数列的通项公式与递推公式 习题
题型最全的递推数列求通项公式的习题[1]
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高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1)(1n f a a nn解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn ，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列na 满足211a ，nna a nn211，求n a 。
变式:已知数列1}{1a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2nna n f a )(1解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列na 满足321a ，n na n na 11，求n a 。
例2:已知31a ，nna nna 23131)1(n，求n a 。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32nna na a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___na 12n n类型3q paa nn1（其中p ，q 均为常数，)0)1((ppq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p ta nn，其中pq t1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列na 中，11a ，321n na a ，求n a .变式:（2006，重庆,文,14）在数列na 中，若111,23(1)nna a a n，则该数列的通项n a _______________变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列na 满足*111,21().nna a a n N （I ）求数列na 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n nb bb bna nN 证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n na a a n nn N a a a 类型4nnnq paa 1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((q ppq ）。
高考数学专题复习题：数列的递推公式
高考数学专题复习题：数列的递推公式一、单项选择题（共8小题）1.已知数列｛a n ｝满足a n =4a n -1+3（n ≥2，n ∈N *），且a 1=0，则此数列的第5项是（ ） A.15B.255C.16D.632. 已知数列a n =-n 2+4n +2，则该数列中最大项的序号是（ ） A .2B .3C .4D .53.已知数列｛a n ｝满足a n =1a n−1+1（n ≥2，n ∈N *），如果a 4=53，那么a 1等于（ ） A.1B.32C.2D.854.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）A.a n +1=a n +n ，n ∈N *B.a n =a n -1+n ，n ∈N *，n ≥2C.a n +1=a n +(n +1)，n ∈N ，n ≥2D.a n =a n -1+(n −1)，n ∈N *，n ≥25.已知数列｛a n ｝满足a 1=2，a n +1-a n +1=0（n ∈N *），则此数列的通项公式a n 等于（ ） A.n 2+1 B.n +1C.1-nD.3-n6.设a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n （n ∈N *），那么a n +1-a n 等于（ ）A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+27.在数列｛a n ｝中，a 1=12，a n +1=1-1a n，则a 2 024等于（ ） A.12B.-1C.2D.38.某书中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足a n +2=a n +1+a n （n ≥1），那么1+a 2+a 4+a 6+…+a 2022等于（ ） A.a 2021B.a 2022C.a 2023D.a 2024二、填空题（共4小题）9.在数列｛a n ｝中，a n +1=a n +2-a n ，a 1=2，a 2=5，则a 5=________. 10.已知数列｛a n ｝中，a 1a 2…a n =n 2（n ∈N *），则a 9=________. 11.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =12n −15，其最大项为________，最小项为________.12.在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n +1a n +2=k （k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列｛a n ｝是等积数列，且a 1=1，a 2=2，公积为8，则a 1+a 2+a 3+…+a 12=________.三、解答题（共4小题）13.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n 2-n +2. （1）求数列｛a n ｝的通项公式.（2）若b n =a n +100n -2n ，求数列｛b n ｝的最大项是该数列的第几项. 14.在数列｛a n ｝中，a 1=2，且a n +1=a n +ln (1+1n )，求数列｛a n ｝的通项公式.15.已知数列｛a n ｝中，a 1=12，a n =n−1n+1a n -1（n ≥2），求数列｛a n ｝的通项公式.16.已知数列｛a n ｝满足：a 1=m （m 为正整数），a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数.若a 4=4，求m 所有可能的取值.。
(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)
专题1：递推公式求通项公式1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a n D ．不存在2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅=L ，则35a a +=等于（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-=n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112++=n n a n D ．4tan πn a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n aA ．2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．122-n8．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 9．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 10．数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=L *()n N ∈，则=n a __________. 11．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。
课时作业11：习题课(一) 求数列的通项公式
习题课(一) 求数列的通项公式一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A.9 900B.9 902C.9 904D.11 000考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型答案 B解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项为() A.2n －1 B.2n ＋1C.12n －1 D.12n ＋1考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 C解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型答案 A解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 得 a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n， ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫2×32×…×n n －1＝ln n ， 即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2.4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( ) A.2nB.n (n ＋1)C.n 2n －1 D.n (n ＋1)2n 考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型答案 C解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2， 即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n ＝n 2n －1. 5.数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A.2n －1B.2n －1－1 C.2n ＋1D.4n －1 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 A解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， 即a n ＝2n －1. 6.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第8行中的第5个数是( )A.68B.132C.133D.260考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式答案 B 解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.二、填空题7.若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，则数列{a n }的通项公式为________________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 a n ＝4n －2解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列.∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式.∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8.数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________.考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1. 9.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 累乘法求通项答案 n解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n n －1·n －1n －2·…·32·21＝n . 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 则a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 三、解答题12.已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 (1)由题设可知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8， 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去). 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2， 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n1－2＝2n －1， 又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 13.已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 ∵S n ＝4－a n －12n －2， ∴S n －1＝4－a n －1－12n －3， 当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴a n ⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2， ∴2n a n －2n －1a n －1＝2，∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1， ∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 四、探究与拓展14.若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n为________________. 考点 递推数列通项公式求法 题点 其他递推数列问题 答案 123n n a －＝解析 由题意知a n >0，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝12lg 3n -.即a n ＝123n -.15.已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a n＋2＝4a n＋1－3a n(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)证明：数列{a n＋1－a n}是等比数列；(3)求数列{a n}的通项公式.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列(1)解a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)证明∵a n＋2＝4a n＋1－3a n，∴a n＋2－a n＋1＝3(a n＋1－a n).又a1＝1，a2＝4，∴a n＋2－a n＋1a n＋1－a n＝3，则{a n＋1－a n}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列.(3)解由(2)得a n＋1－a n＝3n，则当n≥2时，a n－a n－1＝3n－1，故a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝1－3n1－3＝3n－12.又a1＝1适合上式，故a n＝3n－12，n∈N*.。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】[例1] b ka a n n +=+1型。
（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1比较系数：b m km =- ∴1-=k b m∴}1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a∴11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴1)1(11--⋅-+=-k bk k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。
（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知}{n a 满足11=a ，)1(11+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。
解：∵111)1(11+-=+=-+n n n n a a n n∴n n a a n n 1111--=-- 112121---=---n n a a n n213132---=---n n a a n n ……312123-=-a a 21112-=-a a对这（1-n ）个式子求和得：n a a n 111-=- ∴ n a n 12-=（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a∴B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）nq n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q a n n n n 111+⋅=++ 令n n n q a C =则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型[例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。
例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。
+1/n-1an=1+1/2+。
+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。
例2]an+1=kan+f(n)型。
当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。
例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。
+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。
例3]an+1=f(n)an型。
若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。
1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。
解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。
可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列通项公式的求法10种求数列的通项公式方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。
我们逐个讲解一下这些重要的方法。
递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。
（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：21324312,(2)3,(3)4,(4)......,()n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。
2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
数列培优教程通项公式及递推关系配套练习(有答案)
数列培优教程通项公式及递推关系练习题1.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式.2.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.3.已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.4.已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.5. 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.6.已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a .7．已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式.8.已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.9.已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .10. 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式.11.已知数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式.12.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式.13.{},λ∈*2n n 已知数列a 为递增的数列，且对于任意n N 都有a =n +n 成立，λ则实数的取值范围是（ ） 0 B 0 C 0 D A λλλλ><=>、、、、-314.已知a 1= a 2=1, a n+2= a n+1+a n ,求a n .15.若数列{}n a 满足)1( )1(4),2( ,121111≥-+=≥>=++-n a a a a n a a a n n n n n n 且.求其通项.16.已知数列{}n a 中，n a n na a n n ++==+)2(,111.求其通项.17.已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足01=a ，32=a ，)2)(2(211++=⋅--+n n n n a a a a （n=3，4，5…）。
由递推关系求数列通项公式的几种方法
1 1 解：Qan+1 = 3an +1 ∴an+1 + =（an + ） 3 2 21 an+1 + 1 2 =3 Qan + ≠ 0 ∴ 1 2 1 an + ∴{an + }是等比数列 , 2 2 1 1 n−1 3n −1 ∴an + = (a1 + ) ⋅ 3 ∴an = (n ∈N*) 2 2 2
然后用数学归纳法证明
小结: 小结
到了什么? 1.这节课我学 2.我还有哪些疑问? 3.我有什么新 想法 新发现? ,
作业:1.复习 作业 复习 2.进行等差数列 等比数列的知识梳理 进行等差数列,等比数列的知识梳理 3.做卷子 其中例 做卷子.其中例 其中例1(3)(8)选做 选做
1.形如an+1 − an = d(d为常数） 等差型
a2 2 解： = a1 1 a3 3 = a2 2 a4 4 = a3 3
5 .形 an+1 = f（ ） n 如 n ⋅a
迭乘法
an 2 3 4 n −1 n ∴ = ⋅ ⋅ L ⋅ a1 1 2 3 n − 2 n −1
Mn an × a = n − 1 (n ≥ 2) ∴an = n (n ∈N*) n −1
2.形如an+1 = q ⋅ an (q为常数）
等比型
5 2 课课练P 44 / 12同学们做到 an = an −1 (n ≥ 2) 3 3
an 2 Q an −1 ≠ 0 ∴ = ( n ≥ 2) an −1 5
3 2 ∴{an }是等比数列, 首项a1 = , 公比q = 5 5
由递推公式求数列通项公式常见题型及解法
由递推公式求数列通项公式常见题型及解法对于由递推公式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推公式变形,转化成等差数列或等比数列加以解决,也可以通过构造法把问题转化后予以解决.下面分类举例说明.一,%+l=%+-厂(n)型累加法:%=(一%～1)+(n一l一%一2)+…+(oa一.I)+nl=-厂(n一1)+_厂(n一2)+…+f(1)+01.例1在数列{}中,已知+=,=2,求通项公式.解:已知递推式化为…_l__一:+%+12+I’又tan(a+c)=号,tanAtanC=2+厂,tanA+tanC=3+,/一.由IanA+tanc=+,[tanAtanC=2+,v/3.解得tanA=1,tanC=2+,/丁或tanA=2+,/,tanC=1.所以A=45.,B=60.,C=75.或A=75o.B=60..C=45..当=45咐,.=8c==8,6=Ac=每=4,c=4+4_当=75.时,.=8,b=4,厂一(x/一1),c=8(,/一1).【解题反思】此题将三角形,正弦定理,三角形内角和,方程思想等知识巧妙24基础教育论坛[2011年第2期j即一--1=1,%+1’所以一1=1,l:1,啦Z啦Z111111啦劬一2’’一l一2n’将以上(n一1)个式子相加,得1一1=_2211l+..’1,—_22”‘即an=争++寺++…+一(一一.21一所以=一=.2练习:已知数列{%}满足n.=1,+.=n+2n(孔∈N).求血,结合,对学生的综合能力的运用是一个很大的考验,只有熟练掌握了三角的基本公式和基本方法技巧,才能运用自如,完整解答问题.三,有益的启示《考试说明》明确提出:要在”突出数学基础知识,基本技能,基本思想方法的考查”的同时,”重视数学基本能力和综合能力的考查”,”注重数学应用意识和创新意识的考查”,由此可见,坚持和加强在知识的交汇点处命题势在必行.在知识的交汇处命题,一方面数学学科知识之间的纵横交融,渗透综合的鲜明特点,将正,余弦定理与向量,解析几何,立体几何,数列,不等式,数列,方程等重要知识有效交汇于一体;另一方面,可有效考查学生的各类方法技能和重要数学思想的合理运用,把对学生的数学思维能力和综合应用能力的考查融合在对学生双基考二,+l=_厂(n)?型累积法:=—旦L?上…??塑?c—l(一2nl.,所以=-厂(n一1(n一2(n一3)一1)01.例2求数列.t=_『1,%=_}.%一(n≥2)的通项公式.解:当n≥2时,=堕?盟?a4…??L.al0l啦%一1【即%=面可×}:一4,l2—1’当n=l,=}=所以r(n∈N+)?查之中,因此我们必须高度重视,积极应对.数学知识交汇题,一般具有背景清晰且内涵丰富,新颖脱俗且思路灵活的特点,这就需要我们在熟练掌握数学基础知识和基本技能的基础上,深刻理解题意, 洞察内在联系,准确选择方法,要依据题设条件,合理进行变换,灵活进行转化,严谨完善解题.正弦定理,余弦定理在高考中,一般不单设试题,而是融于其他知识当中去考查,学生学习中应重视四大数学思想方法的培养.在运用定理时,要注重与其他知识的交汇,多角度联想,观察和分析问题,教师要教给学生学习的方法, 让学生学会学习,真正做到与其他知识融会贯通,切实提高学生分析问题,解决问题的能力,,促进其思维能力的发展和提高.练习:已知数列{吼}满足土上_=n (11,∈N+),ot=l,求n,1.三,%+I--,pa~+叮型方法:1)+小t?),.’,再根据等比数列的相关知识求(2)+.～%=p(%一an一)再用累加法求.(争一,先用累加法求争,再求?例3在数列{}中,a.=1,当n≥2时,有%=3一1+2,求.解法1:设+A=3(%l+A),即有=3～1+2A,对比=3l+2,得A=1.于是%+I=3(1+1),数列{+}是以a.+l=2为首项,以3为公比的等比数列,所以有=2?3一1.解法2:由已知递推式,得%+l=3%+2,%=3a.一l+2(n≥2).上述两式相减,得%+l～:3(%一%一1),因此,数列{%+.一nJl}是以o.2一a=4. 为首项,以3为公比的等比数列.所以+l一=4?3’,即3一%=4?3,所以%=2?3’1.练习:已知{}的首项n.=n(a为常数),;2a.一1(n∈N+,n≥2),求‰四,%+l=p%+/(n)型例4设数列{}满足,a=1,=一一J+2n一1(n≥2),求通项公式%.解:设6=+An,+曰,则%=b一An—B,%一l=6一l—A(一1)一B,所以b一An—B=an=1[6-I--A(n一1)一B]+2n一1,即b=1b—j+(A+2)n+(}A+一-).设所以b=16且b=%一4n+6.厶由于il6}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有b=3丁._由此得:一;:十4n.6.【说明】通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列). 五,+f:p%+q型例5已知b≠O,b≠士1,伪=,=了’+-+(n≥2),写出用/1,和b表示%的通项公式,解:将已知递推式两边乘以(1+6)”,得(1+6)=6(1+6)’an+l+,又设‰=(1+6),于是,原递推式化为n=bxT,仿类型三,可解得%=b—b=‘故%:.【说明】对于递推式+.=p+g,可两边除以q’,得争+上争’争,引入辅助数列6争,得n+争6n+,然后可归结为类型三.g六,+2p%+j+口型方法:待定系数法,设%+.一衄(一一%),构造等比数列.例6已知数列{}中,=1啦=2,+=++,求%.解:在%+2=%+l+两边减去+l,得%+2一+I:一一(+l一).所以{%+一%{是以02一n.=l为首项,以一为公比的等比数列.所以%+一=(一})..令E式=1,2,3,:一.(一1),再把这(n一1)个等式累加,得%一o=1 (一})+(_丁1)+?+(一})一=囊[1(一】.以;1哼((一}-11..t:,线性分式型..例7.(倒数法)已知数列{}中,a.: },+J=打,求{}的通项公式-解:j一::+2,所以{}是以为-NN,公差为2的等差数列,即l_:丁5+2(一1):,jj所以丁?练习:已知数列{}中,a.=1,=精,求{%}的通项公式?解.=}:击,所以f专}是以1为首项,公差为2的等差数列.所以=l+2(一1)_2,卜l,即Sn?所以=一一丁一1一=一fl(,n=1),删{2n1一2n3(.1一一…等差,等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试学生灵活运用知识的能力,这个”灵活”往往集中在”转化”的水平上.转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差,等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变[2011年第2期]基础教育论坛●_’r4:=A得解Il,l0一扛一2++A一2A一2。
数列与递推公式的综合练习题
数列与递推公式的综合练习题数列与递推公式是数学中的重要概念，它们在实际问题中的应用广泛。
本文将为读者提供一些综合的练习题，以加深对数列与递推公式的理解和运用能力。
第一题：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 3n + 2，求前10项的和S。
解析：首先，我们可以求出前10项的数列：a1 = 1^2 + 3*1 + 2 = 6，a2 = 2^2 + 3*2 + 2 = 12，...根据题意，我们需要求出前10项的和S。
可以利用等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。
代入已知条件，得到Sn = (6 + 102) * 10 / 2 = 1080。
所以，前10项的和S等于1080。
第二题：已知等差数列{an}的前两项分别为2和5，且满足递推公式an = an-1 + 3，求第10项的值a10。
解析：a2 + 3 = 5 + 3 = 8，a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11，...依次类推，我们可以求得a10的值。
a10 = a9 + 3 = a8 + 3 + 3 = ... = a2 + 3 * (10 - 2) = 5 + 3 * 8 = 29。
所以，第10项的值a10等于29。
第三题：已知等比数列{bn}的通项公式为bn = 2^n，求前5项的和S。
解析：根据已知条件，我们可以求出前5项的数列：b1 = 2^1 = 2，b2 = 2^2 = 4，...根据等比数列的求和公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。
代入已知条件，得到Sn = 2 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 62。
所以，前5项的和S等于62。
第四题：已知递推公式cn = cn-1 + 2 * cn-2，其中c1 = 1，c2 = 3。
求第6项的值c6。
解析：c3 = c2 + 2 * c1 = 3 + 2 * 1 = 5，c4 = c3 + 2 * c2 = 5 + 2 * 3 = 11，...依次类推，我们可以求得c6的值。
数列培优教程通项公式及递推关系变(有答案)
数列培优教程通项公式及递推关系一.概述各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解.特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.这里总结出几种求解数列通项公式的方法.方法1：归纳猜想方法2：化为等差数列或等比数列二.类型与例题类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解. 例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a . 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解. 例2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a .变式1：已知正项数列{}n a 满足11a =，1221(2)(1)0,n n n n n a n a a a +++-++=则它的通项公式为A.11n a n =+ B. 21n a n =+ C. 12n n a += D. n a n =变式2：已知数列{}n a 满足11a =，12,n n n a a +=求它的通项公式.例3.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a . 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项 、 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）. 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. {}变式:已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）.（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） .解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p qa n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中nn n q a b =），得：q b q p b nn 11+=+再待定系数法解决. 例5.已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a . 变式:设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132nii T =<∑ 例6.设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--．（Ⅰ）证明对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-； （Ⅱ）假设对任意n ≥1有1->n n a a ，求0a 的取值范围．类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）.例7.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式.例8.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a .变式1:已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；变式2.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式.(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解.例9.已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .变式1: 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n变式2:已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列. 例10.设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .变式:已知数列｛n a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令11,n n n b a a +=-+求证数列{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列{}的通项；n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在试求出λ 不存在,则说明理由.类型8 rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解. 例11.已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a变式1:已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 变式2:已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… ⑴证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；⑵设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；类型9 )()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1.例12.已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式.变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！2、已知数列{a }满足2,1≥=n a 时，a a a a 2=-，求通项公式.3、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式.4、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． 类型10 hra qpa a n n n ++=+1解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列.例13.已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.例14.已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？变式:数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S类型11 q pn a a n n +=++1或n n n pq a a =⋅+1解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解. 例15.（I ）在数列}{n a 中，n n a n a a -==+6,111，求n a （II ）在数列}{n a 中，n n n a a a 3,111==+，求n a类型12双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解. 例16.已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b .当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3111--+=n n n b a b ，求n a ,n b .变式.设点n A (n x ，0)，1(,2)n n nP x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，nx 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P+的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．类型13周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.例17.若数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________.变式:已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23例18.1231,,,2n a a a a =-依次写出数列：的法则如下：如果为自然数且未出现过，n +1n n +1n 6则用递推公式a =a -2，否则用递推公式a =a +3，则a =_________1. 例1.na n 123－＝； 变式：⑴33＝a ，135＝a ；⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--+=+.n ],2)1(3[21n ],2)1(3[212222为奇数时为偶数时；－１１n n nnn a 2. 例２. ｎ＝32n a变式１：Ｂ变式２：⎪⎩⎪⎨⎧=-.n ,2n ,222为奇数时为偶数时；１n nn a3.例３.136-ｎ＝n a ；变式：2!ｎ＝n a4. 例４.321-+ｎ＝n a ；变式：12-ｎ＝n a5.例5.ｎｎ＝)31(2)21(3-⋅n a ；变式：21＝a ；ｎｎ＝24-n a6. 例6.(Ⅱ))31,0(7. 例7. ])32(1)[(31---+ｎ＝a b a a n8. 例8. 1)31(4347---ｎ＝n a ; 变式1：12-ｎ＝n a .变式2：⑶ｎ＝2)21n (-n a .9. 例9.⑴2121-+-=n n n a a ;⑵3230+=n n a变式1. 35-n a n ＝;变式2. ｎｎ＝)1(4)21(6---⋅n a10. 例10. 132--⋅n a n ｎ＝;变式:(Ⅱ) 2)21(3-+⋅n a n ｎ＝;(Ⅲ)2-=λ11. 例11. 1212--n n a ＝; a 22-＝变式2:⑵12n 3-=nT ⑶1312n -=-n a12.例12. 2n 3--=n a ; 变式1:⑴1n )3(21n-⋅+=n a ;变式2: 121-ｎ＝n a ;变式3: 231-ｎ＝n a变式4: 12+ｎ＝n a13. 例13. na )51(2132n -⋅++-=14. 例14.⑴ 5＝n a ;⑵)4(58≤-n a n ｎ＝⑶78+ｎ＝n a ⑷时＝4,3,1,31-a . 变式: )42(31+n n b ＝;)72(61+nn n b a ＝15. 例15.16.变式: 解：（I ）由题意，得2111(1,0),:7A C y x x b =-+。
高中求通项公式练习题
高中求通项公式练习题一、等差数列1. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
2. 已知等差数列的第3项为7，第5项为11，求首项和公差。
3. 已知等差数列的前5项和为35，第5项为15，求首项和公差。
4. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求第8项的值。
5. 已知等差数列的第4项为2，第6项为4，求首项和公差。
二、等比数列1. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第6项的值。
2. 已知等比数列的第3项为8，第5项为32，求首项和公比。
3. 已知等比数列的前4项和为21，第4项为16，求首项和公比。
4. 已知等比数列的首项为4，公比为0.5，求第7项的值。
5. 已知等比数列的第2项为10，第4项为40，求首项和公比。
三、递推数列1. 已知递推数列的通项公式为an = an1 + 2（n≥2），首项为1，求第10项的值。
2. 已知递推数列的通项公式为an = 2an1（n≥2），首项为3，求第6项的值。
3. 已知递推数列的通项公式为an = 3an1 an2（n≥3），首项为1，第二项为2，求第7项的值。
4. 已知递推数列的通项公式为an = an1 + an2（n≥3），首项为1，第二项为1，求第10项的值。
5. 已知递推数列的通项公式为an = 2an1 an2（n≥3），首项为1，第二项为3，求第8项的值。
四、综合题1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
2. 已知数列的前n项和为Sn = 2^n 1，求该数列的通项公式。
3. 已知数列的前n项和为Sn = n(2n+1)，求该数列的通项公式。
4. 已知数列的前n项和为Sn = n^3 + 3n^2 + 2n，求该数列的通项公式。
5. 已知数列的前n项和为Sn = 3^n n^2，求该数列的通项公式。
五、数列的性质与应用1. 已知数列的通项公式为an = n^2 n，求证该数列是递增数列。
2. 已知数列的通项公式为an = 2^n 3，求证该数列是递减数列。
递推式求数列通项公式常见类型及解法
递推式求数列通项公式常见类型及解法递推数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列给 予解决，由于递推数列的多变性，这里介绍总结一些常见类型及解法。
一、公式法（涉及前n 项的和） 已知)(n f s n =⎩⎨⎧≥----=-----=⇒-)2()1(11n S S n S a n n n 注意：已知数列的前n 项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论1=n 的情形而致错。
例1.已知数列}a {n 前n 项和1322-+=n n S n ，求数列}a {n 的通项公式。
解：当n=1时，411==s a ，当2≥n 时，14]1)1(3)1(2[)132(221+=--+---+=-=-n n n n n s s a n n n ，15114a ≠=+⨯⎩⎨⎧≥+==∴)2(,14)1(,4n n n a n练习：已知数列}a {n 前n 项和12+=n n S ，求数列}a {n 的通项公式。
答案：⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,31n n a n n 二、作商法（涉及前n 项的积）已知)(......321n f a a a a n =⨯⨯⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥----=----=⇒)2()1()()1().1(n n f n f n f a n例2.已知数列}a {n 中的值试求时53232,2,11a a n a a a n a n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=。
解：当2≥n 时，由2321n a a a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得21321)1(-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n a a a a n则22)1(-=n na n16614523222253=+=+∴a a三、累加法（涉及相邻两项的差）已知)(1n f a a n n =-+112211)......()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=⇒--- 例3.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习(一)
《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习一．选择题1.已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A． B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+22.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023C．2048 D．20473.已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）A．2014×2015 B．2015×2016C．2014×2016 D．2015×2015二．填空题4.已知数列{a n}中，，则a n=______．5.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），则a n=______．参考答案1.A2.B3.B4.5.解析1.【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力.利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选A．2.【分析】正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键. 由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．3.【分析】本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，通过a n+1=a n+2n 可知a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…，a2﹣a1=2，累加计算，进而可得结论．【解答】解：∵a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…a2﹣a1=2，累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]=2•=n（n﹣1），又∵a1=0，∴a n=n（n﹣1），∴a2016=2016（2016﹣1）=2015×2016，故选B．4.【分析】本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键是对递推公式的变形=由已知可得，，=，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n﹣1个式子相加可得，∵∴a n==故答案为.5.【分析】本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系，以及利用累加法和裂项法是解决本题的关键.根据数列的递推关系，利用累加法和裂项法即可得到结论．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），∴a n+1﹣a n==﹣，（n∈N*），则a2﹣a1=1﹣，a3﹣a2=，…a n﹣a n﹣1=﹣，等式两边同时相加得a n﹣a1=1﹣，故a n=，故答案为.。
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1 第2章 2.1 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12
，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n
B ．a n ＝12n
C ．a n ＝12n －1
D ．a n ＝1n 2 2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n
，则数列{a n }是( ) A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
3．由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
，可知数列{a n }的第34项是( ) A.34103
B ．100 C.1100 D.1104
4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n >2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.6116
B.259
C.2519
D.3115 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.
6．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n 2，当a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时
.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0.
(1)写出数列的前5项；
(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；
(3)实数199
是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？ 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，记n ！＝1×2×3×…×n ，求数列{a n }的通项公式．
9．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)．通过公式b n ＝a n ＋1a n 构造一个新数列{b n }，试写出数列{b n }的前5项，你能说出这个数列的特点吗？。