12应用举例
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S ? 1 ? 23.5 ? 14.8 ? sin148.5 ? 90.9( cm 2 ). 2
(2)已知B=62.7°,C =65.8°,b=3.16cm；
解：(2)根据正弦定理，b ? c ,c ? bsinC , sin B sinC sin B
S ? 1 bcsin A ? 1 b2 sinCsin A,
2
在不同已知条件下求三角形的面积的问题， 与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解 三角形面积的知识，认真观察已知什么，尚缺什 么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积 .
例2 在某市进行城市环境建设中，要 把一个三角形的区域改造成市内公园，经过 测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68 m，88 m，127 m，这个区域的面积是 多少（精确到 0.1 m2）?
练习2 判断满足下列条件的三角形形状 .
（1）a cos A ? b cos B； （2）sin C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边 为角”或“化角为边” .
答案 ：（ 1）等腰三角形或直角三角形； （2）直角三角形 .
课后练习：
2
2
因此除了知道某条边和该边上的高可求出三 角形的面积外，如能知道三角形的任意两边以及 它们夹角的正弦也可求出三角形的面积 .
例1 在△ABC中，根据下列条件，求三角 形的面积 S(精确到 0.1cm 2).
(1)已知a =14.8cm,c =23.5 cm, B =148.5°；
解：(1)应用 S ? 1 ca sin B，得 2
分析： 本题可转化为已知三角形的三边， 求角的问题，再利用三角形的面积公式求解 .
解：设a=68 m，b=88 m,c=127 m，根据余弦定理的
推论，
cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 1272 ? 682 ? 882 ? 0.7532，
2ca
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2 ? 127 ? 68
sin B ? 1? 0.7532 2 ? 0.6578.
? a2 ? 2ab
c2
? ? ?
? (b2 ? c2 ? a2 ) ? (a2 ? c2 ? b2 ) ? (b2 ? a2 ? c2 )
? a2 ? b2 ? c2 ? 左边 .
解题关键：
利用正弦定理或余弦定理将已知条 件转化为只含边的式子或只含角的三角 函数式，然后化简并考察边或角的关系， 从而确定三角形的形状 .特别是有些条
2
2 sin B
A ? 180 ? (B ? C) ? 180 ? (62.7 ? 65.8 ) ? 51.5 ,
S ? 1 ? 3.162 ? sin65.8 sin51.5 ? 4.0(cm2).
2
sin62.7
（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm ，b=27.3cm， c=38.7cm.
由S ? 1 ca sin B，得 2
S ? 1 ? 127 ? 68 ? 0.6578 ? 2840.4(m 2 ). 2
答：这个区域的面积是 2840.4m 2.
例3 在△ABC 中，求证：
（1）
a2 ? b2 c2
?
sin2 A? sin2 sin2 C
B;
（2）a2 ? b2 ? c2
? 2?bc cos A ? ac cos B ? ab cos C ?.
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等 式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联 想到用正弦定理来证明 .
证明： （1）根据正弦定理，可设
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=k.
显然 k≠0，所以
左边=
a2 ? b2 c2
?
k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 k 2 sin 2 C
ha ? b sin C ? c sin B；
hb ? c sin A ? a sin C；
hc ? a sin B ? b sin A.
根据三角形面积公式S
?
1 2
ah，和以上公式ha
?
b sin C，
可推出如下面积公式：
1 S ? ab sin C.
2
同理：S ? 1 bc sin A ? 1 ac sin B.
解：（3）根据余弦定理的推论，得
cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 38.72 ? 41.42 ? 27.32 ? 0.7679，
2ca
2? 38.7? 41.4
sin B ? 1? cos2 B ? 1? 0.76972 ? 0.6384.
由S ? 1 casin B，得
2
S ? 1 ? 38.7? 41.4? 0.6384 ? 511.4(cm2).
件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至 可以两者混用 .
练习1 已知在△ABC中，? B ? 30°，b ? 6， c ? 6 3，求a及△ABC的面积.
提示：解有关已知两边和其中一边对角 的问题，注重分情况讨论解的个数 .
答案：（1）a ? 6，S ? 9 3； （2）a ? 12，S ? 18 3.
解三角形应用举例
（第4课时）
前面学习了用正弦定理和余弦定理解决实际 问题，体现了两个定理的广泛应用和生活中的 重要性 .借助于正弦定理和余弦定理，我们也可 以进一步解决一些有关三角形的计算问题，以 及一些三角恒等式问题 .
在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，
hc，那么它们如何用已知边和角来表示呢？
B
sin 2 A ? sin 2 B
?
sin 2 C
=右边.
（2） a 2 ? b 2 ? c 2
? 2 ?bc cos A ? ac cos B ? ab cos C ?.
（2）根据余弦定理的推论，右边 =
2 ??bc·b2 ?
? c2 ? 2bc
a2
?
ca·a2
? c2 ? 2ca
b2
?
ab·b2
课本 18页练习 1，2，3.
(2)已知B=62.7°,C =65.8°,b=3.16cm；
解：(2)根据正弦定理，b ? c ,c ? bsinC , sin B sinC sin B
S ? 1 bcsin A ? 1 b2 sinCsin A,
2
在不同已知条件下求三角形的面积的问题， 与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解 三角形面积的知识，认真观察已知什么，尚缺什 么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积 .
例2 在某市进行城市环境建设中，要 把一个三角形的区域改造成市内公园，经过 测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68 m，88 m，127 m，这个区域的面积是 多少（精确到 0.1 m2）?
练习2 判断满足下列条件的三角形形状 .
（1）a cos A ? b cos B； （2）sin C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边 为角”或“化角为边” .
答案 ：（ 1）等腰三角形或直角三角形； （2）直角三角形 .
课后练习：
2
2
因此除了知道某条边和该边上的高可求出三 角形的面积外，如能知道三角形的任意两边以及 它们夹角的正弦也可求出三角形的面积 .
例1 在△ABC中，根据下列条件，求三角 形的面积 S(精确到 0.1cm 2).
(1)已知a =14.8cm,c =23.5 cm, B =148.5°；
解：(1)应用 S ? 1 ca sin B，得 2
分析： 本题可转化为已知三角形的三边， 求角的问题，再利用三角形的面积公式求解 .
解：设a=68 m，b=88 m,c=127 m，根据余弦定理的
推论，
cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 1272 ? 682 ? 882 ? 0.7532，
2ca
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2 ? 127 ? 68
sin B ? 1? 0.7532 2 ? 0.6578.
? a2 ? 2ab
c2
? ? ?
? (b2 ? c2 ? a2 ) ? (a2 ? c2 ? b2 ) ? (b2 ? a2 ? c2 )
? a2 ? b2 ? c2 ? 左边 .
解题关键：
利用正弦定理或余弦定理将已知条 件转化为只含边的式子或只含角的三角 函数式，然后化简并考察边或角的关系， 从而确定三角形的形状 .特别是有些条
2
2 sin B
A ? 180 ? (B ? C) ? 180 ? (62.7 ? 65.8 ) ? 51.5 ,
S ? 1 ? 3.162 ? sin65.8 sin51.5 ? 4.0(cm2).
2
sin62.7
（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm ，b=27.3cm， c=38.7cm.
由S ? 1 ca sin B，得 2
S ? 1 ? 127 ? 68 ? 0.6578 ? 2840.4(m 2 ). 2
答：这个区域的面积是 2840.4m 2.
例3 在△ABC 中，求证：
（1）
a2 ? b2 c2
?
sin2 A? sin2 sin2 C
B;
（2）a2 ? b2 ? c2
? 2?bc cos A ? ac cos B ? ab cos C ?.
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等 式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联 想到用正弦定理来证明 .
证明： （1）根据正弦定理，可设
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=k.
显然 k≠0，所以
左边=
a2 ? b2 c2
?
k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 k 2 sin 2 C
ha ? b sin C ? c sin B；
hb ? c sin A ? a sin C；
hc ? a sin B ? b sin A.
根据三角形面积公式S
?
1 2
ah，和以上公式ha
?
b sin C，
可推出如下面积公式：
1 S ? ab sin C.
2
同理：S ? 1 bc sin A ? 1 ac sin B.
解：（3）根据余弦定理的推论，得
cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 38.72 ? 41.42 ? 27.32 ? 0.7679，
2ca
2? 38.7? 41.4
sin B ? 1? cos2 B ? 1? 0.76972 ? 0.6384.
由S ? 1 casin B，得
2
S ? 1 ? 38.7? 41.4? 0.6384 ? 511.4(cm2).
件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至 可以两者混用 .
练习1 已知在△ABC中，? B ? 30°，b ? 6， c ? 6 3，求a及△ABC的面积.
提示：解有关已知两边和其中一边对角 的问题，注重分情况讨论解的个数 .
答案：（1）a ? 6，S ? 9 3； （2）a ? 12，S ? 18 3.
解三角形应用举例
（第4课时）
前面学习了用正弦定理和余弦定理解决实际 问题，体现了两个定理的广泛应用和生活中的 重要性 .借助于正弦定理和余弦定理，我们也可 以进一步解决一些有关三角形的计算问题，以 及一些三角恒等式问题 .
在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，
hc，那么它们如何用已知边和角来表示呢？
B
sin 2 A ? sin 2 B
?
sin 2 C
=右边.
（2） a 2 ? b 2 ? c 2
? 2 ?bc cos A ? ac cos B ? ab cos C ?.
（2）根据余弦定理的推论，右边 =
2 ??bc·b2 ?
? c2 ? 2bc
a2
?
ca·a2
? c2 ? 2ca
b2
?
ab·b2
课本 18页练习 1，2，3.