初中数学动点问题解题思路

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问题（1）问的解答
（1）解法一： ①用含30°角的直角三角形的性 质及代数思想进行解答（在 Rt△QCP中） ∵△ABC是边长为6的等边三角 形， ∴AC=BC=6，∠C=60° ； 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ 1 ∴PC= QC 2
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ 设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x 1 即6-x= （6+x）解得x=2 2
过点Q作QF⊥AB的延长 线于点F 先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+ BD+DE
=FD+DE=6 ∴DE=3为定值， 即 DE的长不变
F
(2)解法三：构造三角形与 △ADP全等
在AB的延长线上截取BF=BQ， 再连结FQ 设AP=BQ= x 先证△BQF是等边三角形 ∴BF=BQ=FQ= x ∠BFQ=60° ∵∠A=∠BFQ=60°, ∠QDF=∠PDA 再证△QDF≌△PDA
解法二：用三角形全等知识 进行解答
过P作PF∥QC 则△AFP是等边三角形 ∴ PF=AP ∵ △ABC是边长为6的等边三 角形， ∴ AC=BC=AB=6, ∠A=∠ABC=60° ； 又∵∠BQD=30°， ∴∠BQD=∠BDQ=∠FDP =∠FPD=30°∵P、Q同时 出发、速度相同， 即BQ=AP∴BQ=PF ∴△DBQ≌△DFP, ∴BD=DF ∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠ FPD=30°,
1 1 ∴BD=DF=FA= AB= 6 3 3 =2,
∴AP=2.
解法三：用相似三角形知识进 行解答
∵P、Q同时同速出发 ,∴AP=BQ 设AP=BQ= x ， 则PC=6 - x , QC=6+ x 在Rt△APE中， ∠A=60°,∠AEP= 90° 1 ∴∠APE=30°∴AE= AP=
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及 等边三角形性质进行解答（在 Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边 三角形， ∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12 ∴BQ+BC+PC=CQ+PC =12 ∴PC=4 ∴AP=AC-PC=2
2
1 x 2
∵∠CQP=30° ，∠C= 60° 0 ∴∠CPQ= 90 0 90 ∴∠CPQ=∠AEP= 又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE 利用
AE AP PC CQ
即
1 x 2 x 6 x 6 x
xFra Baidu bibliotek
问题(2) 在运动过程中线段ED的长是否发生 变化？ 如果不变，求出线段的长； 如果发生改变，请说明理由．
二、问题引入 遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长 为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重 合），Q是CB延长线上一 动点，与点P同时以相同 的速度由B向CB延长线方 向运动（Q不与B重合） ，过P作PE⊥AB于E，连 接PQ交AB于D. （1）当∠BQD=30°时， 求AP的长； （2）在运动过程中线段 ED的长是否发生变化？ 如果不变，求出线段ED的 长； 如果发生改变，请说明理 由．
动点问题解题方法探究
近几年来，运动型问题常常被列为 各省市中考的压轴题之一。这类问 题就是在三角形、矩形、梯形等一 些几何图形上设计一个或两个动点 ，并对这些点在运动变化过程中伴 随着等量关系、变量关系、图形的 特殊状态、图形间的特殊关系等进 行研究考察。问题常常集几何、代 数知识于一体、数形结合，有较强 的综合性。
等边三角形的判定方法（1）定义：三边相等的三角形 。 (2）三个角都相等的三角形是 等边三角形。 （3）有一个角等于 °的等腰三 角形是等边三角形。 等边三角形的性质：（1）三边 （ ）
(2)各角都是 （ ）° (3)每边上都满足三线合一。
3、含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边 是斜边的 （ ）。
三：中考动点问题可能出现的几何图形
1、三角形，2、矩形，3、梯形，4、平行四边 形等
F
1 则FD=AD= 2 （AB+BF） 1 1 =（6+x ）=3+ x 2 2 1 1 ∵AE= AP= x 2 2 1 1 ∴DE=AD-AE=3+ x =3 x 2 2
学以致用
如图，A、B两点的 坐标分别是（8， 0），（0、6）， 点P由点B出发沿 BA方向向点A作 匀速直线运动， 速度为每秒3个单 位长度，点Q由A 出发沿AO（O为 坐标原点）方向 向点O作匀速直线 运动，速度为每 秒2个单位长度， 连接PQ，若设运 动时间为 t（0＜t＜ ）秒． 解答如下问题： • 当t为何值时， PQ∥BO？
四：小结与反思
一：本课动点问题求解的知识基础：
1、全等三角形判定及性质； 2、相似三角形判定及性质； 3、等边三角形判定及性质； 4、含30°直角三角形的性质。
二：解决此类问题的基本思想方法：
1、以静制动：动中求静，找寻出变化过程中 始终保持不变的量，以及问题中始终保持不 变的等量关系 2、数形结合、转换思想：把几何问题转化成 代数的方程问题，从而得以解决。
动点问题解题方法探究
一、知识点梳理 1、全等三角形的判定方法
(1) 全等三角形的判定方法：简记为（ ）、（ ），（ ） 。 （直角三角形
）、（ ）
⑵ 相似三角形的判定方法：类似全等三角形简记为 （ ）、（ ）、 （ ） （直角三角形 ） 相似三角形的性质：相似三角形的对应角（ ， 对应边的比 （ ）相似比； （当相似比= 时，两个三角形全等） ）
解法一：用等边三角形性质 进行解答 解：线段DE的长不变. 由（1）的解法(二)知 BD=DF 而△APF是等边三角形， PE⊥AF, ∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB =6, 即ED+ED=6 ∴ ED=3为定值，即ED的 长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
③用含30°角的直角三角形的性质及 代数思想进行解答（在Rt△APD中）
∵ △ABC是边长为6的等边三角 形， ∴ AC=BC=AB=6, ∠A=∠ABC=60° ；
∵
∠BQD=30°,∴∠QDB=∠AD P=30° ∴ BQ=BD，△APD是含30角的 Rt△。
∵ P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ 设AP=x,则BQ=BD=x，AD=6x （在Rt△APD中利用30°角所对的 直角边是斜边的一半） ∴ 6-x=2x x=2 ∴ AP=2