(完整word版)偏微分方程数值解法答案

1. 课本2p 有证明
2. 课本812,p p 有说明
3. 课本1520,p p 有说明
4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可
表为1n
n i i i u c ϕ==∑
，则,11
11()(,)(,)(,)(,)22j n
n
n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===
-=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令
()
0n j
J u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1
(,)(,),1,2...n
i
j
i j i a c f j n ϕϕ
ϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1
n
n i i i u c ϕ==∑，
从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法
简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1
n
n i i
i u c ϕ
==
∑，
利用,11
11()(,)(,)(,)(,)22j n
n
n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程
Galerkin 法：为求得1
n
n i i
i u c ϕ
==
∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)
n a u V f V =，对任
意
n
V u ∈或（取
,1j V j n
ϕ=≤≤）
1
(,)(,),1,2...n
i
j
i
j i a c
f j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1
n
n i i i u c ϕ==∑的过程称
Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：
1
(,)(,)n
i
j
i
j i a c
f ϕϕϕ==∑
5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构
造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用
有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。

6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i
x x -
之间的小区间1[,]i i i I x x -=，1i i i h x x -=-，由节点上的一组值0120,,...l u u u u =，按线性插值公式1
1()i i n i i i i
x x x x u x u u h h ----=
+○
1 ,1,2...i x I i n ∈=确定试探空间n u ，令1
()i i i
x x F x h ξ--==
○2 把
i
I 变到ξ轴上的参考但愿[0,1]令
01()1,()N N ξξξξ
=-=则：
011()()()n i i
U x N u N u ξξ-=+，
i x I ∈○3将○1
带入该函数
22
1()(2)2b a J u pu qu fu dx '=
+-⎰得到：
2222
1111()(2)()22i i n n
b n n
n n a I I i i J u pu qu fu dx pu qu dx fu dx ==''=+-=+-∑∑⎰⎰⎰
带入○
2可得 21
211101101()1()[()()(()())2n i i n i i i i i i i i i
u u J u p x h h q x h N u N u d h ξξξξξ
----=-=++++∑⎰
1
10110
1
()(()())n
i i i i i i h f x h N u N u d ξξξξ
--=-++∑⎰○
4 令
1,11,1()
0n j j j jj j j j j j j
J u a u a u a u b u --++∂=++-=∂○
5 其中
111,11011
1,111011
1
12,11111100
[()]()(1)][()]()(1)][()]()][()]()(1)]j j j
j j j j j
j j j j j i j j j j j j j j j j j j j j i j j a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d h p x h h q x h d b ξξξξξ
ξξξξξξξξξξξξξ
-----++++----++++=-+++-=-+++-=-++++-+++-=⎰⎰⎰⎰11111
00()()(1)j j j
j j j h f x h d h f x h d ξξξξξξ
-++⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪+++-⎩⎰⎰从而得到
12,,...,n
u u u 的线性方程组！
7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐
标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖
分基函数的取法(1)(1),(,)0,()i i
ij ij x x y y x y R x y
others ϕ⎧---
-∈⎪=∆∆⎨⎪
⎩
其中ij R 是以(,)i j x y 为顶点的矩形单元 ,0x y ∆∆>为ij R 的底和商的长度。

8. 何为三角剖分，基函数怎样取？
三角剖分：设G 是多边形域（否则可用多边形域逼近它），将G 分割成有限个三角形之
和，使不同三角形无重叠的内部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的内部，这样就把G 分割成三角形网，称为G 的三角剖分。

基函数的取法：通过构造Lagrange 型插值公式可以得到基函数的取法。

不妨以1(,)P x y 是一次多项式为例，得到1112233(,)P x y L L L μμμ=++，其中L 1是相应于节点1的基函数在△上的限制（具体的过程，可参考课本：P 57 P 58）
9.题，参考课后习题P
92
的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程
10，11题不会。

在此将14题推导过程介绍如下：
12. 对Possion 方程(,)f x y μ-∆=，建立五点差分格式，并估计截断误差。

取定沿x 轴和y 轴方向的步长h 1和h 2，沿x,y 方向分别用二阶中心差商代替，则
1,,1,,1,,1
2
212
22[
]i j i j i j
i j i j i j h ij ij f h h μμμμμμμ+-+--+-+-∆=-+
= （五点差分格式）
式中,i j μ表示节点(i,j)上的网函数。

令(,)n i j ij x y μμ= (,)(,)n i j ij i j f x y f f x y == 利用Taylor 展式有
246
241161112
2461(,)2(,)(,)
(,)(,)(,)()12360i j i j i j i j i j i j x y x y x y x y x y x y h h h h x x x
μμμμμμο+--+∂∂∂=
+++∂∂∂
24624116
22222462
(,)2(,)(,)
(,)(,)(,)()12360i j i j i j i j i j i j x y x y x y x y x y x y h h h h
y y y
μμμμμμο+--+∂∂∂=
+++∂∂∂
截断误差为
44
2242
12441()(,)(,)()()()12ij i j n i j ij
R x y x y h h h h x y
μμμμμοο∂∂=∆-∆=-+++∂∂
13. 对possion 方程建立，极坐标形式的差分格式
poission 方程的极坐标形式为
222
11[()](,)f γθγγμμ
μγγθγγθ∂∂∂-∆=-+=∂∂∂ ----- ①
其中
γ=
tan y
x
θ=
0γ≤≤∞ 02θπ≤≤ 利用中心差商公式
1
1,11,11,2
2
2
2
(,)2
()11
[
()]i j i j i j i j
i i i i i
h γθγγγ
γ
μγ
γμγ
μμγγγ+-+
+
-
-
-++∂∂≈∂∂ ----- ②
2,1,,1
(,)2222
211[]i j i j i j i j i h γθθμμμμγθγ+--+∂≈
∂ ----- ③ 将② ③两式代入①式得
1
1,11,11,,1,,1
2
2
2
2
2
22
()21
1[
](,)i j i j i j
i i i i i j i j i j i j i i f h h γθ
γ
μγ
γ
μγ
μμμμγθγγ+-+
+
-
-
+--++-+-+
= 即poission 方程极坐标形式的差分方程。

14. 解：将1111,,,k k k k j j j j u u u u +-+-按照Taylor 在k j u 处展开整理得到其截断误差为
在Richardson 格式（4.1.10）中以11
1()2
n n n j j j μμμ+-=
-代入，便得Du
Fort Frankel 格式： 111111
2
()
()2n n n n n n
j j j j j j a
h μμμμμμτ
+-+-+---++=
2341
2341234
111(,)2624n n j
j
j n x t t t t t μμμμ
μ
μττττθ+∂∂∂∂=++++∂∂∂∂ ----- ①
23412342234
111(,)2624n n
j
j
j n x t t t t t
μμμμ
μ
μττττθ-∂∂∂∂=-+-+∂∂∂∂ ----- ② ①-② 得 11323
126n n j j
t t
μμμμττ+--∂∂=+∂∂ （省去了2τ的商阶无穷小） 从而得到了微分方程左边的误差323
16t μτ
∂∂
同理可得微分方程右边的误差：
2442
4242442242224244224
1()()12121212a h ah a h a h t t t t t h t h t μμμμμτμτμττ∂∂∂∂∂∂∂+++=++∂∂∂∂∂∂∂
从而得到 242
22
24()
()()e a h h t h
τ
μτοτο∂=+++∂ 15.用Fourier 方法讨论向前差分格式的稳定性。

解：向前差分格式1
11(12)k k k k j
j j j u ru r u ru ++-=+-+。

以e x p
()k k
j u v i jh a =代入得1exp()exp((1))(12)exp()exp((1))k v i jh r i j h r i jh r i j h vk a a a a +=++-+-消去e
x
p i j
h a 则
知
增
长
因
子
2
1(,)(12)(exp()exp())12(1cos )14sin 2
p h
C x r r i h i h r h r a t a a a ==-++-=--=-由于()2h ph l
a p =在[0，π]中分布稠密，(随0h ®)为使1(,)p C x t 满足von Neu-Mann 条件，必须且只须网比12r £所以向前差分格式的稳定性条件是1
2
r £
16. 用Fourier 方法讨论向后差分格式的稳定性。

解：对向后差分方程1111
11
2
2n n n n n j j
j j j u u u u u a
h
t
+++++---+=利用Fourier 方法分析器稳定性，整理
得：11111222(12
)n n n n j j j j a a a u u u u h h h t t t ++++-=+--。

令2
a r h
t =，将exp()n n
j u v i jh a =代入得到：111exp()(12)exp()exp((1))exp((1))n n n n v i jh r v i jh rv i j h rv i j h a a a a +++=+-+--消去e x p (i j h
a 。

则增长因子为11
1212(exp()(exp()))14sin 2
h
r r i h i h r a a a =?+-+-+。

所以
向后差分方程是恒稳定的。

17. 用Fourier 方法讨论六点对称格式的稳定性。

解：六点对称方程的格式为
1
111
1111
2
22
221()2n n n n n n n n j j
j j j j j j u u u u u u u u a h h t
+++++-+---+-+=+。

令
exp(
)n n
j u v i jh a =代
入
得
1e
x p ()n v i j h a +-e x p n v i j
h
a = 21
2[exp((1))2exp()exp((1)exp((1))2n n n n a v i j h v i jh v i j h v i j h h
t a a a a ++-+-++-
112exp()exp((1)]n n v i jh v i j h a a +++-。

消去e x p (i j h a 得增长因子为
2222222
2
222(cos 1)11sin 2121(cos 1)1sin 2
a a h h h h a a h h h h t t a a t t a a -+-=?--+。

所以六点对称格式是无条件恒定的。

18.证明：利用Fourier 方程将两端同时做变换。

exp()k k j
u v i jh a =得 1exp()-v exp()
k k v i jh i jh a a t
2
exp((+1)h)-2v exp()+v exp((-1)h)exp((+1)h)-v exp((-1)h)=+b -cv exp(2k k k k k k v i j i jh i j v i j i j a i jh h h
a a a a a a )消去exp(ixjh)得增长因子为
2221-
sin +sin -c 2a h b h h h t a t a t ，2
1
von-Neumann 2a h t £由条件可得.即差分格式 111
11
2
-u -2+=a
+b
+c (>0)2k k
k k k
k k
j j
j j j j j k j u u u u u u u a l
h h
++-+--的充要条件是
21
h 2
a t £
19.讨论三维热传导方程向前差分格式的稳定性
解：三位热传导方程为（向前差分格式）.
12222-=
(++)n n jkm jkm
n n
n x jkm y jkm z jkm u u a u u u h
d d d t
+ 取通项222exp(()),=
,=,=
n n
jkm j k m p q g
u v i x y hz h l l l
p p p a b a b =++代到上式消去公因子得12222(14sin 4sin 4sin ),222n n h h hh a v r r r v r h
a b t
+=---=。

从而增长因子为
22211(,,)14(sin sin sin )222
h h hh
c c h h hh r a b a b ==-++为使|1c |=1+O(t )必须且只须
16r £。

当16
r £时三维热传导方程的向前差分格式稳定。

20. 讨论三维热传导方程向前后分格式的稳定性
解：三维热传导方程的向后差分格式为：
1212121
2
-=
(++)n n
jkm jkm
n n n x jkm y jkm z jkm u u a u u u h d d d t
++++ 取通项n
jkm U =n v exp(i(j x α+k y β+m z η)),α=l p π2,β=l q π2,η=l
g
π2,带入上式，消去共因子得：
1)
sin sin (sin 411
2222
22≤+++h h h r ηβα。

恒成立
所以 三维传导方程向后差分格式是无条件稳定的。

21．三维传导方程的PR 格式为：
)2
1(2x r δ-
2
)
(31
l
n jkm n jkm u u -+=
21h
)(222z y x δδδ++n
jkm U （1）
2
31
32
l n jkm
n jkm
u
u
++-=
21h
y δ)(3
2n jkm n jkm u u ++ (2)
2
132
l
n jkm
n jkm u u +++=
21h
)u (1n jk m 2n
jkm z u -+δ (3) (1)(2)(3)合称PR 格式。

22.将)2
1(2x r
δ-3
1
+n jkm
u =n
jkm y u r )2
1(2δ+ )21(2y r δ-32+n jkm u =31
)21(2++n jkm z u r δ
)21(2z r δ-1
+n jkm u =32)2
1(2++n jkm x u r δ
将n
jkm U =n v exp )(m k j z y x i ηβα++带入上式得
),(h h G βα=
)
2
sin 21)(2sin 21)(2sin 21()
2sin 21)(2sin 21)(2sin 21(2222
2
2
h
r h r h r h
r h
r h
r ηβαηβα+++--- 对任何r>0 丨丨G ≤1. 所以)
2
1(2x r
δ-l
u u n
jkm
n jkm -+1
3=
2
1h )(222z y x δδδ++n
jkm U 绝对收敛。

23．解：),(4
4
4
333
2
22
246
21n j t u l t u l t u l
t u n j n j t x l u u θ∂∂∂∂∂∂∂∂+++++= (1) ),(2246
2
14
4
4
3
33
2
22n j t u l t u l t u
l t u n j n j t x l u u θ∂∂∂∂∂∂∂∂-+-+-= (2) ),(324621444
333
222
n j x u
h x u h x u
h
x u n j n j t x h u u θ∂∂∂∂∂∂∂∂+++++= (3) ),(424
6
2
14
44
3
33
2
22n j x u h x u h x u h x u n j n j t x h u u θ∂∂∂∂∂∂∂∂-+-+-= (4)
(1)+(2) 得
2112l u u u n j n j n j -++-=2
2t
u ∂∂+)(2
l o
（3）+（4）得2112h u u u n
j n j n j -++-=2
2x
u ∂∂+)(2
h o 所以 其截断误差为)(2
2h l o + 。

24. 证明：用Fourier 法 证明：
作变化n
j u =)ex p(jh i v n
α。

得α≥0时
l jh j v jh j v n n )ex p()ex p(1αα-+=h
h j j v jh j v n n )
)1(ex p()ex p(11---++ααα
消去)exp(jh i α得： 1+n v =
n
h
l
v h i ))ex p(1(11αα--+ 所以G ),(l h α=丨丨
))ex p(1(11
h i h
al α--+丨丨=h h h l a h al h al αα22sin )cos 1(1222+-+≤1
所以 当a ≥0时, l
u u n j
n j -+1
+h
u u a
n j n j 1
1
1+-+-=0绝对稳定。

当
a<0
时
，
l jh i v jh i v n n )ex p()ex p(1αα-+=h
jh i v h j i v a n n )ex p())1(ex p(1αα-+-+
消去)exp(jh i α得： 1
+n v
=n h al
h
al v h i )
ex p(11α++ 丨)ex p(11h i h
al h
al α++丨≤1 . =
h
h h l a h
al
h
al αα2
2
sin )cos 1(12
22+
++≤1
所以 当a<0时 l u u n j n j -+1+h
u u a
n j
n j 1
11+++-=0 绝对稳定
22221111sin 1
1sin 22222222v exp()exp()(exp((1)
)exp((1))
Fourier u exp(
).0
221
exp()v
,
1a 1-i sin |sin 11sin n n n n n n j a i h n n n h a i h
h
i jh v i jh v i j h v i j h v i jh a h
i jh v v a i h h
h h a a h h τ
ττττττ+++-∂++∂∂-∂∂+-∂-=∂+=∂==+∂∂++∂25 解：作变换得
消去得 n+1n n+1n+111n+1n
1
n+1n +11u -u u -u +a 0226u -u 0a 01u -u 0a 0a ()j j j j n n j j j j j j n n j j j j
j j j j h
u u a h u u a a x h τττ+--∴=-+=≥-+=<=绝对稳定。

变系数方程的差分格式为
，当（式），当（2式），其中利用j 1111
1
1111o 241a 0,||1,(2a 0,|a | 1.r 27
1
u ()
2a 0,=f (,)
2+ar (1)(1)(1),,.
29j j j n n n n n j j j n
n
j j j j j
n n n n
j j j j F urier a r h
u u L x x h
Box ar ar ar f au r h
f
f
f u u u u u τγτ
τ+-++-++--≥≤≤≤=-+-
+=+-=-++==方法，类似题得到（式）稳定的充要条件为式）稳定的充要条件为格式：其中格式：（1)题1
j j+1j j-1k+1j
j
1
2
1j
1
2
2
k+12
1i 2(2)(12=exp(),exp()4(cos 1)-8r sin 1
)(
h)2
10
u u u u u u u v k k
k
k
k
j k
j
k k
k
k j
j j
k k
k
k
r i x i x r h h
h w w v w v v
v
v ++=-++=∂=∂=∂-+∂=∂=∂证明： 将R chardson 格式写成等价的方程组： 式）
（式）
以代入，并消去公因子，得
得到增长矩阵为 G( ）从而得到G(的谱半径不12121121212121212121212vokNewman Richardon 28
+=b,,||1|c |||1 +0-c ()(1)(1)0 +0(+)(1)(1)0Q Q c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=≤=≤≥-+=--≥<+=--≥∴，，满足条件。

故格式绝对不稳定。

必要性证明：由根与系数的关系知若成立，则显然成立
当 时， 1-|b|=1+当 时， 1-c-|b|=1+1211121212121|b|-c |c |b |c||1|||| 1.+0-c ()(1)(1)0||,|2| 1.
+λλλλλλλλλλλλλλλλ≤≤∴≤≤∴≤≤∂
∴≤≤∂≤≤∂∴≤≤∂∴≤∴≤∴≥-+=--≥∴： 1时成立 。

|1,-1-c 1,01-c |b|1-c 充分性证明：
|1-c , 01-c 。

1
| 中至少有一个是小于等于当 时， 1-|b|=1+ 1小于当 212121210(+)(1+)(1)0|| ,|2| 1.|| 1.Q λλλλλλλλλ<+=+≥⇒⇒≤，时， 1-c-|b|=1+1小于充分性得证。