(完整版)勾股定理复习讲义

2

1E

D

C B

A

勾股定理复习

班级______姓名_________

一．知识归纳

１．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么____________, 2.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边 如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2

c 与2

a +2

b 是否具有相等关系.

若2c =2a +2b ，则△ABC 是 ；若2c ≠2a +2

b ，则△ABC 不是 .

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为_____整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等

题型一：直接考查勾股定理

例１.（1）在ABC ∆中，90C ∠=︒，17AB =，15AC =，BC ＝

（2）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝

（3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 （4）已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm

练习1：求下列阴影部分的面积：

（1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ；

2：如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10， BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为

例2.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长

D

C

B

A

题型二：勾股定理的逆定理及判断三角形的形状

例3.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =

D C

B

A

练习1

：已知()2

1213x y -+-与2

1025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为边的三角形是 三角形。（填“直角”、“等腰”、“任意”）

2、若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．

3．如图网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求△ABC 的面积；（2）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．

题型三：勾股定理与方程思想的结合

例4、已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.

练习．一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为 ．

题型四：勾股定理在折叠问题中的应用

例5、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

C

B

A

D

练习、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．

题型五：实际问题中应用勾股定理

例6、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道

上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多

少元钱?

练习1．如图，长方体三条棱的长分别为4cm，3cm，2cm，蚂蚁从A1出发，沿长方体的表面爬到C点，

则最短路线长是cm．

练习2．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO

方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

5m

13m

例7、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发.现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB,如图13所示.为了安全起见,爆破点C 周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否需要暂时封锁? 请通过计算进行说明。

练习1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．

（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

练习2．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？