对数运算与换底公式

log2
5
log2 3
x log2 3
log2
3x，从而有 3x
5.
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
换底公式：
loga N
=
logc N logc a
(a,c > 0且a,c ? 1, N 0)
由对数的定义得
证明 N = a p
： loga N = p
? logc N logc a p ? logc N p logc a
p logc N logc a
即 log a
N
log c log c
N a
选底有什么要求吗? 公式有什么作用?
任意选，只要底有意义就行 把不同底换成同底
换底公式的推论1：
logam N n =
n m
loga
N
(a > 0且a ? 1,N
0,m ? 0)
换底公式的推论2
：
loga b =
1 logb a
=
logc N logc a
(a,c > 0且a,c ? 1, N
0)
2.换底公式的两个推论
(1).
logam N n =
n m loga N
(a > 0且a ? 1,N 0,wenku.baidu.com ? 0)
(2).
loga b =
1 logb a
(a,b > 0且a,b ? 1)
变形为loga b ?logb a 1
(a,b > 0且a,b ? 1)
变形为loga b ?logb a 1
例1. log 4 鬃log 5 log 8 ?log 9
3
4
5
8
利用换底公式计 (1) log2 5 log5 3 log3 2
(2) log4 5 log8 5
例2. 解方程 : log3(x - 1) = log9(x + 5) .
=
logN 6 -
logN 3
6 = logN 3
= logN 2.
而1 = 1 2y 2 log4 N
\ 1- 1 = 1 . z x 2y
=
1 2
logN
4
=
1
logN 42 =
logN
2.
例: 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
例3 计算：
(1) log 8 9 log 27 32
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）
(3) 设 log3 4 鬃log4 8 log8 m = log4 16, 求m的值.
巩固练习：
1: 设 3a 5b m，已知 1 1 2,
3.注意公式的正用和逆用。
4.注意底数和真数的范围。
训练
1.求 log2 3 鬃log3 7 log7 8的值.
2.求 9log3 x - 7 - log49 x2 12 > 0的解集.
已知f (x ) = x 2 + (lga + 2)x + lgb, f (- 1) = - 2,当x ? R 时f (x ) ? 2x 恒成立, 求实数a的值, 并求此时f (x )的最小值 ?
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍（精确到1）.
归纳小结
1.换底公式
loga N
求m 的值.
ab
2. 若x, y, z > 0, 且 3x = 4y = 6z , 求证 : 1 - 1 = 1 . z x 2y
证明 : 设3x = 4y = 6z = N , 由对数定义得
x = log3 N , y = log4 N , z = log6 N ,
1z
11
=
-
x log6 N
1 log3 N
2.2.1 对数与对数运算 换底公式及对数运算的应用
知识回顾
1.指数与对数的换算:
ab N b loga N
2.对数运算的三个常用结论:
(1)
loga
a
.
1
(2) loga 1 0
(3) aloga N N
复习回顾
对数的运算性质
如果a > 0,a ? 1, M 0, N > 0,那么
⑴ loga (MN ) loga M loga N 可推广到n个
⑵
M loga N loga M loga N
⑶ loga M n n loga M (n R)
①简记为：“积的对数 = 对数的和” “商的对数 = 对数的差
“n次方的对数”= 对数的n倍” ②注意公式的正用和逆用
③注意底数和真数的取值范围
知识探究（一）：对数的换底公式
思考1:假设 log2 5 x ，则