中考数学圆的综合-经典压轴题附答案

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案

一、圆的综合

1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.

（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.

【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=

+y x 02<≤x 1422

=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122

x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD

==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．

详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．

∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．

∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．

（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴

DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴

2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22

DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜

（3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM 中，222124

OD OM DM x =-=-． ∵2121224

x DM x y OD x x =∴=+-，．解得1422x -=，或1422x --=（舍）． （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO =α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M =90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA =2α＞90°．∵∠BOA ≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC 为等腰三角形时，x 的值为1422

-．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．

2．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12

，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．

（1）求⊙P 的半径；

（2）当AP=5△APM 与△PCN 是否相似，并说明理由．

【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，⊙P 与边AC 相切，则BD 就是⊙P 的半

径，利用解直角三角形得出BD 与AD 的关系，再利用勾股定理可求得BD 的长； （2）如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，根据垂径定理得出MN=2MH ，PM=PN ，再利用勾股定理求出PH 、AH 、MH 、MN 的长，从而求出AM 、NC 的长，然后求出AM MP 、PN NC 的值，得出AM MP =PN NC

，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.

【详解】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，

∵⊙P 与边AC 相切，

∴BD 就是⊙P 的半径，

在Rt △ABD 中，tanA= 1BD 2AD =， 设BD=x ，则AD=2x ，

∴x 2+(2x)2=152，

解得：5

∴半径为5

（2）相似，理由见解析，

如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，

∴PH 垂直平分MN ，

∴PM=PN ，

在Rt △AHP 中，tanA=

12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，

y 2+（2y ）2=（52

解得：y=6（取正数），

∴PH=6，AH=12，

在Rt △MPH 中， ()22356-，

∴MN=2MH=6，

∴AM=AH-MH=12-3=9，

NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴3535AM MP ==，35PN NC =，

∴AM

MP =

PN NC

，

又∵PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠AMP=∠PNC，

∴△AMP∽△PNC.

【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.

3．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．

（1）求证：AD=BD．

（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．

（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3

23

【解析】

分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；

（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得

△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出

ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；

（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I