生物医学测量与传感器(2)
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1 2 f ( ) exp ( ) 2 ( ) 2 1
正态分布的随机误差的统计特点： 1）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，这是误差的单峰性。 （2）绝对值相等的正误差或负误差出现的次数相当，这是误差的对称性。 （3）极大的正误差或负误差出现的概率都非常小，这是误差的有界性。 （4）随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。这叫误差的 低偿性。
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测量误差的分类
随机（偶然）误差
随机误差是测量结果与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所 得结果的平均值A之差。即 其中
1 n A lim xi n n i 1 随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性， 经常用来表征测量精密度的高低。随机误差越小，精密度越高。 偶然误差产生的原因不明，因而无法控制和补偿。但是，倘若对某 一量值作足够多次的等精度测量后，就会发现偶然误差完全服从统计规 律，误差的大小或正负的出现完全由概率决定。因此，随着测量次数的 增加，随机误差的算术平均值趋近于零，所以多次测量结果的算数平均 值将更接近于真值。
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测量概述
真值 指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。真 值是不可确切获知的，实际测量中常用“约定真值”和“相对真 值”。 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值 如：基准米 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m=1650763.73λ (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
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测量误差的表示
引用误差 1.引用误差――示值绝对误差Δ x与仪表量程L之比值q
x q 100 % L 2、最大引用误差 qmax
仪表量程内出现的最大绝对误差 xmax 与该仪器仪 表量程L之比值，
q max x max 100% L
xmax G% L
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测量误差的表示
例子1: 检定一个满度值为5A的1.5级电流表，若在3.0A刻度处的绝 对误差最大，xmax＝+0.2A，问此电流表精度是否合格?
例子2：测量一个约90 V的电压，实验室现有0.5级0-300V和1.0级0100V的电压表。问选用哪一块为好?
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测量误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，一般分为三类： 系统误差
在相同测量条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所 得结果的平均值A与被测量的真值A0之差。即 A A0 系统误差表明了测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误 差越小，测量就越准确。所以，系统误差经常用来表征测量准确 度的高低。 系统误差产生的原因：测量仪器不良，如刻度不准，仪表零 点未校正或标准表本身存在偏差等；周围环境的改变，如温度、 压力、湿度等偏离校准值；实验人员的习惯和偏向，如读数偏高 或偏低等引起的误差。针对仪器的缺点、外界条件变化影响的大 小、个人的偏向，待分别加以校正后，系统误差是可以清除的。
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随机误差的处理
随机误差在区间内取值的概率为1。标准偏差σ 越小，正态 分布曲线越陡，则小误差出现的概率也越大，大误差出现的概率 就越小，这意味着测量值越集中。因此，σ 的大小说明了测量值 的离散性，即测量值相对于真值的分散程度。 1.2、均匀分布 特点是误差均匀地分布在某一区域，在此区域内误差出现的 概率密度处处相同。而在该区域以外误差出现的概率为零。
相对真值：
标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准 器的值
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测量概述
示值： 由测量仪器给出的量值，也称测量值或测量结果 标称值： 计量或测量器具上标注的量值。如温度计上显示的温度 测量误差 在实际测量过程中，人们对于客观事物认识的局限 性、测量工具不准确、测量手段不完善、受环境影响或测量工作 中的疏忽等，都会是测量结果与被测量的真值在数量上存在差异， 这个差异称为测量误差。
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基本理论
a
b
c
(a)中表示精密度和准确度都很好，则精确度高； (b)表示精密度很好，但准确度却不高； (c)表示精密度与准确度都不好。 在实际测量中没有像靶心那样明确的真值， 而是设法去测定这个未知的真值。
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测量误差的表示
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测量概述
平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，通常真值是无法测得 的。将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是 实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值 只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 x x x x
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测量误差的分类
精密度、准确度和精确度 反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度（亦称精确 度）。它与误差大小相对应，测量的精度越高，其测量误差就越 小。“精度”应包括精密度和准确度两层含义。 （1）精密度：测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。它反 映随机误差的影响程度，精密度高就表示随机误差小。 （2）准确度 测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映系统 误差的影响精度，准确度高就表示系统误差小。 精确度（精度） 它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合 的影响程度。 在一组测量中，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精 密度也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
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测量概述
误差公理 一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科 学实验的过程之中。研究误差的目的是找出适当的方法减小误差， 使测量结果更接近真值。 准确度 测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果 与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是个定性的概念 测量不准确度 表示测量结果不能肯定的程度，或是说表征测量 结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的，经常 由被测量算术平均值的标准、相关量的标定不确定度等联合表示。 重复性 在相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结 果之间的一致性。相同条件包括：相同的测量程序、测量方法、 观测人员、测量设备和测量地点等
测量误差的表示
相对误差 测量的绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差 x 1、实际相对误差 A 100%
x0
2、示值相对误差
x
x 100 % x
为了减小测量中的示值误差，当选择仪器、仪表量程时，应使 被测量的数值接近满度值，一般使这类仪器、仪表工作在不小于满 度值2／3以上的区域。 用相对误差可以恰当地表征测量的准确程度。相对误差是一个 只有大小和符号，而没有量纲的数值。
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测量概述
测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能 使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多 新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方 法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确 定它的大小 。
绝对误差 由测量所得到的被测量值x与真值x0之差。
x x x0
Δ x – 测量误差
X――检测仪表指示或显示被测参量的数值即仪表读数或示值 （测量值） X0――在一定时间、空间条件下客观存在的被测量的真实数值
（真值）
x
具有大小、正负和量纲的数值，它的大小和符号分别表示 测量值偏离真值的程度和方向。
第一章 测量误差理论与分析
本章内容 1. 概述 2. 测量误差的分类 3. 测量误差的表示方法 4. 测量误差的处理 5. 测量误差的传递
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测量概述
由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的 观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一 定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个 近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误 差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可 以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验 中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值， 提高实验的精确性。
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测量误差的表示
有效数字
在科学与工程中，该用几位有效数字来表示测量或计算结果，总是以 一定位数的数字来表示。不是说一个数值中小数点后面位数越多越准确。 实验中从测量仪表上所读数值的位数是有限的，而取决于测量仪表的精 度，其最后一位数字往往是仪表精度所决定的估计数字。即一般应读到 测量仪表最小刻度的十分之一位。数值准确度大小由有效数字位数来决 定。 当有效数字位数确定后，其余数字舍弃办法是四舍六入，即末位有 效数字后边第一位小于5，则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1；等于 5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种 舍入原则可简述为：“小则舍，大则入，正好等于奇变偶”。 如：保留4位有效数字 3.83212→3.832; 5.32553→5.326 9.56483→9.565 7.32254→7.322
n
x
1
2
n
n
i 1
i
n
(2) 几何平均值 (3) 均方根平均值
x几 n x1 x2 xn
x均
2 2 x12 x2 xn n
x
i 1
n
2 i
n
以上介绍各平均值的目的是要从一组测定值中找出最接近真 值的那个值。由于数据的分布较多属于正态分布，所以通常采用 算术平均值。
仪表在出厂检验时，其示值的最大引用误差qmax不能 超过其允许误差Q（以百分数表示）即
q max
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x max Q L
测量误差的表示
精度等级
工业检测系统常以允许误差Q作为判断精度等级的尺度。规定： 取允许误差百分数的分子作为精度等级的标志，也即用最大引用 误差中去掉百分号（%）后的数字来表示精度等级，其符号是G， G Q 100 qmax 100 精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差 的最大值的范围是
修正值（校正值） 与绝对误差的绝对值大小相等，Байду номын сангаас符号相反的量值 称为修正值，用C 表示 C=- x =A-x (满足规定标准度的用来代替真值 使用的量值为实际值，用A表示) 含有误差的测量值加上修正值后就可以减少误差影响。 绝对误差可以说明测量值偏离实际值得程度，但不能说明测量的准确程度。
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随机误差的处理
随机误差的处理
1.随机误差的分布规律 1.1正态分布 正态分布的测量值的概率密度为 正态分布的随机误差的概率密度为
1 x x 2 0 f ( x) exp 2 ( x) ( x) 2 1
i xi A
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测量误差的分类
粗大误差
在相同的条件下，多次重复测量同一量时，明显地歪曲了测 量结果的误差，称粗大误差，简称粗差。粗差是由于疏忽大意， 操作不当，或测量条件的超常变化而引起的。含有粗大误差的测 量值称为坏值，所有的坏值都应去除，但不是主观或随便去除， 必须科学地舍弃。正确的实验结果不应该包含有粗大误差。 粗大误差无规则可寻，只要加强责任感、多方警惕、细心操作， 粗大误差是可以避免的。
1/ 2a ( a a) f ( ) ( a , a ) 0
正态分布的随机误差的统计特点： 1）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，这是误差的单峰性。 （2）绝对值相等的正误差或负误差出现的次数相当，这是误差的对称性。 （3）极大的正误差或负误差出现的概率都非常小，这是误差的有界性。 （4）随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。这叫误差的 低偿性。
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测量误差的分类
随机（偶然）误差
随机误差是测量结果与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所 得结果的平均值A之差。即 其中
1 n A lim xi n n i 1 随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性， 经常用来表征测量精密度的高低。随机误差越小，精密度越高。 偶然误差产生的原因不明，因而无法控制和补偿。但是，倘若对某 一量值作足够多次的等精度测量后，就会发现偶然误差完全服从统计规 律，误差的大小或正负的出现完全由概率决定。因此，随着测量次数的 增加，随机误差的算术平均值趋近于零，所以多次测量结果的算数平均 值将更接近于真值。
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测量概述
真值 指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。真 值是不可确切获知的，实际测量中常用“约定真值”和“相对真 值”。 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值 如：基准米 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m=1650763.73λ (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
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测量误差的表示
引用误差 1.引用误差――示值绝对误差Δ x与仪表量程L之比值q
x q 100 % L 2、最大引用误差 qmax
仪表量程内出现的最大绝对误差 xmax 与该仪器仪 表量程L之比值，
q max x max 100% L
xmax G% L
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测量误差的表示
例子1: 检定一个满度值为5A的1.5级电流表，若在3.0A刻度处的绝 对误差最大，xmax＝+0.2A，问此电流表精度是否合格?
例子2：测量一个约90 V的电压，实验室现有0.5级0-300V和1.0级0100V的电压表。问选用哪一块为好?
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测量误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，一般分为三类： 系统误差
在相同测量条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所 得结果的平均值A与被测量的真值A0之差。即 A A0 系统误差表明了测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误 差越小，测量就越准确。所以，系统误差经常用来表征测量准确 度的高低。 系统误差产生的原因：测量仪器不良，如刻度不准，仪表零 点未校正或标准表本身存在偏差等；周围环境的改变，如温度、 压力、湿度等偏离校准值；实验人员的习惯和偏向，如读数偏高 或偏低等引起的误差。针对仪器的缺点、外界条件变化影响的大 小、个人的偏向，待分别加以校正后，系统误差是可以清除的。
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随机误差的处理
随机误差在区间内取值的概率为1。标准偏差σ 越小，正态 分布曲线越陡，则小误差出现的概率也越大，大误差出现的概率 就越小，这意味着测量值越集中。因此，σ 的大小说明了测量值 的离散性，即测量值相对于真值的分散程度。 1.2、均匀分布 特点是误差均匀地分布在某一区域，在此区域内误差出现的 概率密度处处相同。而在该区域以外误差出现的概率为零。
相对真值：
标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准 器的值
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示值： 由测量仪器给出的量值，也称测量值或测量结果 标称值： 计量或测量器具上标注的量值。如温度计上显示的温度 测量误差 在实际测量过程中，人们对于客观事物认识的局限 性、测量工具不准确、测量手段不完善、受环境影响或测量工作 中的疏忽等，都会是测量结果与被测量的真值在数量上存在差异， 这个差异称为测量误差。
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基本理论
a
b
c
(a)中表示精密度和准确度都很好，则精确度高； (b)表示精密度很好，但准确度却不高； (c)表示精密度与准确度都不好。 在实际测量中没有像靶心那样明确的真值， 而是设法去测定这个未知的真值。
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测量概述
平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，通常真值是无法测得 的。将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是 实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值 只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 x x x x
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精密度、准确度和精确度 反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度（亦称精确 度）。它与误差大小相对应，测量的精度越高，其测量误差就越 小。“精度”应包括精密度和准确度两层含义。 （1）精密度：测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。它反 映随机误差的影响程度，精密度高就表示随机误差小。 （2）准确度 测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映系统 误差的影响精度，准确度高就表示系统误差小。 精确度（精度） 它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合 的影响程度。 在一组测量中，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精 密度也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
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测量概述
误差公理 一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科 学实验的过程之中。研究误差的目的是找出适当的方法减小误差， 使测量结果更接近真值。 准确度 测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果 与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是个定性的概念 测量不准确度 表示测量结果不能肯定的程度，或是说表征测量 结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的，经常 由被测量算术平均值的标准、相关量的标定不确定度等联合表示。 重复性 在相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结 果之间的一致性。相同条件包括：相同的测量程序、测量方法、 观测人员、测量设备和测量地点等
测量误差的表示
相对误差 测量的绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差 x 1、实际相对误差 A 100%
x0
2、示值相对误差
x
x 100 % x
为了减小测量中的示值误差，当选择仪器、仪表量程时，应使 被测量的数值接近满度值，一般使这类仪器、仪表工作在不小于满 度值2／3以上的区域。 用相对误差可以恰当地表征测量的准确程度。相对误差是一个 只有大小和符号，而没有量纲的数值。
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测量概述
测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能 使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多 新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方 法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确 定它的大小 。
绝对误差 由测量所得到的被测量值x与真值x0之差。
x x x0
Δ x – 测量误差
X――检测仪表指示或显示被测参量的数值即仪表读数或示值 （测量值） X0――在一定时间、空间条件下客观存在的被测量的真实数值
（真值）
x
具有大小、正负和量纲的数值，它的大小和符号分别表示 测量值偏离真值的程度和方向。
第一章 测量误差理论与分析
本章内容 1. 概述 2. 测量误差的分类 3. 测量误差的表示方法 4. 测量误差的处理 5. 测量误差的传递
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测量概述
由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的 观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一 定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个 近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误 差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可 以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验 中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值， 提高实验的精确性。
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测量误差的表示
有效数字
在科学与工程中，该用几位有效数字来表示测量或计算结果，总是以 一定位数的数字来表示。不是说一个数值中小数点后面位数越多越准确。 实验中从测量仪表上所读数值的位数是有限的，而取决于测量仪表的精 度，其最后一位数字往往是仪表精度所决定的估计数字。即一般应读到 测量仪表最小刻度的十分之一位。数值准确度大小由有效数字位数来决 定。 当有效数字位数确定后，其余数字舍弃办法是四舍六入，即末位有 效数字后边第一位小于5，则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1；等于 5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种 舍入原则可简述为：“小则舍，大则入，正好等于奇变偶”。 如：保留4位有效数字 3.83212→3.832; 5.32553→5.326 9.56483→9.565 7.32254→7.322
n
x
1
2
n
n
i 1
i
n
(2) 几何平均值 (3) 均方根平均值
x几 n x1 x2 xn
x均
2 2 x12 x2 xn n
x
i 1
n
2 i
n
以上介绍各平均值的目的是要从一组测定值中找出最接近真 值的那个值。由于数据的分布较多属于正态分布，所以通常采用 算术平均值。
仪表在出厂检验时，其示值的最大引用误差qmax不能 超过其允许误差Q（以百分数表示）即
q max
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测量误差的表示
精度等级
工业检测系统常以允许误差Q作为判断精度等级的尺度。规定： 取允许误差百分数的分子作为精度等级的标志，也即用最大引用 误差中去掉百分号（%）后的数字来表示精度等级，其符号是G， G Q 100 qmax 100 精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差 的最大值的范围是
修正值（校正值） 与绝对误差的绝对值大小相等，Байду номын сангаас符号相反的量值 称为修正值，用C 表示 C=- x =A-x (满足规定标准度的用来代替真值 使用的量值为实际值，用A表示) 含有误差的测量值加上修正值后就可以减少误差影响。 绝对误差可以说明测量值偏离实际值得程度，但不能说明测量的准确程度。
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随机误差的处理
1.随机误差的分布规律 1.1正态分布 正态分布的测量值的概率密度为 正态分布的随机误差的概率密度为
1 x x 2 0 f ( x) exp 2 ( x) ( x) 2 1
i xi A
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粗大误差
在相同的条件下，多次重复测量同一量时，明显地歪曲了测 量结果的误差，称粗大误差，简称粗差。粗差是由于疏忽大意， 操作不当，或测量条件的超常变化而引起的。含有粗大误差的测 量值称为坏值，所有的坏值都应去除，但不是主观或随便去除， 必须科学地舍弃。正确的实验结果不应该包含有粗大误差。 粗大误差无规则可寻，只要加强责任感、多方警惕、细心操作， 粗大误差是可以避免的。
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