有唯一的y 与之对应．求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )． 分段函数分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，试题常以选择题、填空题形式出现，考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题．解题过程中常渗透分类讨论的数学思想．【典例】3(1)(2015·课标Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ）， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2014·浙江，15)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)C (2)(－∞，2] 【名师点睛】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．(2015·山东临沂调研，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9 C ∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2.故选C.,分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．【针对训练】1．(2016·湖南三校联考，3)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg(x －1)的定义域是( ) A ．[－1，4] B ．(－1，4] C ．[1，4] D ．(1，4] 1．D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4. 2．(2016·福建厦门一模，4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．(2016·湖南衡阳联考，3)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋13．C f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.4．(2015·河北唐山统考，5)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )4．C 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 5．(2016·广东广州一模，8)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2 5．B 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.6．(2016·陕西西安一中一模，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，－2)D ．(－2，1)7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围( )A ．[－1，1]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[－2，2]7．D 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋（－a ）2＋2（－a ）≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0， 解得a ∈[－2，2]，故选D.8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A ，且 f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，38思路点拨：解答本题关键是要分清x 0∈A 时，f (x 0)的取值范围，以决定如何求f (f (x 0))的值． 9．(2016·浙江慈溪、余姚联考，10)若函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.9． 【解析】 用1x 替换2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，两个方程联立消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝2x －1x. 【答案】 2x －1x10．(2016·湖北武昌调考，14)新定义函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)sgn x >2的解集是________． 10． 【解析】 ①当x >0时， sgn x ＝1，不等式的解集为{x |x >1}； ②当x ＝0时，sgn x ＝0，不等式无解；③当x <0时，sgn x ＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}， 所以不等式(x ＋1)sgn x >2的解集为{x |x <－3或x >1}． 【答案】 {x |x <－3或x >1}【点击高考】1．(2014·江西，2，易)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)1．C 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.2．(2014·江西，3，易)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 2．A 由已知条件可知 f (g (1))＝f (a －1)＝5|a -1|＝1， ∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.3．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x4．(2015·山东，10，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x <1，2x ， x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)4．C 令f (a )＝t ，则由f (f (a ))＝2f (a )得f (t )＝2t .由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1可知t ≥1.∴f (a )≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a ≥1⇒23≤a <1或a ≥1⇒a ≥23.故选C. 5．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]6．(2015·湖北，10，难)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．B 由题可知： 当n ＝1时，1≤t <2.当n ＝2时，2≤t 2<3，即2≤t <3满足条件．当n ＝3时，3≤t 3<4，即33≤t <34满足条件． 当n ＝4时，4≤t 4<5，即44≤t <45满足条件． 当n ＝5时，5≤t 5<6，即55≤t <56， 而33>56.所以正整数n 的最大值为4.7．(2015·浙江，10，易)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3， x ≥1，lg （x 2＋1）， x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(2015·山东，14，中)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．8．【解析】 当0<a <1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32. 【答案】 －3202 函数的单调性求函数的单调区间 【知识简介】对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大． 【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2014·天津，4)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y ＝x 2－4的单调减区间，结合函数的定义域x 2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】 (1)A (2)D(2015·河南洛阳二模，6)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] B 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]，故选B.,判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况内函数t ＝φ(x ) 增 增 减 减 外函数y ＝f (t ) 增 减 增 减 y ＝f (φ(x ))增减减增y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 函数的值域 【知识简介】确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质，如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝x ＋ax (a ≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题．【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8(2)(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)①当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.②当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上可得a ＝－4或a ＝8.【答案】 (1)D (2)(1，2](2015·福建福州一模，6)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1常见求函数值域的方法(1)配方法：对形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求 解．(2)单调性法(图象法)：若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (b )；若f (x )在[a ，b ] 上单调递减，则f (x )min ＝f (b )，f (x )max ＝f (a )．(3)对于形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数，利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值．(4)导数法． 单调性的应用 【知识简介】函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a(2)(2013·安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1.图象如图，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x<3.【答案】(1)C(2)C(3)(－1，3),比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f ′(x )＝0在A 的任意子区间不恒成立，若求得a ≥2，则需检验a ＝2时是否符合题意．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，2)下列函数中是偶函数并且在(0，＋∞)内单调递增的是( ) A ．y ＝－(x －1)2 B ．y ＝cos x ＋1 C ．y ＝lg|x |＋2 D ．y ＝2x2．(2015·河北保定三模，6)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 2．C 要使函数f (x )的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.3．(2015·湖南株洲一模，7)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．123．C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．(2016·黑龙江哈尔滨联考，8)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关 系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c4．D 由函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c ，故选D.5．(2016·江西八校联考，10)定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，且函数y＝f (x －1)的图象关于点(1，0)中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t －2ss ＋t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12①不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≤t ，s ＋t ≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t＝－12.②∵t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≥t ，s ＋t ≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，6．(2016·吉林长春质检，15)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．6．【解析】 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)【点击高考】1．(2014·北京，2，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)1．A 对于A ，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B ，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C ，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故不符合；对于D ，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．2．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x2．D ∵f (x ＋y )＝f (x )f (y )， ∴f (x )为指数函数模型，排除A ，B.又∵f (x )为单调递增函数，∴排除C ，故选D.3．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．D (逐项验证法)对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x 在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，故选D.5．(2015·北京，14，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 5．【解析】 (1)若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，－1<2x －1<1.当x ≥1时，4(x －1)(x －2)＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.6．(2012·上海，7，中)已知函数f (x )＝e |x-－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数， 则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.方法二：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），当x ≥a 时，f (x )＝e x －a ，f ′(x )＝e x －a .由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0在[1，＋∞)上是恒成立的， ∴a ≤x min ，∴a ≤1.当x ＜a 时，f ′(x )＝－e x －a ＜0恒成立，不符合题意． 综上所述，a ≤1. 【答案】 (－∞，1]7．(2016·浙江，16，15分，中)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．7．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．03 函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的判断及应用【知识简介】函数的奇偶性常与函数单调性相结合，解决求值、求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于中低档题．【典例】1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1(2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(3)(2015·课标Ⅰ，13)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝______．【答案】(1)A(2)C(3)1(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3),判断函数奇偶性的方法 (1)定义法首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图象法观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．应用奇偶性可解决的问题及方法(1)求函数值：利用奇偶性转化到已知区间上求解．(2)求解析式：步骤：①求谁设谁；②转化到已知解析式的区间；③利用已知区间解析式求出f (－x )；④利用奇偶性求出f (x )．(3)求解析式中参数的值：利用待定系数法求解，由f (x )±f (－x )＝0得出关于参数的恒等式，进而求解． 函数的周期性 【知识简介】函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合，考查函数求值等问题，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现．【典例】 2(1)(2012·山东，8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012(2)(2014·四川，12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【解析】 (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)由已知易得f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2， 可得f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝1. 【答案】 (1)B (2)1,函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 函数性质的综合应用 【知识简介】函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常将它们综合在一起命题，奇偶性多与单调性结合，周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现． 【典例】 3(1)(2014·大纲全国，12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8) ＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1(2)(2012·课标全国，16)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(2)显然其定义域为全体实数，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 【答案】 (1)D (2)2,函数性质综合应用的注意点函数的周期性常通过奇偶性得到，奇偶性体现的是一种对称关系．而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．【针对训练】1．(2016·山东潍坊联考，4)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是( ) A ．函数f (x 2)＋x 2是奇函数 B ．函数[f (x )]2＋|x |不是偶函数 C ．函数x 2f (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋x 3不是奇函数2．(2016·甘肃兰州一模，12)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2]2．C 因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．(2016·广东东莞一模，6)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (21.8)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c3．B ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，∵21.8＞2＞log 23＝log 49>log 47， ∴log 47<log 49<21.8，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 则f (log 47)>f (log 49)>f (21.8)， 即c <b <a .4．(2015·湖北名校联考，7)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)∴在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧log a （2＋2）<3，log a（6＋2）>3， 解得34＜a ＜2，故选D.5．(2016·河北石家庄模拟，15)若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2，2]，有f (mx －3)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．【答案】 (－3，1)6．(2016·山东济南二模，13)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2 015)＝________.6．【解析】 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )， ∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2 015)＝f (7＋251×8)＝f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝f (1)＝2. 【答案】 27．(2016·山西太原三模，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________. 7．【解析】 ∵奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝－f (－x )， ∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数， ∵S n ＝2a n ＋n ，① ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②②－①可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴数列{a n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，即a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n ＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3. 【答案】 38．(2016·河南郑州质检，15)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin πx ＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1)＝________. 【答案】 82【点击高考】1．(2016·山东，9，中)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．21．D 由题意得，当x ＞12时，f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )，所以当x ＞12时，f (x )的周期为1，所以f (6)＝f (1)．又f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2，故选D.2．(2016·课标Ⅱ，12，难)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m3．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x3．D A 中函数y ＝1＋x 2为偶函数；B 中f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，故为奇函数；C 中f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x＋2x ＝f (x )，故为偶函数；D 中f (－x )＝－x ＋e －x ，为非奇非偶函数，故选D.4．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．C 若f (x )为奇函数，则|f (x )|为偶函数；若g (x )为偶函数，则|g (x )|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C 正确．5．(2013·山东，3，易)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．25．A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.6．(2012·福建，7，中)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数7．(2016·天津，13，中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．7．【解析】由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)>f(2)，∴2|a－1|<2，即|a－1|<1 2，∴12<a<32.【答案】12<a<328．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．04 二次函数与幂函数二次函数 【知识简介】在高考中，二次函数图象常与其他函数结合考查，多以选择题形式出现，难度偏大，属于中高档题． 二次函数性质中单调性及最值在高考中出现频率较高，在解答题中常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、零点与不等式问题，难度较大．【典例】 1(1)(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812(2)(2013·辽宁，12)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16③当m －2<0，即0≤m <2时，f (x )开口向下，对称轴x ＝－n －8m －2＝8－n m －2≤12，整理得m ＋2n ≤18.∴mn ＝12×2mn ≤12×⎝⎛⎭⎫m ＋2n 22≤812，当且仅当m ＝2n ，m ＋2n ＝18，即n ＝92，m ＝9时，等号成立，而m ＝9与0≤m <2矛盾；故不合题意．综上可知，mn 的最大值为18，故选B.(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a ＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.【答案】(1)B(2)C,【名师点睛】(1)首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．注意需对二次项系数进行分类讨论．(2)比较两个函数的大小可以转化成两图象的上下位置关系，故可用图象法求解，在画图时要抓好轴与顶点．二次函数图象的主要考查方向(1)二次函数的图象的识别问题，主要有以下三个要点：一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)与其他图象的公共点问题，解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数图象，要注意其相对位置关系．二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算． 幂函数 【知识简介】高考中考查幂函数的概念、图象及性质，利用幂函数性质求参数，很少单独考查，一般结合指数函数、对数函数考查基本初等函数的图象与性质，以选择题、填空题的形式呈现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是 ( )(2)(2014·上海，9)若f (x )＝x 23－x －12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)令y 1＝x 23，y 2＝x －12，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23，y 2＝x －12的图象如图所示，由图象知当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1)． 【答案】 (1)D (2)(0，1)(2016·山东实验中学三模，5)幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，4)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 1．A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数为f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2．(2016·浙江宁波二模，6)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )2．A [考向1，2]由f (x )的图象知，0<a <1，b <－1.由0<a <1可排除C ，D ，又由g (0)＝1＋b <0可排除B.故。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
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【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
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汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结1.常数函数：常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。
表示为f(x)=c，其中c是常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。
常数函数的性质是恒等性，即f(x)=f(x')，对于任意x和x'都成立。
2.平方函数：平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。
表示为f(x)=x²。
平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。
平方函数的性质是奇偶性，即f(-x)=f(x)，对于任意实数x都成立。
3.立方函数：立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。
表示为f(x)=x³。
立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。
立方函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。
4.绝对值函数：绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的函数。
表示为f(x)=，x。
绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称于y轴的V字形曲线。
绝对值函数的性质是非负性，即对于任意实数x，有f(x)≥0成立。
5.指数函数：指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。
表示为f(x)=aˣ，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。
指数函数的性质是增长性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。
6. 对数函数：对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。
表示为f(x)=logₐ(x)，其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是一条通过点(1, 0)且与x轴和y轴都无交点的曲线。
对数函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。
7. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数表示为f(x)=sin(x)，余弦函数表示为f(x)=cos(x)，正切函数表示为f(x)=tan(x)。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试)与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1。
平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题.几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴.面积方法,复数方法，向量方法,解析几何方法。
2。
代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式,切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等，整系数多项式的有理根＊，多项式的插值公式＊。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程＊3。
初等数论同余，欧几里得除法,裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数［x］，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理＊.4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
高中数学竞赛数论部分
初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1． 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。
(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3） 证明：3231122nn n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。
（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。
（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。
2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。
（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。
如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102xabx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。
1.2集.合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理1.5极端原理1.6抽屉原理2. 函数（function）2.1函数的基本概念2.1.1映射2.1.1.1单射2.1.1.2满射2.1.1.3一一映射（双射）2.1.2函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1对称性2.2.2单调性2.2.3奇偶性2.2.4周期性2.2.5凹凸性2.2.6连续性2.2.7可导性2.2.8有界性2.2.9收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4. 向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5. 数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法5.1.4迭代法5.1.5数学归纳法5.1.6代换法5.1.7待定系数法5.1.8阶差法5.2数列求和5.2.1裂项相消法5.2.2错位相减法5.2.3倒序相加法5.2.4分组分解法5.2.5归纳猜想法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法(放缩法)6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analyticgeometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solidgeometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角*8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望与方差9.7概率分布9.7.1二项分布9.7.2几何分布9.7.3正态分布10.极限，导数（limits,derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complexnumbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（planegeometry）12.1几个重要的平面几何定理/引理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.1.9沢山引理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6完全四边形12.7几何变换12.7.1平移变换12.7.2旋转变换12.7.3位似变换12.7.4对称变换（反射变换）12.7.5反演变换12.7.6配极变换12.8几何不等式12.9平面几何常用方法12.9.1纯几何方法12.9.2三角法12.9.3解析法12.9.4复数法12.9.5向量法12.9.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematicalinduction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理15. 初等数论（elementarynumber theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题17.6其~他~ 16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数。
五类基本初等函数知识点总结
五类基本初等函数知识点总结初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。
高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
1.幂函数一般地，形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。
一般形式如下：（α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。
）2.指数函数指数函数是数学中重要的函数。
应用到值e上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。
一般形式如下：（a>0, a≠1）3.对数函数一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a 的规定，同样适用于对数函数。
一般形式如下：（a>0, a≠1，x>0,特别当α=e时，记为y=ln x）4.三角函数以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
高中数学竞赛基础辅导 函数的性质及其应用
高中数学竞赛基础辅导函数的性质及其应用南京大学 李潜南京外国语学校 黄志军【知识精要】函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性及对称性。
函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考及竞赛考查的重中之重。
因此不仅要熟练掌握这些性质，还要能够灵活运用这些性质解题。
函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.美国数学家克莱茵第 一 节1．设f (x )是(-∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=-f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5)等于（）A ．0.5B ．-0.5C ．1.5D ．-1.52．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=______.3．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<4．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =−则()()5ff =__________。
5.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 6．若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)−∞上是减函数，且31(f =2，则不等式2)(log 81>x f 的解集为______. 7．定义在区间()+∞∞−,的奇函数()x f 为增函数，偶函数()x g 在区间[)+∞,0的图象与()x f 的图象重合，设0>>b a ，给出下列不等式，其中成立的是（ C ）①()()()()b g a g a f b f −−>−− ②()()()()b g a g a f b f −−<−−③()()()()a g b g b f a f −−>−− ④()()()()a g b g b f a f −−<−− A.①与 ④ B.②与 ③ C.①与 ③ D.②与④8．已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x −−⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是 （A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[53，3) (D)(1,3)例1.函数2log 1y ax =−（a ≠0 ）图象的对称轴方程为x =2 ，求a 的值．例2.已知函数f (x )=log a (ax 2－x ),是否存在实数a ,使它在区间［2,4］上是增函数? 如果存在，说明a 可取哪些值;如果不存在,说明理由. 例3.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+−+=+是奇函数。
高中数学竞赛校本教材——§4函数的基本性质
高中数学竞赛校本教材§4函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I．函数的定义设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A →B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然C B.II．函数的性质（1）奇偶性设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.（2）函数的增减性设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.III．函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.例题讲解1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( )A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2．设f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋3)＝－f (x )，当0≤x ≤23时，f (x )＝x ，则f (2003)＝( ) A.－1B.0C.1D.20033．定义在实数集上的函数f (x )，对一切实数x 都有f (x ＋1)＝f (2－x )成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150B.2303C.152D.23054．实数x ，y 满足x 2＝2xsin (xy )－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5．已知x ＝9919 是方程x 4＋b x 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.6．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，f (x )＝0有实数根，且f (x )＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (－1≤x ≤1)，若|f (x )|的最大值为M ，求证：M≥21.8．⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1x 4x 2-=++++++9．设f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f (0)]的值.10．设f (x )＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f (x )|≥21课后练习1. 已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3B.－3C.5D.－52. 已知(3x ＋y)2001＋x 2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.3. 解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝04. 若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.5. 函数y ＝8x 4x 5x 4x 22+-+++的最小值是______________.6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.7. f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时.求证：存在实数x ，y ，使得8. 设a ，b ，c ∈R ，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax ＋b|≤4.9．已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2. ⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|；⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.课后练习答案1.解：∵f⑴＝a＋bsin51＋1＝5设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k∴f(－1)＝k＝2－5＝－3选B2.解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，所以3x＋y＝－x4x＋y＝0x2 ＋x)＋x3.解：构造函数f(x)＝ln(1则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)由函数的单调性，得x＝－2x所以原方程的解为x＝04.解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数所以函数y＝g(x)的图象应该与x轴相交即△≥0 ∴a2＋4a≥0a≤－4或a≥0解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0△＝a 2＋4a ＋4·3y ≥0对一切y ∈R 恒成立则必须a 2＋4a≥0成立∴ a≤－4或a≥05.提示：利用两点间距离公式处理y ＝2222)20()2x ()10()2x (-+-++++表示动点P(x ，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和 当且仅当P 、A 、B 三点共线时取的最小值，为|AB|＝56.解法一：设F(x)＝f(x)－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋c ，＝a(x －x 1)(x －x 2)∴ f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＋x作差：f(t)－x 1＝a(t －x 1)(t －x 2)＋t －x 1＝(t －x 1)[a(t －x 2)＋1]＝a(t －x 1)(t －x 2＋a 1) 又t －x 2＋a1＜t －(x 2－x 1)－x 1＝t －x 1＜0 ∴ f(t)－x 1＞0∴ f(t)＞x 1解法二：同解法一得f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＋x令g(x)＝a(x －x 2)∵ a ＞0，g(x)是增函数，且t ＜x 1⇒ g(t)＜g(x 1)＝a(x 1－x 2)＜－1另一方面：f(t)＝g(t)(t －x 1)＋t∴ 1x t t )t (f --＝a(t －x 2)＝g(t)＜－1∴ f(t)－t ＞x 1－t∴ f(t)＞x 17.|xy －f(x)－g(y)|≥41 证明：(正面下手不容易，可用反证法)若对任意的实数x ，y ，都有|xy －f(x)－g(y)|＜41 记|S(x ，y)|＝|xy －f(x)－g(y)|则|S(0，0)|＜41，|S(0，1)|＜41，|S(1，0)|＜41，|S(1，1)|＜41 而S(0，0)＝－f(0)－g(0)S(0，1)＝－f(0)－g(1)S(1，0)＝－f(1)－g(0)S(1，1)＝1－f(1)－g(1)∴ |S(0，0)|＋|S(0，1)|＋|S(1，0)|＋|S(1，1)|≥|S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)|＝1矛盾！故原命题得证！8.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题)f ⑴＝a ＋b ＋cf(－1)＝a －b ＋cf(0)＝c∴ a ＝21[f ⑴＋f(－1)－2f(0)] b ＝21[f ⑴－f(－1)]c ＝f(0)|2ax ＋b|＝|[f ⑴＋f(－1)－2f(0)]x ＋21[f ⑴－f(－1)]| ＝|(x ＋21)f ⑴＋(x －21)f(－1)－2xf(0)| ≤|x＋21||f ⑴|＋|x －21||f(－1)|＋2|x||f(0)| ≤|x＋21|＋|x －21|＋2|x| 接下来按x 分别在区间[－1，－21]，(－21，0)，[0，21)，[21，1]讨论即可 9. 证明：⑴|f(x 1)－f(x 2)|＝|x 13－x 1＋x 23－x 2|＝|x 1－x 2||x 12＋x 1x 2＋x 22－1|需证明|x 12＋x 1x 2＋x 22－1|＜2 ………………① x 12＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋4x 32x 22222 )≥0 ∴ －1＜x 12＋x 1x 2＋x 22－1＜1＋1＋1－1＝2 ∴ ①式成立于是原不等式成立⑵不妨设x 2＞x 1由⑴ |f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|①若 x 2－x 1∈(0，21] 则立即有|f(x 1)－f(x 2)|＜1成立.②若1＞x 2－x 1＞21，则－1＜－(x 2－x 1)＜－21 ∴ 0＜1－(x 2－x 1)＜21 (右边变为正数) 下面我们证明|f(x 1)－f(x 2)|＜2(1－x 2＋x 1) 注意到：f(0)＝f ⑴＝f(－1)＝c|f(x 1)－f(x 2)|＝|f(x 1)－f ⑴＋f(0)－f(x 2)|≤|f(x 1)－f ⑴|＋|f(0)－f(x 2)| ＜2(1－x 2)＋2(x 2－0) (由⑴) ＝2(1－x 2＋x 1)＜1综合⑴⑵，原命题得证.10. 已知f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1) ⑴若|a|≤1，求证：|f(x)|≤45 ⑵若f(x)max ＝817，求a 的值. 解：分析：首先设法去掉字母a ，于是将a 集中 ⑴若a ＝0，则f(x)＝x ，当x ∈[－1，1]时，|f(x)|≤1＜45成立 若a≠0，f(x)＝a(x 2－1)＋x∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a||x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x| (∵ |a|≤1) ≤1－|x 2|＋|x|＝45－(|x|－21)2 ≤45 ⑵a ＝0时，f(x)＝x≤1≠817 ∴ a≠0∵ f(x)max ＝max{f ⑴，f(－1)，f(－a21)} 又f(±1)＝±1≠817∴ f(x)max ＝f(－a 21)＝817 a(－a 21)2＋(－a 21)－a ＝817 a ＝－2或a ＝－81 但此时要求顶点在区间[－1，1]内，应舍去－81 答案为－2例题答案：1．提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C2．解：f (x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x )∴ f (x )的周期为6f (2003)＝f (6×335－1)＝f (－1)＝－f ⑴＝－1选A3．提示：由已知，函数f (x )的图象有对称轴x ＝23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝23对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于23×100＝150 所有101个根的和为23×101＝2303.选B 4．解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(x －sin (xy ))2＋cos 2(xy )＝0∴x＝sin(xy) 且cos(xy)＝0∴x＝sin(xy)＝±1∴siny＝1 xsin(xy)＝1原式＝75．解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x－9919∴x2－219x＋19＝99即x2－80＝219x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝61646．证法一：由已知条件可得△＝b2－4ac≥0 ①f⑴＝a＋b＋c＞1 ②f(0)＝c＞1 ③b＜1 ④0＜－a2b2≥4acb＞1－a－cc＞1b＜0(∵a＞0)于是－b≥2ac所以a ＋c －1＞－b≥2ac∴ (c a -)2＞1∴ c a -＞1 于是c a >＋1＞2∴ a ＞4证法二：设f(x)的两个根为x 1，x 2，则f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)f ⑴＝a(1－x 1)(1－x 2)＞1f(0)＝ax 1x 2＞1由基本不等式x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)≤[41(x 1＋(1－x 1)＋x 2＋(1－x 2))]4＝(41)2 ∴ 16a 2≥a 2x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)＞1 ∴ a 2＞16∴ a ＞47．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a |≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|}而f ⑴＝1＋a ＋bf(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2∴ M≥2＞21⑵|－2a |＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|} ≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)] ＝)2a 2(412+ ≥21 综上所述，原命题正确.8．⑴解：原方程化为(x ＋8)2001＋(x ＋8)＋x 2001＋x ＝0 即(x ＋8)2001＋(x ＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x 2001＋x原方程等价于f(x ＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R 上的单调递增函数于是有x ＋8＝－xx ＝－4为原方程的解⑵两边取以2为底的对数得x)1x x (log )x (f )1x ()1)1x (1x (log x 2)1x 4x 2(log 1x 2x )1)1x (1x (log )1x 4x 2(log )1x (1)1x (1x 1x 4x 2log 2222222222222222222222+++=++++++=++++-=++++-++-=++++++构造函数即即 于是f(2x)＝f(x 2＋1)易证：f(x)世纪函数，且是R 上的增函数，所以：2x ＝x 2＋1解得：x ＝19．解：由已知，方程f(x)＝x 已知有三个解，设第四个解为m ， 记 F(x)＝f(x)－x ＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －m)∴ f(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －m)＋xf ⑷＝6(4－m)＋4f(0)＝6m∴ 41[f ⑷＋f(0)]＝7 10．证明：配方得：f(x)＝x 2(x －2)2＋25(x －1)2－21 ＝x 2(x －2)2＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x 2－2x)2＋25(x －1)2－1＋21 ＝[(x －1)2－1]2＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x －1)4－2(x －1)2＋1＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x －1)4＋21(x －1)2＋21 ≥21。
高中数学初等函数知识点及性质大全(超详细)
f（汀）＝f(x) · f(.v),, /(1) = 1
霖函数f(x) = xk
质：
矿＝a ，8
＇
wa=/3 ，
其中a>O且a
-=1=- l,
将指数方程化为整式方程求解；
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行 检验， 因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中， 如果未知数的允许值范围扩大， 那么
口 1能产生增解； 解指数对数方程的基木思路是通过 “ 化成相伺底数 ” “ 换元 ” 等方法转化成整式方程；
一般地，指数函数y＝矿在底数n>l及O<：： a<l这两种情况下的图像如图所示：
g
y=a, 汇
(a> 1)
甘 ”
y=n3、
(0 <a< 1)
10
沈
。比
指数函数有下列性质： 性质1 指数函数y＝矿的函数值恒大于零，定义域为R，值域(0, ＋叨）· 性质 2 指数函数y＝矿的图像经过点(0,1); 性质 3 函数y= a x (a> 1)在R上递增，函数y=矿 ， (0 <a< 1)在R上递减；
y. ．
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U ＿_ 1 J � 屯
01 x
y = ' ＿上
叮意： 画豁函数图像时， 先画第 一象限的部分， 再根据奇偶性完成整个图像
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。
一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。
它的定义域是全体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。
无论自变量取何值，函数值始终为常数。
常数函数在数学中的应用较少，但在物理、经济学等学科中有时会用到。
二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。
幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。
幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。
当a为正数时，函数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为0时，函数图像是一条常数函数的直线。
三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。
五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
三角函数的图像是周期性曲线。
它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。
三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。
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高中数学竞赛讲义（四）——几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y=a x(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=a x是减函数，当a>1时，y=a x为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=log a x(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。
当0<a<1，y=log a x为减函数，当a>1时，y=log a x 为增函数。
4．对数的性质（M>0, N>0）；1）a x=M x=log a M(a>0, a1)；2）log a(M N)= log a M+ log a N；3）log a（）= log a M- log a N；4）log a M n=n log a M；，5）log a=log a M；6）a loga M=M; 7) log a b=(a,b,c>0, a, c1).5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。
（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题1．构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）.因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,a n是不全为0的实数，b1, b2,…,b n∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使a i=, i=1, 2, …, n 时成立。
【证明】令f(x)= （）x2-2()x+=,因为>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0.展开得（）()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a i=, i=1, 2, …, n。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2·=xy++2.令xy=t，则0<t=xy≤,设f(t)=t+,0<t≤因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上单调递减。
所以f(t)m in=f()=+，所以u≥++2.当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为++2.2．指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。
【解】令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9t , q=12t , p+q=16t，所以9t +12t =16t，即1+记x=，则1+x=x2，解得又>0，所以=例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若a x=b y=c z=70w，且，求证：a+b=c.【证明】由a x=b y=c z=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1, a1, c 1. 且log a x+log c x=2log b x，求证c2=(ac)logab.【证明】由题设log a x+log c x=2log b x，化为以a为底的对数，得，因为ac>0, ac1，所以log a b=log ac c2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。
值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】方程可化为=1。
设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组：（其中x, y∈R+）.【解】两边取对数，则原方程组可化为①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y>0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为.例9 已知a>0, a1，试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解.由①可得2kx=a(1+k2)，④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k.若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0<k<1.综上，当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。
三、基础训练题1．命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。
4．若log2a<0，则a取值范围是_________。
5．命题p: 函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件。
6．若0<b<1, a>0且a1，比较大小：|log a(1-b)|_________|log a(1+b).7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x=，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)=的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x ∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.2．已知不等式x2-log m x<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________.4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_________.5. 命题p: 函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.6．若0<b<1, a>0且a1，比较大小：|log a(1-b)| _________|log a(1+b)|.7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.8．若x=，则与x最接近的整数是_________.9．函数y=的单调递增区间是_________.10．函数f(x)=的值域为_________.11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。
若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.2．已知不等式x2-log m x<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是________.3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________.4．若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________.5．已知a n=log n(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p·q 的值为_________.6．已知x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.8．函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f?2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是________.（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，则f(a)+f(b)=________.11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0<a<b, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.13．设a>0且a1, f(x)=log a(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范围。