静定结构位移计算

一个虚设单位力 F=1，由此得到的力状态又称为虚设状态。
常用单位力设置情况
⑴需求某点沿某方向的线位移时，应在该点沿所求位移方向加一单位力
F=1，如图(a)。
⑵需求某截面角位移时，应在该截面处加一单位力偶矩 m=1，如图(b)。 ⑶需求某两点间相对线位移时，应在两点沿其联线方向加一对大小相等、
方向相反的单位力 F=1，如图(c)。
单位荷载法一次可求一个位移，当计算结果为正时，表示所求位移与 单位荷载指向相同，当计算结果为负时，表示所求位移与单位荷载指向相 反。
例5-1. 下图(a)所示悬臂梁的抗弯刚度 EI 为常数，求均布荷载 q 作用下 B
端的竖向位移By。
q
解：在 B 端加一单位力如图(b)所示， 坐标原点取 B 点。
(e)、 (f)分别为求杆件角位移和两杆相对角位移的虚设单位力状态。
1
Ad
d 1B
d
(e)
11
dd
A
C
dBd
1
1
d
d
(f)
5.2.4 结构位移计算的一般公式 5.2.4.1 荷载作用下的位移计算公式
略去推导过程，可得荷载作用下结构位移计算的一般公式为：
Δ
=
MP
(x)M(x)dx EI
+
kFQP
(x)FQ GA
轴向变形的影响，即：
Δ
=
M
P
(x)M(x)dx EI
+
FNP
(x)FN EA
(x)dx
*5.3 积分法求静定结构的位移
荷载作用下位移计算步骤 ⑴在需求位移处沿位移方向加上一个虚设单位荷载。
⑵由静力平衡条件，求出在单位荷载作用下结构的内力 FN 、FQ 、 M 。
⑶由静力平衡条件，求出在荷载作用下结构的内力 FNP、FQP、MP 。 ⑷由位移计算公式求出位移。
第五章 静定结构位移计算
5.1 位移计算概述
水平线位移
{ { 结构位移 线位移——结构上各点产生的移动。 竖向线位移 角位移——构件某一截面产生的转角。
见下图。
B
F Cx
C
C
Cy
C
Cy C Cx
x C FP D
E FP
A
{ 绝对位移
结构位移 相对位移
（见图）
A
B
图中x为 DE 的相对水平位移。
计算结构位移的目的有： ⑴校核结构的刚度。
Δ =
MP (x)M(x)dx + FNP FN L
EI
EA
（5-8）
（梁式杆）
（链杆）
*⑷拱和曲杆
对于一般的拱和曲杆，通常只考虑弯曲变形的影响，即可按梁和刚架
的计算公式计算 。 当拱轴线与压力线比较接近（两者的距离与杆件截面高度为同量级）
， 或计算扁平拱（ L 5）中的水平位移时，才需要同时考虑弯曲变形和 f
一般略去轴力和剪力的影响，只考虑弯矩的影响，有：
*⑵桁架
Δ
=
M
P
(x)M(x)dx EI
（5-6）
只考虑轴力的影响，一般情况下，每根杆件的轴力 FN、FNP 及抗拉刚度
EA 均为常数，故有：
Δ =
FNP (x)FNБайду номын сангаас(x)dx = FNP FN L
EA
EA
*⑶组合结构
（5-7）
梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影响，故有：
（5-1）
在下图中，用 W12 表示第一状态的力在第二状态的位移上所作的虚功，则
有：
W12=F12
F1
A
C
B
2
F1
(a)
A
C
B
A
C 2
B
第一状态（力状态） (b)
第二状态（位移状态） (c)
必须注意：在虚功中，力状态和位移状态是彼此独立无关的。
5.2.1.2 虚功原理
变形体虚功原理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的外力虚功，
⑷需求某两截面相对角位移时，应在两截面处加一对大小相等、转向相反
的单位力偶矩 m=1，如图(d)。
F=1 • A
(a)
m=1 •A
•A
F=1
(b)
F=1
•
B
(c)
•
B m=1
•A m=1
(d)
*⑸需求桁架某杆件角位移或某两杆相对角位移时，因桁架只受轴力，故
须将单位力偶矩 m=1 转化为
1 d
的结点力作用在该杆两端上，下图
等于第一状态的内力在第二状态的变形上所作的内力虚功。即：
外力虚功 W12 =内力虚功 W12
（5-2）
5.2.2 广义力和广义位移 广义力可以是力，也可以是力偶。 广义位移可以是线位移，也可以是角位移。广义位移包括绝对位移
和相对位移。 因此功的形式仍可用式（5-1）表示。
5.2.3 单位荷载法 利用虚功原理得到单位荷载法，即在所求位移处，沿位移方向加上
(x) dx
+
FNP
(x)FN EA
(x)dx
（5-5） 式中：MP、FQP、FNP ——实际荷载下杆件的内力。
M 、 FQ 、FN ——虚设单位力作用下杆件的内力。
EI、GA、EA——杆件的抗弯刚度、抗剪刚度、抗拉刚度。 k——剪力不均匀分布系数。
5.2.4.2 各类结构的位移计算公式
⑴梁和刚架
致的挠度为正，反之为负。 转角——横截面对其原来位置所转过的角度，用 表示，自x轴正向转向y
轴正向的 为正，反之为负。
5.2 位移计算的一般公式
*5.2.1 虚功和虚功原理 5.2.1.1 虚功
W=F 功 力 位移
见图5-2，图5-3 实功——作功的力与相应位移彼此相关时的功。 虚功——作功的力与相应位移彼此无关时的功。
一般将结构看作是由线弹性材料组成，线弹性材料有两个主要特性： ⑴结构的变形或位移与其作用力成正比，或应力与应变成正比。 ⑵结构的变形微小，服从叠加原理。 挠曲线——平面弯曲和弹性范围内加载情况下，变形后梁轴线弯曲成一条
y 光滑连续的平面曲线。此时，挠曲线为xy平面内的一条曲线。
A
挠曲线
B
x
x
P
挠曲线的方程为： y=f(x) 挠度——截面形心在垂直于梁轴线方向的线位移，用y表示，与y轴正向一
A l
x B (a) 单位力作用下的弯矩表达式为：
M = -x
1
实际荷载作用下的弯矩表达式为：
A l
B (b)
x
MP
=
-
qx 2 2
故 B 端竖向位移为：
ΔBy =
l MP (x)M(x)dx = 1
0 EI
EI
l (-
0
1qx2 )(-x)dx 2
=
1 qx4 [
EI 8
结构在使用过程中不允许产生过大变形，必须加以限制。 ⑵为制作和架设结构提供计算依据（如起拱，作图说明）。 ⑶为分析超静定结构作准备。 使结构产生位移的因素主要有三个： ⑴荷载作用。 ⑵温度变化和材料热胀冷缩。 ⑶支座沉降和制造误差。 计算结构位移的两种方法： ⑴以杆件变形关系为基础的几何物理方法。
如计算梁挠度、转角的重积分法。 ⑵以功能原理为基础的单位荷载法，即以虚功原理为基础的单位荷载法。