平面向量在解析几何中的应用
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物
2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
解析几何教学中应渗透平面向量方法.
解析几何教学中应渗透平面向量方法武山县第三高级中学 王建华平面向量是高中数学教材改革新增加的内容之一，它是既有大小，又有方向的一个几何量.也就是说，平面向量既能像实数一样进行运算，也有直观的几何意义，是数与形的有机结合，可灵活实现形与数的相互转化.平面向量理论渗透在解析几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题，其方法是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理、求解问题转化为向量运算，完全变成了代数问题.一、确定直线的两个重要向量 1、直线的方向向量我们已经知道，两点确定一条直线，把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1，由P 1（x 1 , y 1）、P 2（x 2 , y 2）确定直线P 1P 2 的方向向量是P 1P 2 =（x 2 - x 1 , y 2 - y 1）.当直线P 1P 2与x 轴不垂直时有x 2≠x 1 , 这时直线的斜率为1212x x y y k --=而向量121x x - P 1P 2也是直线P 1P 2的方向向量，它的坐标是121x x （x 2 - x 1 , y 2 - y 1）. 即(1,k) 就是直线P 1P 2的方向向量,其中k 是直线P 1P 2的斜率. 2、直线的法向量和直线垂直的向量都称为该直线的法向量.如图2,设直线l 有法向量n =(A,B),且经过点P 0(x o ,y o ),取直线l 上任一点P(x,y),满足n ⊥P 0P,因为P 0P=（x – x o , y – y o ）,根据向量垂直的充要条件得A （x – x o ）+B( y – y o ) = 0 这个二元一次方程由直线l 上 一点P 0(x o ,y o ) 及直线的法向量n =(A,B) 确定,称为直线的点法式方程.反过来,如果直线l 有一般方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）,（1）若A ≠0时，该方程可化为A(x +AC)+B(y - 0) = 0 这是过点(-AC,0),且法向量为n =(A,B) 的点法式直线方程； （2）若B ≠0时，该方程可化为A(x -0)+B(y +BC) = 0 这是过点(0,-BC),且法向量为n =(A,B) 的点法式直线方程. 因此,n =(A,B)就是直线Ax+By+C=0的法向量. 设向量a =(-B,A),由a 与n 的数量积a ·n = -B ×A+A ×B=0所以a ⊥n ,从而向量a =(-B,A)是直线Ax+By+C=0的方向向量.由于直线的方向向量、法向量可以从直线的一般式直接写出,应用这两个重要向量解决某些问题比较便捷.二、平面向量与直线间的位置关系设直线l1与l2的方程分别是l1 :A1x+B1y+C1=0l2 :A2x+B2y+C2=0那么，n1=( A1, B1)和n2=( A2, B2)分别是直线l1与l2的法向量.2,那么n1∥n2,而n1∥n2的充要条件是n1=λn2得，消去λ得A1B2-A2B1=0由此可知, A1B2-A2B1=0是直线l1∥l2的充要条件.当A2 B2≠0时可表示为2121BBAA=，即对应坐标成比例.(2) 如果l1⊥l2 ,那么n1⊥n2,反过来也正确.而n1⊥n2的充要条件是n1·n2=0, 得A1 A2+B1 B2=0,所以直线l1⊥l2的充要条件是A1 A2+B1 B2=0.例1（1998年上海高考卷16题）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与直线bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析：易知两直线的法向量分别是n1=( sinA,a)和n2=( b,-sinB)由正弦定理知BbAasinsin=，即bsinA+a(-sinB)=0∴n1·n2=0有n1⊥n2，所以两直线是垂直的，选C.(3)更一般地,由直线的法向量可求两直线的夹角.设直线l1与l2的夹角为α,其法向量的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以cos α=|cos θ|. 由向量的夹角公式||||cos 2121n n n n ⋅⋅=θ,及n 1·n 2 =A 1 A 2+B 1 B 2 、| n 1|=2121B A +、| n 2|=2222B A +得两直线的夹角公式为222221211221||cos BA BA B A B A +++=α例2(2000年全国高考文科8题)已知两直线l 1:y=x,l 2:ax-y=0,其中a 为实数,当这两条直线的夹角在(0,12π)内变动时,a 的取值范围是 A(0,1) B(33,3) C(33,1)⋃(1, 3) D(1, 3)解析:两直线的法向量分别为(1,-1)、（a,-1）,由夹角公式得12|1|cos 2++=a a α=)1(2)1(22++a a ，夹角α在(0,12π)变动时， 有)1,426(cos -∈α,于是得426-<)1(2)1(22++a a <1， 解这个不等式得33<a<1或1<a<3，故选C. 三、平面向量与解析几何中角的问题任意两个不共线的非零向量a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，由夹角公式222221212121||||cos yx yx y y x x b a ba +++=⋅⋅=θ知, cos θ的正负直接由分子x 1 x 2+y 1 y 2来确定，于是得到如下结论：（1） 若θ为锐角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2>0 ,即a ·b>0 （2） 若θ为直角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2=0 ,即a ·b=0 （3） 若θ为钝角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2<0 ,即a ·b<0因此，两个向量夹角的范围由它们的数量积的正负所确定.例3（1994年全国高考8题）设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1P F 2=90°，则△F 1P F 2的面积是A 1B 23C 2D 5解析：易知F 1（-5,0）和F 2（5,0），设P 点坐标为（x o ,y o ）, ∴ F 1 P=( x o +5, y o ), F 2 P=( x o -5, y o ). 由∠F 1P F 2=90°知F 1P · F 2 P=0于是得( x o +5)( x o -5)+2o y =0 即 2o x +2o y -5=0 ①又点P （x o ,y o ）在双曲线上， 有1422=-o oy x ②联立①②可得 55||=o y ， ∴S △F1P F2=1555221||||2121=⋅⋅=⋅o y F F ,故选A 例4（2000年全国高考14题）椭圆14922=+y x 的焦点为F 1 、F 2，点P 为其上一动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是_______.解析：易知a=3,b=2，故c=52322=-. ∴F 1（-5,0）,F 2（5,0）,设P(x,y)，则P F 1=（-5-x ,y ）, P F 2=（-5+x ,y ） 由∠F 1P F 2是钝角得 P F 1·P F 2 <0 ∴2)5)(5(y x x +---<0 即x 2+y 2-5<0①又点P(x,y)在椭圆上, 得14922=+y x ②联立①②得 592<x ∴-553 < x < 553 四、平面向量与解析几何中共线问题三点共线是解析几何中常见问题之一，用向量法解决共线问题思路显得直接了当.一般方法是根据向量共线的充要条件,只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系就行了.就是说三点A 、B 、C 共线,仅要AB=λAC 或AB=λBC （λ∈R ） 成立. 用坐标表示 , 如果A(x 1, y 1) , B(x 2 , y 2), C(x 3 , y3)三点共线 , 有(x 2 -x 1, y 2 -y 1) =λ(x 3 -x 1, y 3 -y 1)，消去λ得 (x 2 -x 1) (y 3 -y 1) -(x 3 -x 1) (y 2 -y 1)=0 或13121312y y y y x x x x --=--( x 3≠x 1 ，y 3 ≠y 1). 例5(2001年全国高考19题) 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，求证：直线AC 经过原点O. 解析：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），F （2p ,0）由BC ∥x 轴得C （-2p , y 2）∴FA=（x 1-2p , y 1），FB =（x 2-2p ,y 2）OA=（x 1,y 1）， OC =（-2p , y 2）∵FA 与 FB 共线∴（x 1-2p ）y 2 -（x 2-2p ）y 1=0，而x 1=p y221， x 2=py 222代入上式得y 1 y 2= -p 2又∵0222222)2(1111211221121=+-=+=+=--y py p y p y p y y y p y p y y p y x∴OA 与OC 是共线向量，即A 、O 、C 三点共线 ∴直线AC 经过原点O.例6(2003年全国高考22题)已知常数a>0，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图4）， 问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离和若不存在，请说明理由。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用近年来，向量知识在平面解析几何中的应用受到越来越多的关注。
解析几何是研究二维空间上的几何图形，其中向量知识通常是帮助理解和解决几何问题的重要工具。
举例来说，本文将重点介绍平面解析几何中向量知识的三个典型应用，包括表示几何对象、分析基本性质和构造几何图形。
首先，表示几何对象是平面解析几何中最基础、最重要的应用。
在几何学中，我们往往会用向量来表示一个几何对象，其中向量可以表示一个点、一条直线或一个平面。
例如，我们可以用向量P = (x, y)表示一个平面上的点P，而用向量A = (a, b, c)表示一条直线A，用向量N = (n1, n2, n3)表示一个平面N。
不仅如此，我们还可以用向量来表示几何对象之间的位置关系，其中向量和运算可以表示平面上点与点、点与直线、直线与直线的距离或垂直关系。
其次，分析基本性质是平面解析几何中常用的应用。
在平面解析几何中，我们可以利用向量知识来分析几何对象的基本性质，比如线段的长度、平行线间的距离或者大圆弧的弧长等等。
计算这些基本性质往往要求我们掌握向量的加减运算以及向量的点积与叉积。
同时，我们可以利用向量知识来确定点与点之间的距离、点在直线上的坐标、直线与直线的位置关系等等，这些知识的应用可以大大提高我们的解决能力。
最后，构造几何图形也是向量知识在平面解析几何中的重要应用。
一般来说，在解析几何中，我们往往要根据给定的构造要求绘制几何图形，这要求我们充分运用向量知识来确定各个图形的位置关系和几何性质。
例如，我们可以根据给定点P、Q和R，通过运用向量知识来构造三角形PQR，或者根据给定的直线ABC点，通过运用向量知识来构造向量AB和向量AC的夹角等等。
综上所述，向量知识在平面解析几何中有着重要的应用。
它不仅可以帮助我们更好地表示几何对象，分析基本性质，还可以用来构造几何图形，有效地指导我们解决几何问题。
因此，学习和掌握向量知识对于掌握平面解析几何是至关重要的。
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中，平面向量方法是一种常用的解题方法。
它主要应用于平面几何、线
性代数和解析几何等领域。
下面将从几个方面分析平面向量方法在高中数学解题中的应
用。
在平面几何中，平面向量方法可以用于解决平面上的点、线、面的位置关系问题。
通
过引入向量的概念和运算法则，可以用向量的加减、数量积等操作来表示和计算线段、向
量的长度、夹角、平行关系等几何性质。
可以用向量来证明平行线之间的距离相等、求解
点在直线上的投影等问题。
在线性代数中，平面向量方法可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组写成矩阵
乘法的形式，并用向量表示未知数，可以将求解线性方程组的问题转化为求解向量的线性
组合的问题。
利用向量的性质和运算法则，可以通过增广矩阵的行变换来求解未知数的值。
可以用向量法解决线性方程组的解的存在唯一性以及解的求法等问题。
平面向量方法还可以用于解决高等数学中的微分和积分问题。
通过将函数表示为向量
函数，可以简化微分和积分的运算过程。
可以用向量函数求导来计算曲线的切线和法线，
用向量函数积分来计算曲线的弧长和面积等问题。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有什么应用？向量法的概念是一个数学家发现的，发现过程很有趣。
向量法可以说是比较好地把向量与三角形、四边形、多边形结合起来的方法。
也就是说，在平面上进行立体几何中的平面图形的分析时，不能够再像做三角形或四边形那样，要用向量的知识来分析问题了。
我们还必须要在向量法的基础上再进行讨论。
在向量法中，分析立体几何中的一些特殊的向量时，它们的值是比较容易确定的，并且只需要写出向量的方向和大小，然后用向量法计算。
我们还经常利用向量法来判断一些曲线上点的坐标，如果知道了向量的方向，也就找到了点的坐标。
向量法在立体几何和解析几何中也广泛存在，如果我们没有掌握这种方法，那么对一些公式或结论的理解将会出错。
在立体几何中，如果立体几何中的所有向量都已经知道了其方向和大小，并且知道其他所有向量之间的关系，那么这个立体几何中的所有结论就都可以推导出来了。
又如，在平面几何中，如果一个向量和另外两个向量在平面内不相交，那么它们的关系就只是垂直于平面的平行线，但当知道这个向量的方向和大小时，我们就可以进行讨论了。
第二种说法：因为向量是表示物体位置的重要工具。
它在立体几何中显得尤为重要。
因为这个几何中的向量可以用三维空间中的点的坐标来表示。
而在解析几何中也广泛存在，如果没有这种方法，就没有办法准确地解决一些与向量有关的问题。
在解析几何中，一般情况下，一条直线可以有无数条方向。
比如有，在解析几何中一条直线可以有无数条方向。
比如有x、 y两个方向，它们的夹角为0。
在解析几何中，我们还可以对向量法进行总结，如果是三维空间的立体几何，那么在这个立体几何中的所有向量都是共面的，并且一组向量的方向是唯一的。
如果是二维的平面几何，则一组向量的方向是唯一的，并且一组向量的方向是共面的。
我们还可以通过坐标和向量来求解一些问题，通过观察三个点a、 b、 c之间的关系，可以得到向量a、 b、c的长度，并且通过坐标来表示。
向量在解析几何中的应用
第一章引言1。
1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化。
向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．1。
2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用。
2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用。
5、向量在平面其它方面的应用。
第二章 向量法在有关平面问题中的应用2.1 向量的基础知识1。
向量分解定理定理1 如果向量10e ≠，那么向量r 与向量1e 共线的充分条件是r 可以用向量1e 线性表示，或者说r 是1e 的线性组合，即1r xe =,并且系数x 被r ,1e 唯一确定.定理2 如果向量1e ,2e 不共线,那么向量r 与向量1e ，2e 共面的充要条件是r 可以用向量1e ，2e 线性表示，或者说r 可以分解成1e ,2e 的线性组合,即12r xe ye =+，并且系数, x ，y 被r ,1e ，2e 唯一确定.这时1e ,2e 叫做平面上向量的基底。
平面向量与解析几何综合应用问题汇总
平面向量与解析几何综合应用问题汇总由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。
而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。
近几年全国各地的高考试题中，向量与解析结合的综合问题时有出现。
但从最近教学情况来看，学生对这一类问题的掌握不到位，在试卷上经常出现进退两难的境地，因此，就这一问题做一归纳总结和反思。
平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
主要包括以下三种题型：1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。
例1. (全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值。
解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得 02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+ 设(,)OM x y =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ .0329233)(34))((33832222212121212121222222221=+-=++-=--+=+=+-=c c c c c x x x x c x c x x x y y x x c ba b a c a x x又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1. 例2（天津卷）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c, 0）(c ＞0)的准线l 与x 轴相交于点A,.2FA OF = 过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用0 引言高三数学复习课教学，是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师，如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，是高三数学复习课必须追求的目标.因此，结合自己高三数学教学的实际情况，进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识.1 背景向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点.而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索研究系性学习教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此，本节课这样设计：1）教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性.2）通过问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担.2 问题例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.已知点P坐标（x■，y■），直线l的方程为Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则d=■.证明：当B≠0时，在直线l上任取一点，不妨取P■（0，-■），直线l的法向量■=（A，B），由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量■在向量■方向上的射影长度d，■=（x■，y■+■），∴d=■·■=（x■，y■+■）·■=■当B=0时，可直接有图形证明（略）.点评：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性.例2.（2009浙江文）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若■=2■，则椭圆的离心率是（）A.■B.■C.■D.■解析：对于椭圆，因为■=2■，则OA=2OF，∴a=2c，∴e=■选D.点评：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手.例3.已知定点A（-1，0）和B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求PA■+PB■的最大值和最小值.图1解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：■=（-1，0），■=（1，0），∴■+■=0，■·■=-1又由中点公式得■+■=2■所以■■+■■=（■+■）■-2■·■=（2■）■-2（■-■）·（■-■）=4■■-2■·■-2■■+2■·（■+■）=2■■+2又因为■={3，4}点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，所以■=5，■=2，且■=■+■所以■-■≤■=■+■≤■+■即3≤■≤7 故20≤■■+■■=2■■+2≤100所以PA■+PB■的最大值为100，最小值为20.点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手.3 反思由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：第一，如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性.第二，如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识.第三，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性.最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识.。
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念，它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。
本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段，用符号表示。
设向量A的起点为点P，终点为点Q，记作A=→PQ。
平面向量还可以用坐标表示。
设A的坐标为(x1, y1)，起点在原点O，则A=→OP=(x1, y1)。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量A=→PQ，向量B=→RS，则A+B=→QS。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。
设有向量A=→PQ，k为实数，则kA=→P'Q'，其中P'为向量A的起点，Q'为向量A的终点，且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。
3. 内积运算内积也称点积，表示两个向量的数量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A·B=x1x2+y1y2。
4. 外积运算外积也称叉积，表示两个向量的向量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。
三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算，我们可以研究解析几何中的一些常见问题。
1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则点A和点B构成的直线的方程可以表示为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0)，直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0)，则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2，L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。
3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ，向量B=→RS，夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为：cosθ=(A·B)/(|A||B|)。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
初中数学平面向量
初中数学平面向量一、引言数学中的向量是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
在初中数学中，学习平面向量是数学教学的一个重要内容。
平面向量在几何图形的运动、力的合成以及解析几何中都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中平面向量的定义、性质、运算及应用。
二、平面向量的定义平面向量是有大小和方向的量，可以表示为箭头形式。
假设有向量AB，其中A和B为向量的起点和终点，用→ AB表示。
平面向量可由坐标表示或单位向量表示，坐标表示为(AB) = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。
单位向量表示为ā，即平面上的一个长度为1的向量。
三、平面向量的性质1. 平行性质：若两个向量的方向相同或相反，则它们平行；若两个向量的方向垂直，则称它们垂直。
2. 大小性质：向量的大小由向量的模表示，模记作|AB|。
向量的大小与其坐标的绝对值相关。
3. 零向量：零向量记作o，表示起点和终点相同的向量。
4. 逆向量：若向量AB的模为a，则向量BA的模为a，称其为向量AB的逆向量。
5. 直角三角形法则：若有两个向量AB和AC，则向量AB与向量AC的合向量为向量AD，其中D为以AC为一边，高为AB的直角三角形的顶点。
四、平面向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即，若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量CD+向量AB。
2. 向量的减法：若有向量AB和向量CD，则向量AB-向量CD = 向量AB+向量DC。
3. 数乘：数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
若有向量AB和实数k，则k倍的向量AB表示为kAB。
4. 向量的共线与共点：向量AB与向量CD共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB = k向量CD。
向量AB与向量CD共点的充分必要条件是向量AB-向量CD为零向量。
5. 平移向量：平移向量是指一个向量加上同一个平移向量后仍保持平行关系。
若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量AD，其中AD代表向量AB平移向量CD得到的新向量。
平面向量的投影和投影的应用
平面向量的投影和投影的应用平面向量是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们描述平面上的运动、力的作用和几何形状等问题。
在平面向量的应用中，投影是一个非常基础且常见的概念，它在解决各种问题中起到了至关重要的作用。
本文将对平面向量的投影及其应用进行详细介绍。
一、平面向量的投影在平面解析几何中，我们常常需要求解一个向量在另一个向量上的投影，以获得某种几何量的大小或方向。
投影的计算方法可以借助向量的数量积来实现。
设有两个非零向量a和b，向量b是a的单位向量。
此时向量a在向量b上的投影即为向量a在b方向上的长度，记作Projba。
我们可以通过如下公式来计算投影的大小：Projba = |a|cosθ其中，|a|表示向量a的长度，θ表示向量a与向量b之间的夹角。
根据上述公式，我们可以发现投影的大小与向量a的长度和夹角θ有关。
当夹角θ等于0时，投影的大小达到最大值，即Projba = |a|。
当夹角θ等于90度时，投影的大小为0，此时向量a与向量b垂直。
二、投影的应用投影作为一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
以下是一些投影的常见应用：1. 力的分解力是物体在受到外力作用时所具有的一种物理量。
在物理学中，我们经常需要将一个力分解为与某个物体有直接关系的分力和正交于该物体的分力。
通过对力的分解和投影的应用，我们可以更好地理解力的作用方式，并且计算其在某个方向上的大小。
2. 三角形的面积在解决几何问题时，我们经常需要计算三角形的面积。
平面向量的投影可以帮助我们得到三角形的高，从而方便地计算其面积。
通过将三角形的一条边作为基底向量，将另外两个顶点与基底向量之间的向量投影到基底向量上，即可求得三角形的面积。
3. 直线的垂直判定在解析几何中，我们常常需要判断两条直线是否垂直。
通过将两条直线的方向向量进行投影，若投影结果为0，则可以判定两条直线互相垂直。
4. 空间向量的投影除了平面向量，投影的概念同样适用于空间向量。
空间向量投影的计算方法和平面向量投影类似，可以通过向量的数量积来实现。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
平面向量与解析几何的关系
平面向量与解析几何的关系从数学的角度来看，平面向量是向量代数和解析几何两个分支中的重要概念。
平面向量不仅可以用于解释运动、力和速度等物理现象，还可以应用于解析几何中的线性方程组、平面的交点和几何形状的变换等问题。
本文将探讨平面向量与解析几何之间的密切关系。
一、平面向量的定义与性质在解析几何中，平面向量常常表示为带有箭头的有向线段，通常用一个字母加上箭头来表示，如向量a。
平面向量具有长度（模）和方向两个属性，可以通过两点之间的坐标差来表示。
设A(x1, y1)和B(x2,y2)是平面上的两点，则向量AB可以表示为向量a = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有很多重要的性质。
例如，向量的模可以通过勾股定理得到，即|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
此外，向量还满足位移定律、加法和数乘等运算规律，这些性质为后续的解析几何问题奠定了基础。
二、平面向量在解析几何中的应用1. 向量的加法和减法平面向量的加法和减法是解析几何中常见的运算。
对于向量a =(x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的加法可以表示为a + b = (x1 + x2, y1+ y2)，减法可以表示为a - b = (x1 - x2, y1 - y2)。
这些运算可以简化解析几何中线段的延长、平行线的判定以及图形的相似性等问题的计算过程。
2. 向量积在解析几何中，平面向量的向量积常常被用来判断两个向量之间的关系和求解相关的几何问题。
向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于已知向量所在的平面。
设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的向量积的计算公式为a × b = x1y2 - x2y1。
通过向量积，我们可以判断两个向量是否共线、垂直，进而应用于解析几何中直线的平行和垂直关系的判定、求解交点等问题。
3. 向量的数量积数量积是平面向量中另一个重要的运算。
高中数学：平面向量的数量积在解析几何中的应用
高中数学：平面向量的数量积在解析几何中的应用在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中，如能适当地构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。
一、与长度有关的问题通过向量的数量积可以计算向量的长度，这给解决线段长度问题拓宽了思路，提供了方便。
这里常用的公式有：；若，则；若，则A、B两点的距离公式为。
例1. 在△OFQ中，，＝1，该三角形面积。
以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求：（I）用c表示；（II）的最小值及此时点Q 的坐标；（III）最小时的椭圆方程。
分析：本题重点是对（I）的求解。
取图1的坐标系后设，则可用表示。
如何消去，将其转化为，则是解题的关键。
根据面积条件易求；再由条件及可求得，从而可消去，得到的关于c的表达式。
解：（I）取坐标系如图1所示。
设Q（），又F，则图1，因为所以又，得，即所以，故知于是，得（II）由（I）知，当且仅当时，，此时点Q坐标为（）（III）设椭圆方程为，由（II）知Q，又点Q在椭圆上，得所以所求椭圆方程为。
二、与角度有关的问题设向量都是非零向量，夹角为，则；若，则。
以上是解决有关夹角问题的重要公式，称为夹角公式。
利用上述公式，就能比较方便、容易地解决涉及角的诸多问题。
例2. 给定抛物线，F是C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜充为1，求与夹角的大小。
分析：设出后，不难用韦达定理求出，于是容易求出及，再用夹角公式即可获解。
解：由焦点F（1，0），，则，代入，整理，得设、，则于是有＝所以所以与夹角的大小为。
例3. 已知两点M（－1，0）、N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列。
（I）点P的轨迹是什么曲线？（II）若点P的坐标为，记为与的夹角，求。
分析：（I）设P（x，y），求出各有关向量的坐标，利用数量积公式，将题设条件转化为即所求轨迹方程；（II）求夹角公式，结合（I）知＝0，先求出，进而求出。
平面向量的投影和单位向量
平面向量的投影和单位向量平面向量在数学和物理学中是一个重要的概念，它可以用于描述和计算多种物理量和现象。
在本文中，我们将讨论平面向量的投影和单位向量，并说明它们在向量运算和几何中的应用。
一、平面向量的投影在平面解析几何中，向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，也就是一个向量在另一个向量上的投影的长度。
向量的投影可以用于计算平面向量的夹角和向量在一定方向上的投影。
对于平面上两个向量A和B，A在B上的投影可用以下公式计算：投影长度 = (A·B) / |B|其中，“·”表示向量的数量积，|B|表示向量B的模长。
这个公式可以表示为向量B的单位向量乘以(A·B)。
投影长度的正负号代表了向量A与向量B之间的夹角的正负，当夹角为锐角时，投影长度为正；当夹角为钝角时，投影长度为负。
投影长度的计算可以通过将向量A投影到向量B上，并测量投影线的长度来完成。
这可以用于解决许多几何和物理问题，如求解向量的夹角、判断向量是否共线等。
二、单位向量单位向量是模长为1的向量，它在向量运算和几何中起着重要的作用。
单位向量可以表示方向，描述位移、速度和力等物理量。
在平面向量中，单位向量可以通过将一个向量除以它的模长来得到。
对于一个向量A = (a1, a2)，它的单位向量记作A'，则A'的计算公式如下：A' = A / |A| = (a1 / |A|, a2 / |A|)其中，A / |A|是向量A的每个分量除以其模长。
单位向量的性质之一是它与原向量的方向相同，但是长度为1。
因此，单位向量可以用于表示物体的方向和速度等。
三、平面向量的应用平面向量的投影和单位向量在许多领域都有广泛的应用。
在物理学中，平面向量的投影用于计算力在特定方向上的分量，从而帮助解决物体受力和运动的问题。
例如，当一个对象受到斜向上的力时，我们可以使用力的投影来计算在水平和垂直方向上的分量，从而分析对象的运动状态。
平面向量在解析几何中的应用与求解策略
平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：（一）、直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= ba（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ∥→b 的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得→a = λ→b ；亦即a ∥b (b≠)的充要条件是⇔x 1y 2-x 2y 1=0；（三）、利用向量求角：设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2), 则两向量→a 、→b 的夹角：cos θ = cos<→a ,→b > = →a 〃→b|→a ||→b=x 1x 2+y 1y 2x 12+y 12 〃x 22+y 22⇒ 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ⊥→b 的充要条件是→a 〃→b =0⇔x 1x 2- y 1y 2=0；（四）、利用向量求距离：设→a =(x,y),则有|→a |=→a 2 =x2+y 2；若),,(),,(2211y x B y x A 则|→二、典例分析：★【题1】、点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P且方向为→a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( ) （A （B ）13 (C)2（D ）12●[解析]：如图,过点P （-3，1）的方向向量→a =(2,-5);所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则；即1325;-=+y x L PQ ;联立：)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得， 由光线反射的对称性知：251=QF K所以)59(252;1+=+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0,得F 1（-1，0）;综上所述得： c=1，3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。
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平面向量在解析几何中的应用-----高三专题复习课教学案例福建省福州格致中学宋建辉一、引言：平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
正因为如此，在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识。
二、背景:向量知识在许多国家的中学数学教材中，早就成了一个基本的教学内容。
在我国全面实施新课程后，向量虽然已进入中学，但仍处于起步的阶段。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强。
鉴于这种情况，结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识。
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
正因为如此，本节课这样设计：1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。
因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性。
2、通过例3、例4两个问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
三、问题：例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC 中∠C=900，求证：222AB AC BC =+证明：因为AC ⊥BC 所以0AC BC ⋅=又AB AC CB =+，两边平方得： 222222AB AC AC CB CB AC CB =+⋅+=+即222AB AC BC =+ 评注：对照老教材，勾股定理推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言而喻。
类似的命题还很多。
例2、利用向量知识来推导点到直线的距离公式。
已知点P 坐标( x 0,y 0 )，直线l 的方程为 Ax+By+C=0，P 到直线l 的距离是d ，则证明：当0B ≠时，在直线l 上任取一点，不妨取1(0,)C P B-，直线l 的法向量(,)n A B =，由向量的射影长知识得点P 到直线l 的距离等于向量1PP 在向量n 方向上的射影长度d ，1PP =（00(,)C x y B+， 100(,)nC d PP x y B n ∴=⋅=+=当B=0时，可直接有图形证明（略）。
评注：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性。
四、问题的解决：例3、（2000年全国高考题）椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）21PF F ∠ 为钝角∴123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（ =9cos2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值。
分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。
解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-又由中点公式得2PA PB PO += 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-=224222(PO OA OB OP OP -⋅-+⋅ =222OP +又因为{3,4}OC = 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP == 且OP OC CP =+所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+即37OP ≤≤ 故2222022100PA PB OP ≤+=+≤所以22PA PB +的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
例5、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)||||(AC ACAB ABOA OP ++=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 分析：因为||||AB AC AB AC AB AC 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()ABACOP OA AP AB AC λ-==+，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12v v 、；（2） 求出角平分线的方向向量1212v v v v v =+（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。
{直线的点向式方程：过P （00,x y ），其方向向量为(,)v a b ，其方程为00x x y y a b--=} 应用：（1999年全国高考题）如图，给出定点A(a,0) (a>0)和直线l ：x=-1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系解：设B(-1,t)，则(1,),AB a t =--从而直线AB 的方程为：01x a y a t--=--①(,0),(1,),(1,0)OA a OB t OC OA OB OA OB ==-=+=+=则直线v 故直线OC y t = ② 由①、②消去t 得：22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=≤<点评：从上述方法看出较原参考答案要简单，且容易理解。
五、反思与讨论：反思：由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。
那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：第一、如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性。
第二、如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识。
第三、如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性。
最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
探讨：例4、（2003年天津）已知常数0>a ，向量)0,1(),0(==i a c ，，经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．试问：是否存在两个定点F E 、，使得PF PE +为定值，若存在，求出F E 、的坐标；若不存在，说明理由．（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.） 解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点；（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点. 点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。
去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP 中，O （0，0）、A （0，a ）为两个定点，另两边OP 与AP 的斜率分别是(0),2aa λλλ≠-，求P 的轨迹。
而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）：三角形ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程。