平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用

-----高三专题复习课教学案例

福建省福州格致中学宋建辉

一、引言：

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。正因为如此，在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识。

二、背景:

向量知识在许多国家的中学数学教材中，早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后，向量虽然已进入中学，但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强。鉴于这种情况，结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识。

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此，本节课这样设计：

1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性。

2、通过例

3、例4两个问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

三、问题：

例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC 中∠C=900，求证：222AB AC BC =+

证明：因为AC ⊥BC 所以0AC BC ⋅=

又AB AC CB =+，两边平方得： 222222AB AC AC CB CB AC CB =+⋅+=+

即222AB AC BC =+ 评注：对照老教材，勾股定理推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言

而喻。类似的命题还很多。

例2、利用向量知识来推导点到直线的距离公式。

已知点P 坐标( x 0,y 0 )，直线l 的方程为 Ax+By+C=0，P 到直线l 的距离是d ，则

证明：当0B ≠时，在直线l 上任取一点，不妨取1(0,)C P B

-，直线l 的法向量(,)n A B =，由向量的射影长知识得点P 到直线l 的距离等于向量1PP 在向量n 方向上

的射影长度d ，1PP =（00(,)C x y B

+， 100(,)n

C d PP x y B n ∴=⋅=+=当B=0时，可直接有图形证明（略）。

评注：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，

充分体现了向量的工具性和优越性。

四、问题的解决：

例3、（2000年全国高考题）椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。

解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）

21PF F ∠ 为钝角

∴

123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=

-⋅-（ =9cos

2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5

53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为

钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求

22

PA PB +的最大值和最小值。

分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。

解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=

0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-又由中点公式得2PA PB PO += 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅

=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-

=224222(

PO OA OB OP OP -⋅-+⋅ =2

22OP +

又因为{3,4}OC = 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP == 且OP OC CP =+所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+

即37OP ≤≤ 故2222022100PA PB OP ≤+=+≤

所以22PA PB +的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。 例5、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)||||(AC AC

AB AB

OA OP ++=λ，[)∞∈＋，

0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 分析：因为||||AB AC AB AC AB AC 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB

AC

OP OA AP AB AC λ-==+，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12v v 、；

（2） 求出角平分线的方向向量1

212v v v v v =+

（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P （00,x y ），

其方向向量为(,)v a b ，其方程为00x x y y a b

--=} 应用：（1999年全国高考题）如图，给出定点A(a,0) (a>0)和直线l ：x=-1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系