材料力学弯曲位移

P
A 刚化 EI= B C
pa wc1 3EI
2
3
P
C
θc1
wC1
pa q c1 2 EI
2、AB部分引起的位移wC2、 θC2
qB2
PaL 3EI
θB2
A
P
B 刚化 EI= C wC2
wfCc2 2 q B2 a PaL PaL aa 3EI 3EI
pa (3a 2 L) 6 EI
w
w'
Fbx 2 (l b 2 x 2 ) 6 EIl
Fb 2 (l b 2 3x 2 ) 6 EIl
w
w'
F l [ ( x a) 3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
3、qB是外伸梁(图a)B截面的转角， 求qB可利用图(d)所示的等效力系， 即将BC段上q的合力qa平移到B处并附 加一力矩m=0.5qa2 4、由图(d)所示简支梁求得B截面 的转角就是外伸梁B截面的转角。在 图(d)中，qa作用在梁的支座上，它 不引起梁的变形，仅m和q使梁变形。 在m和q单独作用下(图(e),(f))B截面 的转角qB1和qB2分别查得为
x
A
F
qmax
x
B f max
l
y
解：建立坐标系如图
x处弯矩方程为： M ( x) F (l x)
转角和挠曲线方程分别 为： Fx q w' (2l x) 2 EI
FL2 q max q B 2 EI FL3 f max wB 3EI
列挠曲线方程并积分两 次： EIw" M ( x) F (l x) Fx2 EIw' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6
x a时，w ' w '，则 C1 C2 ; w w ，则 D1 D2 x 0处，w 0，得 D1 D2 0; x l处，w 0，得 C1 C2 Fb 2 2 (l b ) 6l
AC段(0 x a)
CB段(a x l )
AC段(0 x a)
Fb x l Fbx2 EIw' C1 2l Fbx3 EIw C1 x D1 6l EIw "
CB段(a x l )
Fb x l F Fbx2 2 EIw' ( x a) C2 2 2l F Fbx3 3 EIw ( x a) C2 x D2 6 6l EIw " F ( x a )
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
P 2
P 2
P
计算变形与位移的目的：刚度校核、满足工程要求、解超静定梁。
挠曲线
挠曲线
一、梁的挠曲线
y
§6.1 梁的挠曲线近似微分方程 积分法求梁的位移
q x
A
1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
F q x w
式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。
2.支承条件与连续条件: 1) 支承条件：
l
y
w0
F A
y
w0
y
w 0; w 0
y
wl
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
，q |
x C
q |
x C
例1 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。
5、注意到qB2为负值(图(f))。 在m，q共同作用下B截面的转角为
外伸梁C截面的挠度为
几点注意
(1)叠加法求位移虽然比较简便、快速，但具体运用时， 往往需经过分析、处理及运用等效力系后，才能利用表中 的公式，比较灵活。通过上面各例题，着重理解一些分析 和处理方法以及对等效力系的正确运用。 (2)叠加法中的叠加是代数相加，在求若干荷载共同作用下 的转角和挠度时，应注意每项的正、负。 (3)教材里表中所列公式不必强记，考试时，一般都是给出 所需的有关公式。
解:表中没有要求的挠度公式，但仍可利用表中的有关公式。
比较图(a),(b),(c)三者跨中的挠度值。显然，图(a)和图(b)跨中的挠度值 相等，而图(a)和图(b)两种情况相叠加就是图(c)之情况，因而有
由图(c)查得wB，为 所以图(a)所示梁跨中挠度值为
例;试用叠加法求图(a)所示梁跨中截面(B截面)的挠度。
q
A B
L
用“多余”反力 代替“多余”约束， 就得到一个形式上的 静定梁，该梁称为原 超静定梁的基本静定 系。 也叫做原超静定梁的 梁的相当系统
基本静定系 可不止一个
例：求图示静不定梁的支反力。
解法一：将支座
B看成多余约束，变 形协调条件为：
wB 源自文库 0
即 RB l ql 0 3EI 8 EI
F=35kN A B
解： 1、作出梁的弯矩图
2m
l=4m
2m
Fl 35103 4 得： M max 35103 N m 4 4
2、根据弯曲正应力强度条件，要求
M
Fl / 4
Wz
M max

35103 4 3 2 . 19 10 m 160106
3 Fl l 3、梁的刚度条件为： 48EI z 500 2 3 2 500 Fl 500 35 10 4 5 4 由此得 I 2 . 92 10 m z 48E 48 200109 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3 ，惯 性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度 要求。
§6.3 梁的刚度校核 提高梁的刚度措施
一、梁的刚度校核
除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其 正常工作。 在工程中，通常对梁 的挠度加以控制，例如： 梁的刚度条件为：
1 1 w ~ l 250 1000
或w
wmax w l l q max q
3 R B ql 8
3 4
解法二：将支座A对
截面转动的约束看成多
余约束，变形协调条件
为：
qA 0
M Al ql 0 3EI 24 EI
1 2 M A ql 8
3
即
例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，
用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求 (1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后AB梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后B点挠度的比值。
§6.2 叠加法求梁的位移
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷 所引起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各个载荷单独作 用下的变形，然后叠加。
例：用叠加法求 wfC C、q A、q B
没有约束无法确定位移
连续光滑曲线，铰支座对位移 yA yB 0 的限制
P C
连续光滑曲线，固定端对位移 的限制
yB 0,q B 0
光滑连续条件：
yc yc
q c q c
二、挠曲线近似微分方程
1.力学关系： 2.几何关系：
y
1 M ( x) ( x) EI
1 w ( x) 1 w2


32
w 略去高阶微分
y
M
M
M 0，w 0
x
M
M
M 0，w 0
x
3.挠曲线近似微分方程：
w
EIw M ( x)
M ( x) EI
三、积分法求梁的挠曲线
1.
EIw M ( x)
积分一次 EIw' M ( x)dx C1 EIq — 转角方程； 再积分一次 EIw ( M ( x)dx)dx C1 x C2 — 挠曲线方程。
w w q max q
l l ~ 250 1000
通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。
但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄
时，刚度条件也起控制作用。
例 一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa，许用挠度
[w]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。
4
3
2
）
）
）
逐段刚化法：
变形后：AB AB`
BC B`C`
变形后AB部 分为曲线， 但BC部分仍 为直线。
C点的位移为：wc
wc wB wc L wB q B 2
例：求外伸梁C点的位移。 P
A
L
B
C
将梁各部分分别 引起的位移叠加
a
解： 1、BC部分引起的位移wc1、θc1
与上题类似，图 ( a）所示梁跨中的挠度亦为
例 叠加法求图(a)所示梁C截面的挠度。
解:没有外伸梁的计算公式, 利 用表中的悬臂梁和简支梁的有关 公式计算。 外伸梁在q作用下的挠曲线如图 (a)中虚线所示，支座B处挠度等 于零、转角不等于零。 1、将梁的BC段视为B端为固定 端的悬臂梁(b),此梁在q作用下C 截面的挠度为yC1。 2、外伸梁的B截面并非固定不动，而要产生转角qB，截面的转动对BC段位移 的影响，相当于使BC段绕B点刚性转动，此时C截面的竖向位移为yC2（图c）， 因qB 很小，yC2=a· qB。将图(b)和(c)所示的yC1与yC2叠加就是外伸梁c截面的挠 度，即
第六章
梁弯曲时的位移
工程中的弯曲变形问题
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的 加工精度，甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
因此在工程中，常常要对梁的变形加以控制
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大 的弹性变形，以满足特定的工作需要。
几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等 解： 将梁上的各载荷分别引起的位移叠加 于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。
w fC C
qA
qB
5q l Pl ml （ 384 EI 48 EI 16 EI 3 2 ql ml Pl （ 3EI 24 EI 16 EI 2 3 Pl ql ml （ 16 EI 6 EI 24 EI
Fx2 w (3l x) 6 EI
由边界条件决定积分常 数： w' | x 0 0 ，得：C1 0； w | x 0 0 ，得：C2 0
例2 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。
A
x
a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa ； FB l l
FA
FB
q C q C1 q C 2
θB2
P Pa
wC wC1 wC 2 Pa a L 3EI
2
例 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角 和挠度。
q F
A
C
Fl 2 Fl 3 1.在F作用下： 查表：q BF , wBF 2 EI 3EI
q(l / 2)3 ql3 查表：q Cq 2.在q作用下： 6 EI 48EI q(l / 2) 4 ql 4 wCq 8EI 128EI
l/2
l/2
B
F
A
qBF
wCq
C
B
wBP
q
A
B
ql 3 q Bq q Cq 48EI l 7ql 4 wBq wCq q Cq 2 384 EI
3.在F和q共同作用下：
wBq
q B q BF q Bq
wB wBF wBq
例;试用叠加法求图(a)所示梁跨中截面(B截面)的挠度。
二、提高梁的刚度措施
ln w EI
1.增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大I值，在截面面积不变 的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远 的地方。例如：工字形、箱形等。 2.调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸 q 梁；或增加支座等。
A
B l B l A
q
A
q
B
§6.4 简单超静定梁的解法
B
图中q与w的正负？
2.梁位移的度量： ①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正
②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正 ③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数— w=f(x) ④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—
B1
dw q tanq f ' ( x) dx
3、约束对位移的影响