平面问讲义题有限元法
第6章 用有限元法解平面问题
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移
题是如何求应变、应力。
位移模式
δi 为基本未知数的。问
e T δ ( δ δ δ 首先必须解决：由单元的结点位移 i j m T 来求出单元的位移函数 d (u ( x, y ) v ( x, y ) 。
应用插值公式，可由
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
--结点虚位移; --对应的虚应变。
o
x
图6-1
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概 念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 • 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 • 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 • 值计算方法。 • 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
应变
• 应用几何方程，求出单元的应变列阵：
u ε( x v y v u T ) x y ui vi 0 （ a） u cm j Bδe。 vj bm um v m
bi 1 0 2A ci
• 第八节
• 第九节 计算成果的整理 • • 第十节 计算实例 • 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程
第二章 弹性力学平面问题有限元法1资料
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
(2 1)
所谓单元分析，就是建立节点位移{}（基本未知量）和单元 内任意一点的：
❖ 位移{f}，
❖ 单元应变{ε} ，
❖ 单元应力{σ} ❖ 单元节点力{F}e
之间的关系，使{f}，{ε}，{σ}，{F}e等都用节点位移 {}e来表示。如此，则基本未知量{}e一经求得，其它各 量皆可随之而定。
换成
1
即可。
1
D
E(1 u) (1 )(1 2)
1
1
1
0 0
E 1 2
0
0
1 2
2(1 )
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力 与 应变 之间的关系均为：
D0
其中：
x y
式中 0 为初应变。
T xy
x
y
T xy
(a) 三结点三角形单元 (b) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩形单元
4）在厚度或材料常数有突变的地方，除了 应把这些部位的单元分得较小，较密一些以 外，还必须把突变线作为单元的分界线。也 就是说，在一个单元内部，只能包含一个厚 度和一种材料常数。
5）当整个弹性体区域在几何上具有对称轴，而载荷 又对称于该轴或反对称于该轴时，则其位移和应力 也必然具有这种对称性质。为了减少计算量，只需 取其一部分作为求解区域进行单元剖分和计算即可。
条边；当边界是曲线时，则在每小段上用相应的直 线近似地代替曲线而作为三角形单元的一边，如图 2-1
图2-1
单元的大小和数目要根据精度的要求和计算机容量来确定。
单元分得越小，结构计算越精确。因此，应当在计 算机容量的允许的范围内，尽可能地提高工程上的精 确要求，适当地确定单元的大小和数目。
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
第4章 平面问题有限单元法2ppt课件
vm
m (xm , ym)
y
ox
um
vi
i (xi , yi)
e
vj
uj
ui
j (xj , yj)
Fmy m (xm , ym)
Fiy
i (xi , yi)
e Fix
y
ox
Fmx
Fjy
Fjx j (xj , yj)
单元节点位移
单元等效节点力
ui
e
i j
m
vi
u v
j j
KeeFe0
精品课件
12
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
已经求出了下列关系
Fe (6) BTtA
(6╳3)
(3)
D (3)
(3╳3)
e
B
(3╳6)
S [ D][ B]
(3╳6)
Ke [ B]T[ D][ B]tA
(6╳6)
精品课件
13
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)
vm
该单元为常应变单元
精品课件
{}[B]{}e
[B]矩阵称为应变矩阵
8
单元分析流程
（3）应变
应力
解决办法：弹性力学物理方程 D
代入 {}[B]{}e
回顾
得 DBe
SDB
[S]矩阵称为应力矩阵。
精品课件
{}[S]{}e
9
例：对于平面应力问题
B21Abc0ii
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性： K e 是对称矩阵 2)奇异性： K e 是奇异矩阵 Ke 0
第3章 平面问题的有限元法
3节点三角形单元：
u a1 a2x a3 y v a4 a5x a6 y
4节点四边形单元：
u a1 a2x a3 y a4xy v a5 a6x a7 y a8xy
面积坐标的性质：
1. Ai Aj Am A
Li Lj Lm 1
Li，Lj，Lm中只有两个是独立的。
2.三角形三个角点处
i(1,0,0) j(0,1,0)
m(0,0,1)
3.三条边上 i-j:Lm=0 j-m:Li=0 m-i:Lj=0
推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线 上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。
Lm Nm
即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数。
所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：
u Liui Lju j Lmum Liui
v Livi Ljv j Lmvm Livi
将面积坐标的表达式：
Li
Ai A
1 2A
(ai
bi x ci y)
写成矩阵形式：
Li
L
j
能量法与数学工具—变分法的结合，导出虚位移（虚功 ）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得 到发展而更趋完善。
4.单元刚度矩阵
单元节点力列阵：
F e Fxi Fyi Fxj Fyj Fxm Fym T
单元节点虚位移列阵： e ui vi u j v j um vm T
节点力在虚位移所做的功：
2.对称性的利用
利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称， 可以取一半来分析；若对于x轴和y轴都对称，可以取四分之 一来分析。
3.单元的划分原则
➢通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分 布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点
3-弹性力学平面问题的有限元法
3 彈性力學平面問題的有限元法本章包括以下的內容：3.1彈性力學平面問題的基本方程3.2單元位移函數3.3單元載荷移置3.4單元剛度矩陣3.5單元剛度矩陣的性質與物理意義3.6整體分析3.7約束條件的處理3.8整體剛度矩陣的特點與存儲方法3.9方程組解法3.1彈性力學平面問題的基本方程彈性力學是研究彈性體在約束和外載荷作用下應力和變形分佈規律的一門學科。
在彈性力學中針對微小的單元體建立基本方程，把複雜形狀彈性體的受力和變形分析問題歸結為偏微分方程組的邊值問題。
彈性力學的基本方程包括平衡方程、幾何方程、物理方程。
彈性力學的基本假定如下：1）完全彈性，2）連續，3）均勻，4）各向同性，5）小變形。
3.1.1基本變數彈性力學中的基本變數為體力、面力、應力、位移、應變，各自的定義如下。
體力體力是分佈在物體體積內的力，例如重力和慣性力。
面力面力是分佈在物體表面上的力，例如接觸壓力、流體壓力。
應力物體受到約束和外力作用，其內部將產生內力。
物體內某一點的內力就是應力。
圖3.1如圖3.1假想用通過物體內任意一點p 的一個截面mn 將物理分為Ⅰ、Ⅱ兩部分。
將部分Ⅱ撇開，根據力的平衡原則，部分Ⅱ將在截面mn 上作用一定的內力。
在mn 截面上取包含p 點的微小面積A ∆，作用於A ∆面積上的內力為Q ∆。
令A ∆無限減小而趨於p 點時，Q ∆的極限S 就是物體在p 點的應力。
S A QA =∆∆→∆0lim應力S 在其作用截面上的法向分量稱為正應力，用σ表示；在作用截面上的切向分量稱為剪應力，用τ表示。
顯然，點p 在不同截面上的應力是不同的。
為分析點p 的應力狀態，即通過p 點的各個截面上的應力的大小和方向，在p 點取出的一個平行六面體，六面體的各楞邊平行於坐標軸。
圖3.2將每個上的應力分解為一個正應力和兩個剪應力，分別與三個坐標軸平行。
用六面體表面的應力分量來表示p 點的應力狀態。
應力分量的下標約定如下：第一個下標表示應力的作用面，第二個下標表示應力的作用方向。
第4章 平面问题的有限元法-1离散化ppt课件
第四章 平面问题的有限单元法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 有限元法基本思想和解题步骤 三角形常应变单元 形函数的性质 刚度矩阵 等效节点力载荷列阵 矩形单元 收敛准则 有限元分析的步骤 计算实例
第一节
有限元法基本思想和解题步骤
R y R y R
o R
(a)
x R
o
(b)
x
四、有限元计算中要解决的二个问题
划分单元后，得到有限元的计算模型，按照分析杆 件结构同样的思路去分析平面问题，但在分析中要解决 两个问题： 1．有限元模型中各单元之间只以节点相连，为了 与真实问题一致，应保证受力变形过程中单元之间在边 界上“不开裂”也不互相“挤入”，即：应该保证在变 形过程中，相邻单元的位移在交界边上是相同的、连续 的。 2．单元刚度矩阵的确定。平面问题的单元刚度矩 阵本身就是一个连续体问题，不能像杆单元一样直接通 过计算得到。
②单元的大小，可根据部位不同而有所不同。 一般在应力比较大的、变化较快的、有应力集中的部位取较 小的单元；在不太重要的、应力较小、变化不大的部位取较 较大的单元。 如图所示受拉的带孔平板，在孔心有应力集中，为危险 区域，所以取较密网格。
③单元各边的长度（或三个顶角）不要相差太大，否则会在 计算中出现过大的误差，影响求解的精度。
问题： 单元的选取、结构的离散化应考虑哪些因素?
3. 选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获 得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单 元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的 项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数 项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的 类型而定。 （4-1） f N e
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
平面问题的有限元法(推荐完整)
§3.1.1 单元位移模式与插值函数
节点编m逆时针转向为正
自由度：
节单点元位 节移 点： 位移向ai量：uvii
(i
,
j,m
)
ui
ae
ai aj
am
uvvijj
为坐标 x、y 的一次函数。
第三章 平面问题的有限元法
§3.1.1 单元位移模式与插值函数
u Niui N ju j Nmum v Nivi N jv j Nmvm
（3.1.7）
其中：Ni
1 2A
ai
bi x
ci
y
（3.1.8）
i, j, m
—— 单元插值函数或形函数
cmvm
其中：
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
1
bi
1
y j y j ym i, j, m
ym
1 ci 1
xj 如xm：i
x
j j,
表示下标轮换
xm
j m, m i
第三章 平面问题的有限元法
§3.1.1 单元位移模式与插值函数
2. 位移插值函数
将求得：1 ~ 6 代入位移表达式（3.1.1）,有
u Niui N ju j Nmum v Nivi N jv j Nmvm
（3.1.7）
其中：Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
（3.1.8）
i, j, m
Ni , N j , Nm —— 称为单元的插值函数或形函数，
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
平面问题有限元例题
0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0
1
3 0
0
4
0
0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 2 0 0 1
1 2 1 5 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 1 0
0
1
6
E 4
0 0
0 0
0 1
0 0
00 00
0 3
0 0 1 2 0 0 1
0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 1 2 1 0 0
4 3 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 00 0
0 1
0 0
0 0
0 0
2 0 1 1
2
0
0 返1回Βιβλιοθήκη 6所以结构总方程为：
R K
其中
R 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 T
考虑到边界条件：
u1 u2 u3 v4 v5 v6 0
返回
用对角元乘大数法消除奇异性后的结构总体方程为：
0
1
1
0
1 1
i
k 3
E 4
0 0
1 0
1 0
0 2
1 1 0 2
j
2 1 1 0 3 1
m
0 1 1 2 1 3
各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关 系见表3-2。
弹性力学平面问题有限元法61页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基Βιβλιοθήκη 谢谢！弹性力学平面问题有限元法
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
弹性力学平面问题的有限元法
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
弹性力学平面问题有限元法
度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
z
C
τ zx +
∂τ zx dz ∂z ∂τ yz σx ∂τ xz dy τ yz + τ xz + dx ∂y ∂x fz τxy τyx ∂σ y fy fx σy + dy ∂τ xy τxz σy ∂y τ xy + dx ∂τ yx ∂x ∂σ x τ yx + dy σx + dx ∂y ∂x τ B
yz
σz +
∂σz dz ∂z ∂τ zy dz τ zy + ∂z
P
τzy
τzx
A
σz
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P 经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为： PA = ∆x, PB = ∆y, PC = ∆z。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。 解为一个正应力和两个切应力。正应力用 σ 表 表示。 示，切应力用 τ 表示。 应力下标的含意： 应力下标的含意：
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
τxy 1 εx = σx −v(σy +σz ) γ xy = E G τ yz 1 ε y = σy − v(σx +σz γ yz = E G τxz 1 εz = σz −v(σx +σy ) γ xz = E G
σx =λθ +2Gεx τxy =Gγxy σy =λθ +2Gεy τyz =Gγ yz σz =λθ +2Gεz τxz =Gγxz
θ = εx + ε y + εz
有限元法 平面问题
(i = 1,2,3,4) (i = 5,7 ) (i = 6,8)
( (
) )
1 4 ξ iη iξη (1 + ξ iξ )(1 + η iη ) 1 η iη 1 − ξ 2 (1 + η iη ) Ni = 2 1 ξ iξ 1 − η 2 (1 + ξ iξ ) 2 1 − ξ 2 1 −η 2
* T e * T T e
e
T
e
[k ] = ∫∫ [B ] [D][B ]tdxdy
T
{R} = [k ]{δ }
e
e
[k ] = [B ]T [D][B ]t∆
§4-3 形函数的性质
形函数 Ni 在结点 i 上的值： Ni (xi , yi ) = 1 (ai + bi xi + ci yi ) = 1 而在其余两结点上的值则为零。
任意点应力
{σ } = [D]{ε } = [S1 S2 S3 S4 ]{δ }e
µaηi (1 + ξiξ ) bξi (1 + ηiη ) [Si ] = E 2 µbξi (1 + ηiη ) aηi (1 + ξiξ ) 4ab 1 − µ 1 − µ 1− µ aηi (1 + ξiξ ) bξi (1 + ηiη ) 2 2
平面应变问题
σ x ≠ 0, τ xy ≠ 0, ε x ≠ 0, γ xy ≠ 0, σ y ≠ 0, τ yz = 0, ε y ≠ 0, γ yz = 0, σ z ≠ 0, τ zx = 0 εz = 0 γ zx = 0
§4-2 三角形常应变单元
一、离散化
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)
第2章 弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m 3)为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)12u u x y x yααα+46y ==+ 5(,)v v x y x ααα+==+ (2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将13个结点坐标(x i,3iy y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程: 12i i u x ααα+3=+12j j j x y u αα=+α+3m y (a)12m m u x ααα=++46i y和5i i v x αα=+α+465j j j x y v αα=+α+46m y (b)5m m v x ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :211A Aα=22A 3A Aα=3Aα=式中行列式:2111i i 1i i i j m j j m m u x y A u x y u x y =j jm mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A 2111i i j j m mAx y A x y x y x u x u ===A为△ijm 的面积,只要A不为0,则可由上式解出:112i i j j a u a u ()m m a u A α=++21(2i ij j bu b u )m m b u A α=++ （C）312i i j j c u c u ()m mc u A α=++i j a x y =−j i y x y =−m i j j i y x y 式中:m m j x y a x a x m m i =−y m y y =−m i j y ym i j b y =− b b j i =− （d）3c m i j x x =− j i c m x x =−m j i c x x =−m iy x y =−m为了书写方便，可将上式记为: a xm i j b i jy y =−(,,) i u j m uu u ruuu u r i jc m x x =−(,,)i j m uuu u r uuu u r)m m N x y u N x y u N x y u =++)m x y v 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。