指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结完整版
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结

指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结指数、对数、幂函数是高中数学中常见的函数类型,也是大学数学的基础。
本文将从定义、性质、图像、求导等方面对这三类函数进行总结。
一、指数函数1. 定义:指数函数(exponential function)是以自然常数e为底,自变量为幂的函数,形如y=ae^x。
其中,a为实数,x为自变量,e为自然常数,其值约为2.71828。
2. 性质:(1)指数函数的值域为(0, +∞),因为e的幂值为正或零。
(2)指数函数在x轴上有一个水平渐近线,当x趋近负无穷时,y趋近于0。
(3)指数函数是增函数,当a>1时,增长速度比x慢;当0<a<1时,增长速度比x快。
(4)指数函数的导数等于其本身:(e^x)’=e^x。
3. 图像:指数函数的图像呈现出增长迅速的指数曲线,当a>1时,函数图像上升缓慢,当a<1时,函数图像上升更加迅速。
其中,a为底,x为真数,y为幂次。
(2)对数函数在a>1时为增函数,在0<a<1时为减函数,在a=1时为常函数。
(3)对数函数的导数公式为ln’x=1/x,其中ln表示以自然常数e为底的对数函数。
对数函数的图像与指数函数的图像y=e^x互为反函数,其自变量和值域互换,因此对数函数表现为一个增长缓慢的曲线。
当底数a趋近于1时,函数的图像趋近于一条水平的直线。
三、幂函数(1)当a>1时,幂函数是增函数;当0<a<1时,幂函数是减函数;当a=0时,函数恒为1;当a<0时,函数在定义域内不是函数,因为幂次为偶数时函数为非负数,而幂次为奇数时函数为正负数。
(2)幂函数的导数公式为(ax^a-1)’=a^2x^a-2,其中a为常数,x为自变量。
总之,指数、对数、幂函数在数学领域中有着重要的地位。
它们不仅是高中数学的重点,也是大学数学的基础。
对于从事数理科学的人员来说,了解这些函数的性质和应用是必不可少的。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数,其定义域为R ,值域为(0,+∞).当0<a <1时,y =a x 是减函数,当a >1时,y =a x 为增函数,它的图像恒过定点(0,1).二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R ,图像过定点(1,0).它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数,所有性质均可由指数函数的性质导出.当0<a <1时,y =log a x 为减函数,当a >1时,y =log a x 为增函数.四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义);(2)log a (MN )=log M a +log a N ;(3)log a MN=log a M -log a N ;(4)log a M n =n log a M ;(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式).由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论:1)log a mb n =n m log a b ;2)log a b =1log b a.典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根,x 2是方程x +10x =10的根,求x 1+x 2的值.【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2,表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标,x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标.因为y =lg x 与y =10x 互为反函数,其图像关于y =x 对称,由y =10-x y =x 得,x =5y =5 ,所以x 1+x 22=5,所以x 1+x 2=10.【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ,由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10,x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10,则f 10x 2 =10,于是f x 1 =f 10x 2 ,又f (x )为(0,+∞)上的增函数,故x 1=10x 2,x 1+x 2=10x 2+x 2=10.【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2,两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2.若x 1+x 2-10>0,则1010-x 1-10x 2>0,得10-x 1>x 2,矛盾;若x 1+x 2-10<0,则1010-x 1-10x 2<0,得10-x 1<x 2,矛盾;而当x 1+x 2=10时,满足题意.【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法,解法2巧妙地利用了函数的单调性,解法3巧妙地利用了反证法的技巧.2已知a >0,b >0,log9a =log 12b =log 16(a +b ),求ba的值.【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ,则a =9k ,b =12k ,a +b =16k .由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2,解得:b a =1+52(负根舍去).【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ,则a =9k ,b =12k ,a +b =16k .b a =12k 9k =43 k ,而9k +12k =16k,故1+12k 9k =16k 9k ,即43 k 2-43 k -1=0,故b a =43 k =1+52(负根舍去).【评注】对数运算和指数运算互为逆运算,有关对数的运算和处理,往往可以转化为指数的运算和处理.3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x,试解不等式f x x -12 >12.【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合.初看不易解决,但可以发现该函数在其定义域内单调递减,这是本题的解题关键.【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数.并且f (1)=12,所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 .【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法.4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根,求k 的取值范围.【分析】本题要注意函数的定义域.【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根,对方程③使用求根公式,得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4.当k <0时,由方程③,得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1,x 2同为负根.又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1.当k =4时,原方程有一个解x =k2-1=1.当k >4时,由方程③,得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1,x 2同为正根,且x 1≠x 2,不合题意,舍去.综上所述可得k <0或k =4为所求.【解法2】由题意,方程kx =(x +1)2,也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根,以下分两种情况讨论:(1)当k >0时,k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根,则有k =4;(2)当k <0时,k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根,则有k <0.综上可得k <0或k =4为所求.【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题.5解不等式:log 12(x +3x )>log 64x .【分析】若考虑到去根号,可设x =y 6(y >0),原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ,即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ,陷入困境.原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ,设t =log 2x ,则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3,同样陷入困境.下面用整体代换y =log 64x .【解】设y =log 64x ,则x =64y,代人原不等式,有log 128y +4y >y ,8y +4y >12y,23 y +13 y >1,由指数函数的单调性知y =log 64x <1,则0<x <64.故原不等式的解集为(0,64).6已知1<a ≤b ≤c 证明:log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c .【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c.【证法2】设log b a =x ,log c b =y ,则log a c =1xy ,于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ,即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2,即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0,也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0,由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1,所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0,得证.因为1<a ≤b ≤c ,所以ln a ln b ln c >0,(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ,y =ln b ,z =ln c 则原不等式等价于:设0<x ≤y ≤z ,求证:x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2.7设函数f (x )=|lg (x +1)|,实数a ,b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2,f (10a +6b +21)=4lg2,求a 、b 的值.【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解.【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ,所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以,a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1,又因为a <b ,所以a +1≠b +2,所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2,于是0<a +1<1<b +2,所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1,从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2,又f (10a +6b +21)=4lg2,所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2,故6(b +2)+10b +2=16.解得b =-13或b =-1(舍去).把b =-13代故(a +1)(b +2)=1,解得a =-25.所以,a =-25,b =-13.同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根,则a +b =().A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C .【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43,即11+log 3x +1+log 3x 3=-43.令1+log 3x =t ,则1t +t 3=-43,解得t 1=-1,t 2=-3.所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3,方程的两根分别为19和181,所以a +b =1081.故选C .2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数,a >1),且f lglog 81000 =8,则f (lglg2)的值是().A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B .【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8,又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12,令F (x )=f (x )-6,则有F (-x )=-F (x ).从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8,即知F (lglg2)=-2,f (lglg2)=F (lglg2)+6=4.3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364,则使f (x )<0的x 的取值范围为().A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B .【解析】显然x >0,且x ≠1.f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x .要使f (x )<0.当x >1时,38x <1,即1<x <83;当0<x <1时,38x >1,此时无解.由此可得,使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83.应选B .4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ,则a 的取值范围是().A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D .【解析】由题目条件可知,(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ,故Δ=(-2a )2-4a ≥0,解得a ≤0或a ≥1.选D .二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ,则满足f (x )≥0的x 的取值范围是.【答案】[3,4].【解析】定义域(0,4].在定义域内f (x )单调递增,且f (3)=0.故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4].6设0<a <1,0<θ<π4,x =(sin θ)log asin θ,y =(cos θ)log atan θ,则x 与y 的大小关系为.【答案】x <y .【解析】根据条件知,0<sin θ<cos θ<1,0<sin θ<tan θ<1,因为0<a <1,所以f (x )=log a x 为减函数,所以log a sin θ>log a tan θ>0,于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ,则不等式f x x -12<15的解集为.【答案】1-174,0 ∪12,1+174.【解析】原不等式即为f x x -12<f (0).因为f (x )的定义域为(-1,1),且f (x )为减函数.所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174.8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ,则f (x )+f 1x =.【答案】3.【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3.三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x ),而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称.(1)求函数y =g (x )的解析式;(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义,求a 的取值范围.【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1),得f -1(x )=log a (x -3a ).又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称,则g (a +x )=-f -1(a -x ),于是,g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a ),(x <-a ).(2)由(1)的结论,有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a ).要使F (x )有意义,必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0,故x >3a .由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义,所以a +2>3a ,即a <1.于是,0<a <1.10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a ),其中a >0且a ≠1.若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立,求a 的取值范围.【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24.由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ,由题意知a +3>3a ,故a <32,从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0,故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增.若0<a <1,则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减,所以f (x )在区间[a +3,a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 .在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立,等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立,从而2a 2-9a +9≥a ,解得a ≥5+72或a ≤5-72.结合0<a <1,得0<a <1.若1<a <32,则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增,所以f (x )在区间[a +3,a +4],上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 .在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立,等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立,从而2a 2-12a +16≤a ,即2a 2-13a +16≤0,解得13-414≤a ≤13+414.易知13-414>32,所以不符合.综上所述,a 的取值范围为(0,1).11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3,(其中x ,y ∈R * .【解析】两边取对数,则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②,得(x +y )2lg x =36lg x ,所以(x +y )2-36 lg x =0.由lg x =0,得x =1;代入式①,得y =1.由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6.代入式①得lg x =2lg y ,即x =y 2,所以y 2+y -6=0.又y >0,所以y =2,x =4.所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ,x 2=4y 2=2 .12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x .(1)解方程f (x )=0;(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数.【解析】(1)任取0<x 1<x 2,则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2,因为x 1+1x 2+1>x 1x 2,所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2.故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9,因为0<lg9<1,lg x 1x 2<0,所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0,f (x )为(0,+∞)上的减函数,注意到f (9)=0,当x >9时,f (x )<f (9)=0;当<x <9时,f (x )>f (9)=0,所以f (x )=0有且仅有一个根x =9.(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ,所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4.13已知a >0,a ≠1,试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围.【解析】由对数性质知,原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立,则式(3)必成立,故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时,式(4)无解;当k ≠0时,式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ,代人式(2),得1+k 22k>k .若k <0,则k 2>1,所以k <-1;若k >0,则k 2<1,所以0<k <1.综上所述,当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时,原方程有解.14已知0.301029<lg2<0.301030,0.477120<lg3<0.477121,求20001979的首位数字.【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2).所以6532.736391<lg20001979<6532.73837.故20001979为6533位数,由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3,得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5.15已知3a +13b =17a ,5a +7b =11b ,试判断实数a 与b 的大小关系,并证明之.【解析】令a =1,则13b =14,5+7b =11b ,可见b >1.猜想a <b .下面用反证法证明:若a ≥b ,则13a ≥13b ,5a ≥5b ,所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ,即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1,而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数,且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b ).所以a <1,b >1.这与a ≥b 矛盾,故a <b .16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 .【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 .由于y =log 2x 为单调递增函数,于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2,两端同时除以x 6,并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ,则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数.于是以上不等式等价于1x2>x 2+1,即x 2 2+x 2-1<0,解得x 2<5-12.故原不等式的解集为-5-12,5-12.。
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(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a,那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。
2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕:a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注:分数指数幕与根式可以互化,通常利用分数指数幕进行根式的运算。
(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q);②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ);③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时,0<y<l; x<0 时,y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注:如图所示,是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象,如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系?提示:在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。
升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数

n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值:
(1)log64+log69;
(2)log2162;
(3)log672-log62;
(4)lg5+lg2.
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5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0).
函数时,图像只分布在第一象限.
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3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
(2)过定点:所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地,以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
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2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
(1, 0)
(2)正数的负分数指数幂的意义:
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义:幂函数是形如f(x)=x^n的函数,其中n为常数,x为自变量,n可以是整数、分数或实数。
2.性质:-当n为正偶数时,幂函数是单调递增函数,图像呈现开口向上的抛物线形状。
-当n为正奇数时,幂函数是单调递增函数,图像呈现开口向上的直线形状。
-当n为负偶数时,幂函数是单调递减函数,图像呈现开口向下的抛物线形状。
-当n为负奇数时,幂函数是单调递减函数,图像呈现开口向下的直线形状。
-当n=0时,幂函数f(x)=x^0恒等于1,所有x轴上的点对应于y=1,即图像是一条水平直线。
3.应用:-幂函数常用于描述成比例关系,如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。
-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。
二、指数函数1.定义:指数函数是形如f(x)=a^x的函数,其中a为正实数且不等于1,x为自变量。
2.性质:-指数函数的值域为正实数,图像始终位于y轴的上方。
-当a>1时,指数函数是单调递增函数,图像呈现开口向上的曲线形状。
-当0<a<1时,指数函数是单调递减函数,图像呈现开口向下的曲线形状。
-当a=1时,指数函数f(x)=1^x恒等于1,所有x轴上的点对应于y=1,即图像是一条水平直线。
3.应用:-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况,如人口增长、放射性物质衰变等。
-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。
三、对数函数1. 定义:对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数,其中a为正实数且不等于1,x为自变量。
2.性质:-对数函数的定义域为正实数,值域为实数。
-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。
-对数函数关于直线y=x对称。
-对数函数的导数为1/x。
3.应用:-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式,将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。
-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。
综上所述,幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂:...()nna a a a n N=∈零指数幂:01(0)a a=≠负整数指数幂:1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂:正分数指数幂的意义是:(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是:11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地,函数ay x=叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况).3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图;当12,1,2a=---时的图象见上图:由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:a y x =有下列性质: (1)0a >时:①图象都通过点(0,0),(1,1);②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时:①图象都通过点(1,1);②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.二、指数函数①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞;3)当10<<a 时函数为减函数,当1>a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a .5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b =log b a a N N b =⇔=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质()log log log a a a MN M N =+. log log log aa a MM N N=-.log log n a a M n M =.(00M N >>,,0a >,1a ≠)( a, b > 0且均不为1)2.换底公式:log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ;0,1m m >≠) 常用的推论:(1)log log 1a b b a ⨯= ; .(2)log log m na a nb b m=(a 、0b >且均不为1).1log log 1N N a a mn n m==. (3), (4)对数恒等式.一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =(0a >,1a ≠)叫做对数函数② 对数函数的性质:定义域:(0,)+∞; 值域:R ; 过点(1,0),即当1x =时,0y =.当0a >时,在(0,+∞)上是增函数;当01a <<时,在(0,+∞)上是减函数.二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称. 指数方程和对数方程主要有以下几种类型:()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=(定义法)b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>(转化法) ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数:y=f(x)=a^x03a>0时,函数图像过一三象限;a<0时,函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域:R a>1时,函数为单调递增函数;0<a<1时,函数为单调递减函数奇偶性:当a>0时,为奇函数;当a=0时,既不是奇函数也不是偶函数;当a<0时,为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时,函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快;当0<a<1时,函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时,函数为单调递增函数,图像位于一三象限;0<a<1时,函数为单调递减函数,图像位于二四象限。
当a>1时,函数的最大值无限趋近于正无穷大;当0<a<1时,函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数:以数学常数e为底数的对数,记作ln(x)。
常用对数:以10为底数的对数,记作lg(x)。
底数为任意正数的对数,记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b);log(a/b)=log(a)-log(b);log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b);log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1,M>0,N>0,那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N;log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N;log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质:图像与x轴交点为1,当x>1时,函数值大于0;当0<x<1时,函数值小于0。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对付数函数、幂函数的图像与本量之阳早格格创做(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的观念(2).二个要害公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 蓄意思). 2.有理数指数幂 (1)幂的有闭观念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的背分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的背分数指数幂不意思. 注:分数指数幂与根式不妨互化,常常利用分数指数幂举止根式的运算.(2)有理数指数幂的本量n 为奇数n为奇数①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与本量y=ax a>1 0<a<1 图象定义域R值域(0,+∞)本量(1)过定面(0,1)(2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)正在(-∞,+∞)上是删函数(3)正在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx (4),y=dx的图象,怎么样决定底数a,b,c,d与1之间的大小闭系?提示:正在图中做曲线x=1,与它们图象接面的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b.即无论正在轴的左侧仍旧左侧,底数按顺时针目标变大.(二)对付数与对付数函数1、对付数的观念(1)对付数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 喊干以a 为底,N 的对付数,记做log N a x =,其中a 喊干对付数的底数,N 喊干真数. (2)几种罕睹对付数2、对付数的本量与运算规则(1)对付数的本量(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②log 1a a =,③logNa a N =,④log Na a N =.(2)对付数的要害公式:①换底公式:log log (,1,0)log N Na b baa b N =>均为大于零且不等于; ②1log log b a ab =. (3)对付数的运算规则:如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②NM NMa a a log log log -=;③)(log log R n M n M a n a ∈=; ④b mnb a n amlog log =. 3、对付数函数的图象与本量象本量(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)当x=1时,y=0即过定面(1,0) (4)当01x <<时,(,0)y ∈-∞; 当1x >时,(0,)y ∈+∞ (4)当1x >时,(,0)y ∈-∞; 当01x <<时,(0,)y ∈+∞ (5)正在(0,+∞)上为删函数(5)正在(0,+∞)上为减函数注:决定图中各函数的底数a ,b ,c ,d 与1的大小闭系 提示:做背来线y=1,该曲线与四个函数图象接面的横坐标即为它们相映的底数. ∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数指数函数y=ax 与对付数函数y=logax 互为反函数,它们的图象闭于曲线y=x 对付称. (三)幂函数 1、幂函数的定义形如y=xα(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数注:幂函数与指数函数有真量辨别正在于自变量的位子分歧,幂函数的自变量正在底数位子,而指数函数的自变量正在指数位子.2、幂函数的图象注:正在上图第一象限中怎么样决定y=x3,y=x2,y=x ,12y x =,y=x-1要领:可绘出x=x0;当x0>1时,按接面的下矮,从下到矮依次为y=x3,y=x2, y=x ,12y x =, y=x-1;当0<x0<1时,按接面的下矮,从下到矮依次为y=x-1,12y x =,y=x , y=x2,y=x3. 3、幂函数的本量y=x y=x2y=x312y x =y=x-1定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且奇奇性 奇 奇奇非奇非奇 奇单调性删x ∈[0,+∞)时,删; x ∈(,0]-∞时,减删 删x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减定面 (1,1)三:例题诠释,闻一知十知识面1:指数幂的化简与供值 例1.(2007育才A)(1)估计:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;(2)化简:5332332323323134)2(248aa a a ab aa ab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式:(2007执疑A )化简下列各式(其中各字母均为正数):(1);)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--(2).)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识面2:指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知真数a 、b 谦脚等式b a )31()21(=,下列五个闭系式:①0<b <a;②a <b <0;③0<a <b;④b <a <0;⑤a=b.其中不可能创造的闭系式有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个变式:(2010华附A )若曲线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有二个公同面,则a 的与值范畴是_______. 知识面3:指数函数的本量例3.(2010省真B )已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.(Ⅰ)供b 的值;(Ⅱ)推断函数()f x 的单调性;(Ⅲ)若对付任性的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒创造,供k 的与值范畴.变式:(2010东莞B )设a >0,f(x)=x x aa ee +是R 上的奇函数.(1)供a 的值;(2)供证:f(x)正在(0,+∞)上是删函数.知识面4:对付数式的化简与供值 例4.(2010云浮A )估计:(1))32(log 32-+(2)2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;(3)21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式:(2010惠州A )化简供值. (1)log2487+log212-21log242-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)(log32+log92)·(log43+log83).知识面5:对付数函数的本量例5.(2011深圳A )对付于01a <<,给出下列四个不等式: ①1log (1)log ();a a a a a+<+②1log (1)log (1)a a a a+>+;③111;aaaa++<④111;aaaa++>其中创造的是()(A )①与③(B )①与④(C )②与③(D )②与④变式:(2011韶闭A )已知0<a <1,b >1,ab >1,则loga bb b ba1log ,log,1的大小闭系是 ( )bb b b a 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log <<C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.(2010广州B )已知函数f(x)=logax(a >0,a≠1),如果对付于任性x ∈[3,+∞)皆有|f(x)|≥1创造,试供a 的与值范畴.变式:(2010广俗B )已知函数f (x )=log2(x2-ax-a)正在区间(-∞,1-3]上是单调递减函数.供真数a 的与值范畴.知识面6:幂函数的图象及应用 例7.(2009佛山B)已知面(22),正在幂函数()f x 的图象上,面124⎛⎫- ⎪⎝⎭,,正在幂函数()g x 的图象上.问当x 为何值时有:(1)()()f x g x >;(2)()()f x g x =;(3)()()f x g x <.变式:(2009掀阳B )已知幂函数f(x)=x 322--m m (m ∈Z )为奇函数,且正在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)供函数f(x);(2)计划F (x )=a)()(x xf bx f -的奇奇性.四:目标预测、胜利正在视1.(A )函数41lg )(--=x x x f 的定义域为( )A .(1,4)B .[1,4)C .(-∞,1)∪(4,+∞)D .(-∞,1]∪(4,+∞)2.(A )以下四个数中的最大者是( )(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23(B )设a>1,函数f(x)=logax 正在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之好为,21则a=( )(A)2 (B )2 (C )22 (D )44.(A )已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( )(A )a b c << (B )b ac << (C )c b a << (D )c a b << 5.(B )设f(x)=1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f(x)>2的解集为( )(A)(1,2)⋃(3,+∞) (B)(10,+∞)(C)(1,2)⋃(10,+∞)(D)(1,2)6.(A )设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则( ) A.R Q P <<B.P R Q <<C.Q R P <<D.R P Q << 7.(A)已知c a b 212121log log log <<,则( )A .c a b 222>>B .c b a 222>>C .a b c 222>>D .b a c 222>> 8.(B )下列函数中既是奇函数,又是区间[]1,1-上单调递减的是( )(A )()sin f x x = (B)()1f x x =-+(C)1()()2xx f x a a -=+ (D)2()2xf x ln x-=+9.(A )函数y =的定义域是:()A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1] D 23(,1] 10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公同面A ,且面A 的横坐标为2,则k ( )A .41- B .41 C .21- D .2111.(B )若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限,则一定有( )A .010><<b a 且B .01>>b a 且C .010<<<b a 且D .01<>b a 且12.(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 正在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=( )A.42B.22C. 41D.21 13.(A)已知0<x <y <a <1,则有( )(A )0)(log <xy a (B )1)(log 0<<xy a(C )2)(log 1<<xy a (D )2)(log >xy a14.(A )已知x x f 26log )(=,那么)8(f 等于( ) (A )34(B )8(C )18(D )2115.(B )函数y =lg|x| ( )A .是奇函数,正在区间(-∞,0)上单调递加B .是奇函数,正在区间(-∞,0)上单调递减C .是奇函数,正在区间(0,+∞)上单调递加D .是奇函数,正在区间(0,+∞)上单调递减 16.(A )函数3)4lg(--=x x y 的定义域是____________________________. 17.(B )函数1(01)x y a a a -=>≠,的图象恒过定面A ,若面A 正在曲线10(0)mx ny mn +-=>上,则11mn+的最小值为 .18.(A )设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19.(B )若函数f(x) = 1222--+a ax x 的定义域为R ,则a 的与值范畴为___________.20.(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数,则a=.21.(B)已知函数xx xx f -+-=11log 1)(2,供函数)(x f 的定义域,并计划它的奇奇性战单调性. 参照问案:三:例题诠释,闻一知十 例1. 解:(1)92,(2)2a变式:解:(1)1, (2).4514545)(45)·232321233136123abab ab b a b a b a b -=⋅-=⋅-=÷-=------ (3)110 例2. 解:B变式:解:)21,0(;例3. 解:(Ⅰ)1=b (Ⅱ)减函数. (Ⅲ)31-<k变式:解:(1)a=1.(2)略 例4. 解:(1)-1.(2)1.(3)21.变式:解:(1).232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-(2)2.(3)45例5. 解:选D.变式:解: C例6. 解:(1,3]∪[31,1) 变式:解:{a|2-23≤a <2}例7. 解:(1)当1x >或者1x <-时,()()f x g x >;(2)当1x =±时,()()f x g x =;(3)当11x -<<且0x ≠时,()()f x g x <.变式:解:(1)f(x)=x-4.(2)F (x )=32bx x a-, ∴F (-x )=2x a+bx3.①当a≠0,且b≠0时,F (x )为非奇非奇函数;②当a=0,b≠0时,F (x )为奇函数;③当a≠0,b=0时,F (x )为奇函数;④当a=0,b=0时,F (x )既是奇函数,又是奇函数. 四:目标预测、胜利正在视1—5 ADDDC ; 6—10 AADDA ; 11—15 CADDB.16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18.21 19.[-1,0] 20.22 21.[解]x 须谦脚,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由 所以函数)(x f 的定义域为(-1,0)∪(0,1).果为函数)(x f 的定义域闭于本面对付称,且对付定义域内的任性x ,有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-,所以)(x f 是奇函数.钻研)(x f 正在(0,1)内的单调性,任与x1、x2∈(0,1),且设x1<x2 ,则 得)()(21x f x f >0,即)(x f 正在(0,1)内单调递减, 由于)(x f 是奇函数,所以)(x f 正在(-1,0)内单调递减.。
指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂:...()nna a a a n N=∈g123零指数幂:01(0)a a=≠负整数指数幂:1(0,) ppa a pNa-=≠∈分数指数幂:正分数指数幂的意义是:(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是:1(0,,,1)mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地,函数ay x=叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况).3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图;当12,1,2a=---时的图象见上图:由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:a y x =有下列性质: (1)0a >时:①图象都通过点(0,0),(1,1);②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时:①图象都通过点(1,1);②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.二、指数函数①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞;3)当10<<a 时函数为减函数,当1>a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a .5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b =log b a a N N b =⇔=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质()log log log a a a MN M N =+. log log log aa a MM N N=-.log log n a a M n M =.(00M N >>,,0a >,1a ≠)( a, b > 0且均不为1)2.换底公式:log log log m a m NN a=( a > 0 , a ? 1 ;0,1m m >≠) 常用的推论:(1)log log 1a b b a ⨯= ; .(2)log log m na a nb b m=(a 、0b >且均不为1).1log log 1N N a a mn n m==. (3), (4)对数恒等式.一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =(0a >,1a ≠)叫做对数函数② 对数函数的性质:定义域:(0,)+∞; 值域:R ; 过点(1,0),即当1x =时,0y =.当0a >时,在(0,+∞)上是增函数;当01a <<时,在(0,+∞)上是减函数.二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称. 指数方程和对数方程主要有以下几种类型:()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=(定义法)()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>(转化法) ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log。
最全的高中幂-指数-对数-三角函数知识点总结

1.幂函数知识点总结一、幂函数(power function ):函数y x α= (x 是自变量,α是常数)二、幂函数的性质对于幂函数,我们只研究 11,2,3,,12α=- 时的图象与性质.1232,,,y x y x y x y x ==== 和 1y x -=共同性质:图像都过点(1,1)不同性质:α为奇数时幂函数为奇函数;α为偶数时幂函数为偶函数。
2.指数函数知识点总结本节知识点(1)指数函数的概念 (2)指数函数的图象和性质 (3)指数函数的定义域和值域 (4)指数函数的单调性及其应用 (5)指数函数的图象变换知识点一 指数函数的概念一般地,函数x a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R .1.为什么规定“0>a 且1≠a ”?答:若0=a ,则当0>x 时,0=x a ,当x ≤0时,x a 无意义;若0<a ,则对于x 的某些值,x a 无意义,如函数()xy 2-=,当 41,21=x 时,函数无意义;若1=a ,则对任意的∈x R ,都有1=x a ,没有研究的必要.基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定0>a 且1≠a .上面的定义,是形式定义.2.为什么指数函数的定义域是R ?答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R .3.指数函数的结构特征指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下:(1)指数中只有一个自变量x ,而不是含自变量的多项式; (2)x a 的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量; (3)底数a 必须满足0>a 且1≠a 的一个常数.根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围.知识点二 指数函数的图象和性质一般地,指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象和性质如下表所示:(1)当10<<a 时,若0<x ,则恒有1>y ;若0>x ,则恒有10<<y ; (2)当1>a 时,若0<x ,则恒有10<<y ;若0>x ,则恒有1>y . 1. 指数函数图象的画法对于指数函数x a y =(0>a 且1≠a ),当0=x 时,1=y ;当1=x 时,a y =;当1-=x 时,a y 1=.所以指数函数的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1.在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图.(1)由于指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象经过点()a ,1,所以指数函数的图象与直线1=x 的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数a 就越大.(2)由于指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1,所以指数函数的图象与直线1-=x 的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高,a1越大,底数就越小.2. 函数x a y =(0>a 且1≠a )与函数xa y ⎪⎭⎫⎝⎛=1(0>a 且1≠a )的图象的关系在同一平面直角坐标系中,函数xa y =(0>a 且1≠a )与函数xa y ⎪⎭⎫⎝⎛=1(0>a 且1≠a )的图象关于y 轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于y 轴对称.如下图所示,指数函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.(1)指数函数x a y =(0>a 且1≠a )与函数x a y -=(0>a 且1≠a )的图象关于x 轴对称.如上右图所示,指数函数x y 2=与函数x y 2-=的图象关于x 轴对称.(2)指数函数x a y =(0>a 且1≠a )与函数x a y --=(0>a 且1≠a )(即xa y ⎪⎭⎫⎝⎛-=1)的图象关于原点对称(成中心对称).如下图所示,指数函数x y 2=与函数x y --=2(即xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=21)的图象关于原点对称.3.与指数函数有关的恒过定点问题由于指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象恒过定点()1,0,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的y x ,,即为定点坐标.4.指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的底数a 对函数图象的影响 底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”:(1)当1>a 时,指数函数的图象是上升的,函数是R 上的增函数.底数越大,函数图象在y 轴右侧部分越接近于y 轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快; (2)当10<<a 时,指数函数的图象是下降的,函数为R 上的减函数.底数越小,函数图象在y 轴左侧部分越接近于y 轴,即函数图象越陡,说明函数值减小得越快.根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为:01>>>>>>>f e d c b a .前面已经提到,因为指数函数x a y =(0>a ,且1≠a )的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1,所以直线1=x 与指数函数图象的交点即为点()a ,1,交点的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论:结论 底数a 的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是1>a 还是10<<a ,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上.简记为:在y 轴右侧,底大图y = 1高.另外,直线1-=x 与指数函数图象的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1(即()1,1--a ),交点的纵坐标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在y 轴左侧,底大图低.5.指数函数x a y =(0>a 且1≠a )与x b y =(0>b 且1≠b )的图象特点 (1)若1>>b a ,则当0<x 时,总有10<<<x x b a ;当0=x 时,总有1==x x b a ;当0>x 时,总有1>>x x b a ;(2)若10<<<a b ,则当0<x 时,总有1>>x x a b ;当0=x 时,总有1==x x b a ;当0>x 时,总有10<<<x x a b .综上所述,当0>x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有x x b a >;当0<x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有x x b a <.6. 指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象和性质再说明 指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的定义域是R ,值域是()+∞,0. 图象:(1)若1>a ,当-∞→x 时,0→y ,即x 的值越小,函数的图象越接近于x 轴,但不相交;(2)若10<<a ,当+∞→x 时,0→y .即x 的值越大,函数的图象越接近于x 轴,但不相交.因此,x 轴(即直线0=y )是指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象的一条渐近线. 性质:(1)若1>a ,则当0>x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 的上方;当0<x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 和x 轴之间.(2)若10<<a ,则当0>x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 和x 轴之间;当0<x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 的上方.知识点三 指数函数的定义域和值域1 定义域(1)指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的定义域为R .(2)函数()x f a y =(0>a 且1≠a )的定义域与函数()x f 的定义域相同. (3)函数()x a f y =的定义域与函数()x f 的定义域不一定相同. 例如,函数()x x f =的定义域为[)+∞,0,而函数x a y =的定义域为R. 注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是()x a f y =型还是()x f a y =型. 2 值域(1)指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的值域为()+∞,0.(2)求形如()x f a y =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域(即t 的范围),然后根据函数t a y =的单调性,即可求出函数()x f a y =的值域.(3)求形如()x a f y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0x a t 时,函数()t f y =的值域.知识点四 指数函数的单调性及其应用1 单调性当1>a 时,函数x a y =在R 上为增函数;当10<<a 时,函数x a y =在R 上为减函数.利用这一性质,可以判断复合函数()x f a y =的单调性,判断的依据是:同增异减.如下表:结合底数a 的范围来确定函数()x f a y =的单调性.确定的依据是:同增异减. 2 单调性的应用 (1)应用于比较大小类型一 比较同底数不同指数的幂的大小,利用指数函数的单调性进行比较; 类型二 比较不同底数同指数的幂的大小,借助于函数的图象比较大小,或者借助于口诀:在y 轴右侧(即0>x )底大图高(函数值大),在y 轴左侧,底小图高; 类型三 比较不同底数不同指数的幂的大小,利用中间量(如0和1)并结合函数的单调性比较大小. (2)应用于解简单不等式不等式可化为()()x g x f a a <的形式,利用指数函数的单调性,将不等式转化为()()x g x f <(当1>a 时)或()()x g x f >(当10<<a 时),然后进行求解.3.对数函数及其性质知识点总结本节知识点(1)对数函数的概念; (2)对数函数的图象及其性质; (3)与对数函数有关的函数的定义域; (4)与对数函数有关的函数的值域;(5)与对数函数有关的函数的单调性及其应用; (6)与对数函数有关的函数的奇偶性; (7)反函数.知识点一 对数函数的概念一般地,函数x y a log =(0>a 且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()+∞,0. 对数函数概念的理解 (1)形如x y a log =;(2)底数a 满足0>a 且1≠a ; (3)真数是x ,而不是含x 的表达式; (4)函数的定义域为()+∞,0. 两种特殊的对数函数特别地,以10为底的对数函数x y lg =叫做常用对数函数;以无理数e 为底的对数函数x y ln =叫做自然对数函数.知识点二 对数函数的图象及其性质一般地,对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )的图象和性质如下表所示:(+∞,0对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )的图象经过三个关键点:()0,1,()1,a 和⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a .利用对数函数图象的三个关键点,可以快速地作出对数函数图象的简图. 特别提醒指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1.根据这三个关键点,可以快速地作出指数函数图象的简图.不难得出:在同一平面直角坐标系中,对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )图象的三个关键点与指数函数x a y =(0>a 且1≠a )图象的三个关键点关于直线x y =对称.底数对对数函数图象的影响 (1)对数函数的对称性结论 函数x y a log =(0>a 且1≠a )的图象与函数x y a1log =(0>a 且1≠a )的图象关于x 轴对称.事实上,x x x y a a alog log log 111-===-,因为函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称,所以函数x y a log =与函数x y a1log =的图象关于x 轴对称.观察在同一平面直角坐标系在,分别画出函数x y 2log =,x y 3log =,x y 21log =和x y 31log =的图象,如图所示,体会对数函数图象的对称性.(2)底数a 决定对数函数的单调性 当1>a 时,对数函数的图象从左到右是上升的,函数在()∞+0上为增函数;当10<<a 时,对数函数的图象从左到右是下降的,函数在()∞+0上为减函数.(3)底数a 的大小决定对数函数图象相对位置的高低不论是1>a ,还是10<<a ,在第一象限内,取相同的函数值时,图象所对应的对数函数的底数从左到右逐渐变大.(1)上下比较 在直线1=x 的右侧,a 越大,图象越靠近x 轴;当10<<a 时,a 越小,图象越靠近x 轴.(2)左右比较 比较图象与直线1=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越大.注意 若比较图象与直线1-=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.说明 在平面直角坐标系中,对数函数x y a log =的图象与直线1=y 的交点为()1,a ,即交点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就越大;对数函数x y a log =与直线1-=y 的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ,故在= log 13x12x3x2x第四象限内,交点的横坐标越大(即a1越大),对数函数的底数反而越小. 关于对数函数函数值正负的判断根据对数函数的图象,当1>a ,1>x ,或10<<a ,10<<x 时,函数值0>y ,简记为同区间为正;当1>a ,10<<x ,或10<<a ,1>x 时,函数值0<y ,简记为异区间为负.即同区间为正,异区间为负.特别地,当1=x 时,0=y ,即对数函数的图象恒过点()0,1. 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的性质的比较如下表所示:知识点三 与对数函数有关的函数的定义域(1)对数函数x y a log =的定义域为()+∞,0. (2)形如()()x f y x g log =的函数,其定义域由()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>>100x g x g x f 确定.(3)形如()x f y a log =的函数的定义域,必须保证每一部分都有意义. 知识点四 对数型函数的值域(1)对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )的值域利用函数的单调性求解; (2)求形如()x f y a log =的复合函数的值域,先求出()x f 的值域,然后结合对数函数的单调性求出函数()x f y a log =的值域;(3)求形如()x f y a log =的复合函数的值域,其中复合函数()x f y a log =一般是关于x a log 的二次函数,故可以采用换元法求解,注意新元的取值范围. 知识点五 与对数函数有关的函数的单调性及其应用 1.对数值大小的比较(1)同底数的利用函数的单调性; (2)同真数的利用函数的图象;(3)底数与真数都不同的,利用中间数0和1(介值法). 2.解简单的对数不等式(1)底数确定时,利用对数函数的单调性求解; (2)当底数不确定时,注意对底数进行分类讨论.注意 求解时注意“定义域优先”的原则,要保证每个真数都大于0.点评 简单的对数不等式经过适当的变形一般都可化为()()x g x f a a log log <的形式,当1>a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>>x g x f x g x f 00;当10<<a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>x g x f x g x f 0. 3.对数型复合函数的单调性对数型复合函数一般分为两类:()x f y a log =型和()x f y a log =型.(1)研究()x f y a log =型复合函数的单调性,令x t a log =,则只需研究x t a log =及()t f y =的单调性即可;(2)研究()x f y a log =型复合函数的单调性,首先由()0>x f 确定函数的定义域,然后判断()x f t =在定义域上的单调性,再结合对数函数的单调性,判断函数()x f y a log =的单调性,其核心是:同增异减.4.三角函数知识点总结一、基础概念 1、正角、负角和零角正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角正角 负角 零角2、象限角、轴线角象限角:点O 与坐标原点重合,OA 与x 轴正半轴重合,当终边OB 落在第几象限就说这个角是第几象限角.轴线角:点O 与坐标原点重合,OA 与x 轴正半轴重合,当终边OB 落在坐标轴上就说这个角是轴线角,这个角不属于任何项限3、角的集合:与任意角α终边相同的角构成一个集合 {}Z k k ∈⋅+=,360 αββ常见结论:(1)第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}Z k k k ∈+<<+⋅,36018090360αα第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z(2)终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 终边在x y =上的角的集合为{}Z k k ∈⋅+=,18045 αα 终边在x y -=上的角的集合为{}Z k k ∈⋅+=,180135 αα(3)任何一个象限角有可能是正角,也有可能是负角;任何轴线角有可能是正角、负角、零角; 小于 90的角不一定是锐角; 大于 90的角不一定是钝角; 终边相同的角不一定相等4、已知α是第几象限角,确定nα)(Z n ∈所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域。
指对幂函数知识点总结

指对幂函数知识点总结一、指数函数指数函数的表达式为\(y = a^x\)(\(a > 0\)且\(a ≠1\))。
(一)图像特征1、当\(a > 1\)时,函数图像单调递增,且过点\((0, 1)\)。
2、当\(0 < a < 1\)时,函数图像单调递减,同样过点\((0, 1)\)。
(二)性质1、定义域为\(R\),值域为\((0, +\infty)\)。
2、当\(x > 0\)时,若\(a > 1\),则\(a^x > 1\);若\(0 < a < 1\),则\(0 < a^x < 1\)。
当\(x < 0\)时,若\(a > 1\),则\(0 < a^x < 1\);若\(0 < a < 1\),则\(a^x > 1\)。
(三)指数运算1、\(a^m × a^n = a^{m + n}\)2、\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m n}\)3、\((a^m)^n = a^{mn}\)4、\(a^0 = 1\)(\(a ≠ 0\))二、对数函数对数函数的表达式为\(y =\log_a x\)(\(a > 0\)且\(a ≠ 1\))。
(一)图像特征1、当\(a > 1\)时,函数在\((0, +\infty)\)上单调递增。
2、当\(0 < a < 1\)时,函数在\((0, +\infty)\)上单调递减。
(二)性质1、定义域为\((0, +\infty)\),值域为\(R\)。
2、当\(a > 1\)时,\(\log_a x > 0\)等价于\(x >1\);\(\log_a x < 0\)等价于\(0 < x < 1\)。
当\(0 < a < 1\)时,\(\log_a x > 0\)等价于\(0 < x < 1\);\(\log_a x < 0\)等价于\(x > 1\)。
(三)对数运算1、\(\log_a (MN) =\log_a M +\log_a N\)2、\(\log_a \frac{M}{N} =\log_a M \log_a N\)3、\(\log_a M^n = n \log_a M\)4、\(\log_{a^b} M =\frac{1}{b} \log_a M\)(四)对数与指数的关系若\(y =\log_a x\),则\(x = a^y\),它们互为反函数,图像关于直线\(y = x\)对称。
指对幂函数知识点总结

指对幂函数知识点总结在数学的学习中,指对幂函数是非常重要的一部分内容。
理解和掌握它们的性质、图像以及运算规律,对于解决数学问题、提高数学素养有着至关重要的作用。
接下来,让我们一起深入地了解一下指对幂函数的相关知识。
一、指数函数指数函数的一般形式为$y = a^x$ ($a > 0$ 且$a ≠ 1$)。
(一)性质1、定义域:$R$ ,即实数集。
2、值域:$(0, +\infty)$,函数值恒大于零。
3、单调性:当$a > 1$ 时,函数在$R$ 上单调递增;当$0 <a < 1$ 时,函数在$R$ 上单调递减。
(二)图像特点1、当$a > 1$ 时,图像经过点$(0, 1)$,且在$R$ 上呈上升趋势,从左至右逐渐上升。
2、当$0 < a < 1$ 时,图像同样经过点$(0, 1)$,但在$R$ 上呈下降趋势,从左至右逐渐下降。
(三)指数运算规则1、$a^m × a^n = a^{m + n}$2、$\frac{a^m}{a^n} = a^{m n}$3、$(a^m)^n = a^{mn}$4、$a^0 = 1$ ($a ≠ 0$)二、对数函数对数函数的一般形式为$y =\log_a x$ ($a > 0$ 且$a ≠ 1$)。
(一)性质1、定义域:$(0, +\infty)$,真数必须大于零。
2、值域:$R$ ,即实数集。
3、单调性:当$a > 1$ 时,函数在$(0, +\infty)$上单调递增;当$0 < a < 1$ 时,函数在$(0, +\infty)$上单调递减。
(二)图像特点1、当$a > 1$ 时,图像经过点$(1, 0)$,且在$(0, +\infty)$上呈上升趋势。
2、当$0 < a < 1$ 时,图像经过点$(1, 0)$,在$(0, +\infty)$上呈下降趋势。
(三)对数运算规则1、$\log_a (MN) =\log_a M +\log_a N$2、$\log_a \frac{M}{N} =\log_a M \log_a N$3、$\log_a M^n = n \log_a M$4、$\log_a a = 1$5、$\log_a 1 = 0$(四)指对数的互化当$a > 0$ 且$a ≠ 1$ 时,$a^y = x$ 等价于$y =\log_a x$ 。
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结

最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结高中数学中的幂、指数、对数和三角函数是重要的数学概念和知识点。
这些知识点涉及到数学的基本运算、函数的性质和变化规律等内容。
下面是对这些知识点的详细总结:一、幂和指数1.幂函数:幂函数是以底数为自变量的函数,形如f(x)=a^x,其中a为常数,x为实数。
幂函数的图像为指数增长或指数衰减的曲线。
2.指数函数:指数函数是以指数为自变量的函数,形如f(x)=a^x,其中a为底数,x为实数。
指数函数的图像为单调递增或单调递减的曲线。
3.指数运算法则:-a^m*a^n=a^(m+n)-(a^m)^n=a^(m*n)-(a*b)^n=a^n*b^n-a^(-n)=1/a^n-a^0=1,其中a不等于0-a^1=a二、对数1. 对数函数:对数函数是指以对数为自变量的函数,形如f(x)=loga(x),其中a为底数,x为正实数。
对数函数的图像为单调递增的曲线。
2.对数运算法则:- loga(m * n) = loga(m) + loga(n)- loga(m / n) = loga(m) - loga(n)- loga(m^n) = n * loga(m)三、三角函数1.三角比:- 正弦函数 sin(x):在单位圆上,横坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 余弦函数 cos(x):在单位圆上,纵坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 正切函数 tan(x):在单位圆上,横坐标为x点对应的边长除以纵坐标对应的边长。
2.三角函数的基本性质:-三角函数的定义域为全体实数,值域为[-1,1]。
- 三角函数的周期性:sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), tan(x + π) = tan(x)。
- 三角函数的奇偶性:sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x),tan(-x) = -tan(x)。
- 三角函数的反函数:反正弦函数 arcsin(x),反余弦函数arccos(x),反正切函数 arctan(x)。
(完整版)指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ;②a a nn =)((注意a 必须使n a 有意义)。
2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mn m naa a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y=a xa>10<a<1n 为奇数 n 为偶数图象定义域R值域(0,+∞)性质(1)过定点(0,1)(2)当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时,0<y<1;x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数1、对数的概念(1)对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log Nax=,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数。
高三数学 幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像 知识精讲

高三数学 幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像 知识精讲一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 (1)定义形如y x a =(a 是常数,a R ∈)的函数叫做幂函数,定义域是使x a有意义的x 的取值范围。
(2)图像和性质①它们都过点(1,1),除原点外,任何幂函数与坐标轴不相交,任何幂函数都不过第四象限。
②a =1312123,,,,时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数。
③a =---2112,,时幂函数图像不过原点且在[)0,+∞上是减函数。
④任何两个幂函数最多有三个公共点。
二、函数的最值1. 值域与最值值域的概念:即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合{|()}}y y f x x A =∈,,值域是函数值的变化区域。
函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数这是函数的最小(大)值。
因此,求函数的最值和值域其实质是相同的,方法也完全一样,即可运用求值域的方法求(证)最值问题。
2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法(1)直接法:直接法也叫观察法,就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域,其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。
(2)逆求法:通过反解x ,把x 用含有y 的式子表示出来,使含有y 的式子有意义,求出y 的范围,其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来,并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。
(3)换元法:通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数,其解题特征是函数解析式中含有根号,当根号里是一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元。
(4)判别式法:把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程,利用判别式大于等于零求其值域,其题型特征是解析式中含有根式或分式。
(5)基本不等式法:利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥,≥233()a b c R ,,∈+可以求函数y 的最值,其题型特征是解析式是和式时要求积为定值,解析式是积式时,要求和为定值,不过有时须要用到拆项,添项和平方的技巧。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数1根式(1) 根式的概念(2).两个重要公式”n 为奇数a① 勺a =〈a(a 王0) n 为偶数\a\=: 、—a(a<0)② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念m①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行 根式的运算。
(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);②正数的负分数指数幂1— ■ (a • 0, m 、n m 'n N ,且 n 1)③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q);③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.3. 指数函数的图象与性质注:如图所示,是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx, (3),y=cx (4),y=dx的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。
即无论在轴 的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1) 对数的定义如果a * = N (a - 0且a "),那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作 x=log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
(2) 几种常见对数2、对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a -0,且 a=1):① log a^ 0,② log, =1,③ a 1* 二 N , ④ log a^ = N 。
(2)对数的重要公式:12叫(a,b 均为大于零且不等于1,N 0);log a(3)对数的运算法则:如果a 0,且a=1, M 0, N 0那么①换底公式: N log b② log a b1 iog b a①log a (MN ) = log a M log a N;②log a M-log a M-log a N;N③log a M n二n log a M (n・ R);④log m b n = —log a b。
指数函数、对数函数、幂函数地图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ;②a a nn =)((注意a 必须使n a 有意义)。
2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质n 为奇数n 为偶数①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象定义域R值域(0,+∞)性质(1)过定点(0,1)(2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log Na x =,其中a叫做对数的底数,N 叫做真数。
指数对数幂函数总结归纳

指数对数幂函数总结归纳一、指数函数:1.定义与性质:指数函数的定义域为实数集,值域为正实数。
当底数为正数且不等于1时,指数函数是增函数;当底数为0和1之间的正数时,指数函数是减函数。
指数函数在x轴的值为1,右侧的值逐渐增加或递减。
它具有这样的性质:a^x * a^y = a^(x+y),(a^x)^y = a^(xy)。
2.图像:指数函数的图像在底数大于1时,呈上升曲线,称为指数增长曲线;在底数在0和1之间时,呈下降曲线,称为指数衰减曲线。
图像通过点(0,1),且在x轴右侧逐渐上升或递减。
指数增长曲线在x趋近无穷大时接近y轴,但不会与y轴相交;指数衰减曲线在x趋近无穷大时接近x轴。
3.应用:指数函数的应用十分广泛。
它可以用于描述一些增长或衰减的现象,如人口增长、物质衰变等。
在金融领域,指数函数可以用于计算复利。
在工程中,它可以用于描述电荷的衰减和放电等。
二、对数函数:对数函数是指数函数的反函数。
它的一般形式为y = loga(x),其中a是底数,x是真数,y是函数值。
1.定义与性质:对数函数的定义域为正实数集,值域为实数集。
当底数a大于1时,对数函数是增函数;当底数在0和1之间时,对数函数是减函数。
对数函数具有这样的性质:loga(x) + loga(y) = loga(xy),loga(x^y) = yloga(x)。
2.图像:对数函数的图像在底数大于1时,呈上升曲线;在底数在0和1之间时,呈下降曲线。
图像通过点(1,0),且右侧的值逐渐增大或减小。
对数函数在x趋近无穷大时接近y轴,但不会与y轴相交;在x轴右侧,它的值逐渐增大。
3.应用:对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
它可以用于简化复杂的乘法和除法运算,将其转化为加法和减法。
在计算中,对数函数可以用于求解指数方程,解决一些复杂的问题。
在物理学中,对数函数可以用于描述一些指数增长的现象,如地震的震级等。
三、幂函数:幂函数是以x为底数的多项式函数。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

当xo>l时,按交点的高低,从高到低依次为y=x3, y=x2, y=x ,y x2,y=x-1;
1
当0<xo<1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x-1,y x2,y=x , y=x2, y=x3。
3、藉函数的性质
段X数
y=x
2y=x
3y=x
1
yx,
-1y=x
定义域
R
R
R
[0,)
x| x Rflx 0
值域
R
[0,)
R
[0,)
y | y Rfi y 0
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x € [0 ,)时,增;
xe(,0]时,减
增
增
x C (0,+)时,减;
x C (- ,0)时,减
定点
(1 , 1)
叫做对数的底数,N叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为aa 0,且a 1
logaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
2、对数的性质与运算法则
(1)
(2)对数的重要公式:
lonN
-^b(a,b均为大丁零且不等丁1,N 0);loga
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称。
(三)籍函数
1、藉函数的定义
形如y=x " (a£ R)的函数称为藉函数,其中x是自变量,a为常数
注:藉函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,备函数的自变量在底数位置,而
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指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点
总结
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(一)指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念 (2).两个重要公式
①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n n
;
②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。
2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:0,,1)m n
a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂:10,,1)m
n
m n
a
a m n N n a
-*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶
数
注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系?
提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义
如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
(2
2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1
log 0a =,②log 1a
a =,③log N
a a N =,
④log N
a a N =。
(2)对数的重要公式:
①换底公式:log log (,1,0)log N N
a b b
a
a b N =>均为大于零且不等于; ②1
log log b a a
b
=。
(3)对数的运算法则:
如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N
M
a a a
log log log -=; ③)(log log R n M n M a n a ∈=;
④b m
n
b a n a m log log =。
提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数
指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称。
(三)幂函数 1、幂函数的定义
形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数
注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
注:在上图第一象限中如何确定y=x 3
,y=x 2
,y=x ,12
y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0;
当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3
,y=x 2
,y=x ,12
y x =,y=x -1; 当0<x 0<1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x -1,12
y x =,y=x ,y=x 2,y=x 3。