高三联考理科数学试题(附答案)
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。
2024-2025学年河南省高三上学期联考(二)数学试题及答案
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（ ）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（ ）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（ ）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（ ）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（ ）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（ ）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（ ）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n n n n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
陕西省西安市八校联考2024届高三下学期理科数学试题(含答案与解析)_3730
西安市八校2023~2024学年高三下学期联考试题数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A. {}B.C. {1,D. {2}N =2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π34. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40Pm2mmA. 120B. 160C. 200D. 2605. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+最大值为（ ）A 18B. 14C. 10D. 30-6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.7127. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）． A. 1B.C. 2D. 49. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A 48种B. 42种C. 36种D. 30种10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.的.的.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+D. ()lg(51)g x x =+第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．14. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设21log nn i i b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值．19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A CG B --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．的（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A{}B.C. {1,D. {2}N =【答案】B 【解析】【分析】先求集合M ，然后由集合的运算可得. 【详解】由10x -≥解得(],1M ∞=-，所以()1,U M ∞=+ð，所以{()U M N ⋂=ð. 故选：B2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-， 所以13i 22z =-. 故选：A3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π3【答案】D 【解析】【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得..的【详解】将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m 个单位， 得()ππ2sin 22sin 2233y x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 因为π2sin 223y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称， 所以π2π,3m k k -=∈Z ，即ππ,62k m k =+∈Z ， 当3k =时，得5π3m =，使πππ623k m =+=，πππ62k m =+=，ππ4π623k m =+=的整数k 不存在.故选：D4. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40P m2mmA. 120B. 160C. 200D. 260【答案】C 【解析】【分析】根据概率和为1，求得m ，再根据分布列求()E X ，再求()D X 即可. 【详解】由题可知：21m m m ++=，解得14m =，则()040408020E X m m m m =⨯++==； 故()()()()222111020202040201000100200424D X =-+-+-=++=. 故选：C.5. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+的最大值为（ ）A. 18B. 14C. 10D. 30-【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图，目标函数36z x y =-+，即为1126y x z =+，作出直线12y x =， 由图可知，当直线12y x =平移至A 处时，z 取得最大值， 联立224x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得28(,)33A ，则目标函数z 的最大值为z =36148323-⨯+⨯=. 故选：B.6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 的方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.712【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时t 的范围，然后由区间长度比可得. 【详解】若方程22430x tx t ++-=有两个负根，则()2043044430t t t t ⎧-<⎪->⎨⎪-->⎩，解得314t <<或3t >，又(1,8)t ∈-，所以当314t <<或38t <<时，方程22430x tx t ++-=有两个负根， 故所求概率()3183741281P -+-==--. 故选：D7. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3，高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3，高为6的圆锥的一半构成的组合体，如图，所以221111π34π3615π2323V =⨯⋅⨯+⨯⋅⨯=， 故选：A8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）．A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设()1,0A x ，()2,0B x ，则1x 与2x 是方程()20x b a x ab -+-+=的两根，则12x x b a +=-，12x x ab =-，12AB x x a b =-==+，又2y x b a '=-+-，则函数()2y x b a x ab =-+-+在点()1,0A x 处的切线方程为()()112y x b a x x =-+--，同理函数()2y x b a x ab =-+-+在点()2,0B x 处切线方程为()()222y x b a x x =-+--，则()()()()112222y x b a x x y x b a x x ⎧=-+--⎪⎨=-+--⎪⎩，解得()()()12222121212224222x x b a x x x x x x x a b y +-⎧==⎪⎪⎨-++-+⎪===⎪⎩，即点()2,22a b b a P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，则311142244ABP P S AB y a b ab =⋅=+≥⋅⋅= ，当且仅当1a b ==时等号成立，故选：C.9. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果. 【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况：第一种：第一堆除了,A B 之外，还有一名医生，第二堆是C ，第三堆是1名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；第二种：第一堆为,A B ，第二堆是C ，第三堆是剩余两名医生， 则此时选派方案有：2323C A 6⋅=种；第三种：第一堆为,A B ，第二堆是C 以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；的综上所述，所有选派方案有：1261230++=种； 故选：D.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，又渐近线过点()3,9P -，即93b a-=-⨯，则3ba =，所以离心率c e a ====，故选：A.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知()()12f x f x +=-，则()()12f x f x =--，则()()22f x f x +=-， 可知函数()f x 为周期函数，最小正周期4T =，又当20x -≤≤时，()2xf x =-，可知函数()f x 的图象如图所示，且()f x 的值域为[]1,1-， 关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，可得函数()y f x =与函数()log 1a y x =+的图象至少有两个交点， 如图所示，可知当01a <<时，()1log 411log a aa +≥-=，解得15a ≤，即10,5a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1a >时，()log 211log a a a +≤=，解得3a ≥，即[)3,a ∞∈+， 综上所述[)10,3,5a ∞⎛⎤∈⋃+ ⎥⎝⎦，故选：C.12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+ D. ()lg(51)g x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出1x 的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解. 【详解】函数()4ln 2x f x x =+-定义域为(0,)+∞，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而1211(4ln 2ln 20,(1)2022f f =+-=-<=>，因此1112x <<，对于A ，由()0g x =，得(1)(1)(32)0x x x +--=，解得=1x -或23x =或1x =， 显然121||32x -<或11|1|2x -<，A 能；对于B ，由()0g x =，得211120422x x ⋅-⋅=，解得13x =，332233(2ln 22ln 2 2.5044f =+->+-=->，即11324x <<，1115163122x <-<<，B 能；对于C ，由()0g x =，得5πcos(012x +=，则5πππ,Z 122x k k +=+∈， 解得ππ,Z 12x k k =+∈，取π110,(,1243k x ==∈，11π16122x <-<，C 能； 对于D ，函数()lg(51)g x x =+在1(,)5-+∞上单调递增，(0)0g =，而1102x ->，D 不能.故选：D【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1 【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=故1λ=. 故答案为：114. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________. 【答案】1023 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得k ，再通过赋值法先求0a ，再求目标即可.【详解】521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()52103155111C C 1,0,1,2,51010rrr r r r r T xx r x --+⎛⎫=-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭ ， 令3r =，则可得含x 项的系数()3351C 1110k =⨯⨯-=-，则()101kx -()101x =+， 对()101x +，令0x =，解得01a =；对()101x +，令1x =，解得10011021024a a a +++== ，故1210a a a +++= 102411023-=. 故答案为：1023.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．【答案】114 【解析】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为(0.010.0050.010.015)100.4+++⨯=，数学成绩在区间[60,120)的频率为0.40.025100.65+⨯=，因此数学成绩的中位数(110,120)m ∈，且(110)0.0250.1m -⨯=，解得114m =， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114. 故答案为：11416. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+，求出弦长,AB AC ，根据AB AC =整理可得()()221110k k a k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由方程有唯一实数解可得1a <≤，然后可得离心率.【详解】由椭圆2221(1)x y a a+=>可知()0,1A ，易知，直线AB 与AC 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+， 联立22221y kx x a y a=+⎧⎨+=⎩消元得()2222120a k x a kx ++=， 解得22221B a kx a k =-+，同理，联立222211y x k x a y a⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可解得2222C a kx a k =+， 由题知，AB AC =，222222221a k a k a k a k=++， 整理得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因为1k =为上述方程的根，所以，要使满足条件的△ABC 有且只有一个，方程()22110k a k +-+=没有实数解，或者有两个相等的根1k =.当()22Δ140a =--<时，解得1a <<，当()22Δ140a =--=时，解得a =()22110k a k +-+=的根为1.综上，1a <≤.所以，e ⎛= ⎝.故答案为：⎛ ⎝【点睛】求离心率的方法主要有：（1）定义法：根据题意求出a ，c ，然后由离心率公式直接求解；（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得222,,a b c 的关系式，利用222b a c =-消去2b ，然后两边同时除以2a 转化为关于e 的方程或不等式即可求解.三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn ii b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求n b ，然后利用裂项相消法求n T 即可得证. 【小问1详解】记数列{}n a 的公比为q ，则211252611121632a a q a q a q a q⎧+=⎨⋅=⎩，解得112a q ==， 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可得，221log log 2nn a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()2111log2nnn i i i n n b a i ==+==-=-∑∑，所以()122211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以22222222221223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为*n ∈N ，所以2011n <≤+， 所以22211n -<-≤-+，即21n T -<≤-. 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值． 【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解； （2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解. 【小问1详解】因为222ππ1ππsin sin sin()cos()sin sin 2sin 36226C B B B B B ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()22211113sin cos 2sin 12sin 22244B B B B ⎛⎫=++=+-+= ⎪⎝⎭，因为sin 0C >，所以sin C =由△ABC 为钝角三角形且a c <，b c <知，C 为钝角，所以1cos 2C =-，即tan C =，所以()tan()tan πtan A B C C +=-=-=【小问2详解】因为1sin 2ABC S ab C ===△， 所以48ab =，由余弦定理，222222cos 3144c a b ab C a b ab ab =+-=++≥=，当且仅当a b ==此时2c 的最小值为144，所以c 的最小值为12.19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A CG B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明AF ⊥平面ABCD ，再利用AF CE ∥即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A CG B --的余弦值即可. 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形.AF AC ∴⊥，又AF BD ⊥，且AC 与BD 是平面ABCD 上的两条相交直线.AF ∴⊥平面ABCD .由ACEF 为正方形，得AF CE ∥，CE ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由题意知，直线AB 、AD 、AF 两两互相垂直.分别以直线AB 、AD 、AF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系A xyz -.设2AB =，则AC =，于是，有()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2,2,E，(0,0,F，(1,1,G ，(1,1,BG ∴=- ，()0,2,0BC = ，()2,2,0DB =-.设平面BCG 的一个法向量为()111,,n x y z =，则11111110020y n BG x y x n BC y ⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅==⎪⎪⎩⎩，令11z =，得1x =所以()n =，AF DB ⊥ ，DB AC ⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACEF ，DB ∴⊥平面ACEF ，即DB ⊥平面ACG ()2,2,0DB ∴=-是平面ACG 的一个法向量.设二面角A CG B --的大小为α，结合图形，知α为锐角，2cos cos ,3n DB n DB n DBα⋅∴=====⋅，∴二面角A CG B --的余弦值为23. 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出p 即得. （2）假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得. 【小问1详解】抛物线2:2S x py =的焦点(0,)2p F ，直线l方程为2py x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y得：22330x p --=，则12x x p +=，12125)3y y x x p p +=++=，128||||||3AB AF BF y y p p =+=++=，于是81633p =，解得2p =，所以抛物线S 的方程为24x y =. 【小问2详解】 由（1）知直线l：1y x =+， 假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为221212(,(,44x x M x N x ，于是直线MN的斜率22121212144()4MNx x k x x x x -==+=-，解得12+=-x x 线段MN的中点0()y -在直线l 上，则01y =-，而0()y -应在线段AB 上，必有00y >与01y =-矛盾，所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++（或12||AB y y p =++），若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . 【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函数()f x 单调递增()0f x '⇒≥恒成立，令导数()0f x '≥，过程中对参数k 进行分离参数得()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，再将问题转化成研究具体函数()()()()22121x h x x x +=->-+的最值问题即可.（2）由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增得()2ln 12xx x +>+，再根据所需求证不等式的特征令22x a x =+不等式变成2ln2a a a +>-，再根据所需依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ 进行研究即可得到.小问1详解】由题()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()()2222221111212k x kx x k x x x f x x x x '+-+++=+=>-++++， ()f x ()1,-+∞上单调递增时，()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，得()()22210x k x +++≥在()1,-+∞恒成立，即()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，设()()()()22121x h x x x +=->-+，得()()()()()()()2222212212121x x x x x h x x x ++-++'=-⨯=-++，由()0h x '=，得0x =，或2x =-（舍去），当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上单调道增；当0x >时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+上单调递增，()h x ∴在0x =处取得极大值也是最大值，即()()max 02h x h ==-⎡⎤⎣⎦， 2k ∴≥-，()f x \在其定义域上单调递增时，k 的取值范围为[)2,-+∞.【小问2详解】由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增.【在∴当2k =-，0x >时，()()()2ln 1002xf x x f x =+->=+，即()2ln 12x x x +>+.① 令22x a x =+，则22a x a =-，代入①，整理得2ln2a a a+>-.② 在②中，依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ . 顺次得到231ln 211n n n +>++，251ln 232n n n +>++，271ln 253n n n +>++，…，411ln 412n n n+>-. 将以上各不等式两边分别相加并整理，得1111411ln ln 2ln 212322121n n n n n n n +⎛⎫++++<=-< ⎪+++++⎝⎭.证毕. 【点睛】方法点睛：导数与单调性关系：（1）在函数定义域内，不等式'()0f x >的解即为函数()y f x =的增区间；不等式'()0f x <的解即为函数()y f x =的减区间.（2）若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递增，则'()0f x ≥对(),x a b ∈恒成立；若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递减，则'()0f x ≤对(),x a b ∈恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=（2）AB =【解析】【分析】（1）利用消元法可得直线l 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线Γ的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=，利用韦达定理和弦长公式，即可得到结果. 【小问1详解】直线l的参数方程为1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），相加消去t ，得其普通方程为30x y +-=， 曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转化成直角坐标方程为()2224x y -+=.【小问2详解】设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入()2224x y -+=，得到210t ++=，12121t t t t +=-=， 故12AB t t =-==.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集． 【答案】（1）4（2）[]0,3 【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质及均值不等式求解即可； （2）分区间讨论去掉绝对值解不等式即可.【小问1详解】()244442222224f x x a x x a x x a x a a a a a a a =++-=++-≥++-=+=+≥, 当且仅当()42204x a x a a a ⎧⎛⎫+⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩时，即2a =±，11x -≤≤时等号成立，所以函数()f x 的最小值为4 【小问2详解】由（1）知，min [()]4a f x ==， 则2()24224124f x x x x x =++-=++-， 所以(1)2232f x x x -=++-25x ≤+，①当1x ≤-时，原不等式可化为：222325x x x ---+≤+， 即46x -≤，解得23x ≥-，又1x ≤-，故无解； ②当312x -<≤时，原不等式可化为：222325x x x +-+≤+， 即525x ≤+，解得0x ≥，又312x -<≤，所以302x ≤≤；③当32x <时，原不等式可化为：222325x x x ++-≤+，即26x ≤，解得3x ≤，又32x <，所以332x <≤.综上，不等式的解集为[]0,3.。
河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试理科数学试题含答案
N [5, 6] ，
所以 M N (2, 6] .
故选：C
3.
如图，在 ABC 中，
AB
2，
AC
1 ， cos BAC
1
，M 为线段 BC 的中点，则
2 AM
（
）
4
A. 3
3
B.
2
C. 5
D. 10 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，可得
AM
1
解作答.
A. b c a
B. b a c
C. a c b
【答案】D
【解析】
） D. a b c
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数 f (x) 的周期性，及在 [2, 2] 上的单调性即可判断作
答.
【详解】由 f x 1为奇函数，得 f (x) 1 [ f (x) 1] ，即 f x 2 f x ，
三棱柱的体积为（ ）
A. 4 2
B. 4
【答案】A 【解析】
4
C.
3
D. 4 2 3
【分析】连接 B1C ，由题设条件结合线面垂直的判定性质证明 BM B1C ，再求出 BB1 即可求解作答.
【详解】 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，连接 B1C ，如图，
由 ABC 90 ，得 A1B1 B1C1 ，而 BB1 平面 A1B1C1 ， A1B1 平面 A1B1C1 ，则 A1B1 BB1 ，
故选：B.
2. 已知集合 M x 2x 4 ， N x x2 x 30 0 ，则 M N （ ）
A. 5,
B. 2,
C. 2,6
D. 5, 6
【答案】C 【解析】
陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题含答案
绝密★启用前“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,0,2AB =-，则B =（ ）A ．{}2-B ．{}1C ．{}2,1-D ．{}2,0,2-2．在复平面内，复数z 与21i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．下列说法中正确的是（ ）A ．回归直线方程为 1.230.08y x =+，则样本点的中心可以为()4,5B ．采用系统抽样，从800名学生中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40C ．“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件D ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：0x ∃∈R ，020x< 4．二项式()()*1nx n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．105．已知x ，()0,y ∈+∞，6124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（ ）A ．92B ．98C ．32D ．946．某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ） A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知圆C ：22480x y x y +-+=关于直线32220x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．B CD ．8．在xOy 平面内，双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左顶点AM ，若122MO FF =，则该双曲线的离心率是（ ） ABCD ．539．在△ABC 中，如果()cos 2cos 0B C C ++<，那么△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin sin B C Ab c C+=，则b 的值为（ ） A ．1BC．2D ．211．函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,1上有唯一的极大值，则ω∈（ ） A ．13ππ,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13ππ,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π13π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13π25π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12．已知偶函数()f x 满足()()8f x f x =-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]20,20-上有且只有30个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．13ln 2ln 6,34⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．13ln 2ln 6,34⎛⎤--⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线5e2xy -=+在()0,3处的切线方程为________．14．设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2334n n S n T n -=+，则77a b =________． 15．点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则ABd的最小值为________． 16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4，当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分17．（12分）数列{}n a 为正项数列，14a =，n +∀∈N ，22112n n n n a a a a ++-=（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足2211log log n n n b a a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项和，求证：1n T <．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==，PA =120PDC ∠=︒，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上．（I ）若12AF =，求证：CD EF ⊥； （II ）设平面DEF 与平面DP A 所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cos θ=． 19．（12分）中国职业男篮CBA 总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．（I ）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率； （II ）设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的数学期望()E X ．20．（12分）已知1F ，2F 为椭圆E ：22184y x +=的上、下焦点，()00,P x y 为平面内一个动点，其中00x >．（I）若12PF PF +=12FPF △面积的最大值； （II ）记射线1F P 与椭圆E 交于()11,M x y ，射线2F P 与椭圆E 交于()22,N x y ，若21MF NF ∥，探求0x ，1x ，2x 之间的关系．21．（12分）已知函数()ln 1e axxf x x ax =+--，a ∈R ，e 为自然对数的底数． （I ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：1212elnx x a+>． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），直线l ：θα=（[)0,πα∈，ρ∈R ）与曲线C 相交于M 、N 两点．以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）记线段MN 的中点为P ，若OP λ≤恒成立，求实数λ的取值范围． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-． （I ）若()11f x m n≥+（m ，0n >）对x ∀∈R 恒成立，求m n +的最小值； （II ）若()2f x ax a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围．“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第一次大联考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分） 1．【参考答案】C 2．【参考答案】D【解析】21i 1i=+-，则1i z =-． 3．【参考答案】A 4．【参考答案】C【解析】由310n C =得，5n =． 5．【参考答案】A 【解析】由题可得，6222x y--=，26x y +=，则2129222x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3x =，32y =时，等号成立． 6．【参考答案】B【解析】()112212333336C C C C C +=．7．【参考答案】D【解析】直线32220x ay --=过圆C ：22480x y x y +-+=的圆心()2,4C -，r =，则2a =，圆C 中以()1,1-为中点的弦长为=8．【参考答案】B【解析】由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩得(),M a b ，则()03b a a -=--，3b a =，于是3e ==． 9．【参考答案】D 【解析】()()()cos 2cos cos πcos π2cos cos 0B C C B A B A B A ⎡⎤⎡⎤++=+-+-+=-<⎣⎦⎣⎦，则cos cos 0B A >，于是B ，A 均为锐角，则△ABC 的形状无法确定． 10．【参考答案】A【解析】易得22222222a c b a b c aabc abc c+-+-+=，化简得1b =． 11．【参考答案】C 【解析】令ππ2π32x k ω+=+，k ∈Z ，则π2π6x k ω=+，k ∈Z ，在y 轴右侧的第一个极大值点为π6x ω=，第二个极大值点为13π6x ω=，于是π1,613π1,6ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩解得π13π,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．12．【参考答案】D【解析】由题可知，此函数周期为8，此不等式在(]0,4上恰有3个整数解，又可知()f x 在e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在e ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且()1ln 20f =>，()()()3234ln 204f f f >>=>，故0a <，且须()()()4,3,1,a f a f a f ⎧-≥⎪-<⎨⎪-<⎩解得13ln 2ln 6,34a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦． 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．【参考答案】530x y +-=【解析】05x y ='=-，切线方程为35y x -=-即530x y +-=．14．【参考答案】2343【解析】7713771313231343a a Sb b T ===．15．【解析】由抛物线几何性质可得()12d AF BF =+，由余弦定理和基本不等式可得， ()22222cos120AB AF BF AF BF AF BF AF BF =+-⋅︒=+-⋅()()222324AF BF AF BFAF BF⎛⎫+≥+-=+ ⎪⎝⎭，易得ABd≥，当且仅当AF BF =时等号成立． 16．【解析】【详解】如图，易知M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，记点M 的轨迹为圆弧EF ．连接AF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，又π2PAF PBF ∠=∠=，则三棱锥P ABM -的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积34π3V ==． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（1）由221120n n n n a a a a ++--=得12n n a a +=，∴12n n a +=；（II ）()11111n b n n n n ==-++，∴11111nn n i T b n ===-<+∑．18．解：（I ）在△PCD 中，2PD CD ==，∵E 为P C 的中点，∴DE 平分∠PDC ，60PDE ∠=︒， ∴在Rt △PDE 中，cos601DE PD =⋅︒=， 过E 作EH CD ⊥于H ，则12DH =，连结FH ， ∵12AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H =，∴CD ⊥平面EFH ，又EF ⊂平面EFH ，∴CD EF ⊥．（II ）∵2AD PD ==，PA =AD PD ⊥，又AD DC ⊥， ∴AD ⊥平面PCD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面PCD ⊥平面ABCD ．过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，又知E 为PC的中点，10,2E ⎛ ⎝⎭，设()2,,0F t ，02t ≤≤，则10,2DE ⎛=⎝⎭，()2,,0DF t =，(0,DP =-，()2,0,0DA =．设平面DEF 的法向量为()111,,n x y z =，则0,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴111110,220,y z x ty ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 取12z =-，可求得平面DEF 的一个法向量()3,22n t =--，设平面ADP 的法向量为()222,,m x y z =，则0,0,m DP m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以2220,20,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取()0,3,1m =．∴cos cos ,23m n θ===⋅43t =，∴当43AF =时满足cos 4θ=．19．解：（I ）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列．设此数列为{}n a ，则易知1400a =，100300n a n =+，所以()10070030002n n n S +==． 解得5n =或12n =-（舍去），所以此决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1：3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为4341124C ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为14． （II ）随机变量X 可取的值为4S ，5S ，6S ，7S ，即2200，3000，3900，4900．()4112200228P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()434113000C 24P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()535153900C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()636154900C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为所以()22003000390049003775841616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解：（I ）由题可知，点()00,P x y为椭圆2219122y x +=上一点，且00x >， 则1212011422F PF S F F x =⋅⋅≤⨯⨯=△12F PF △． （II ）射线2F N 的方程为()22220y y x x x +=-≥，射线1F M 的方程为()11220y y x x x -=+≥，联立221122,22,y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩解得()212112012224y x x y x x x x x -++=，① 又21MF NF ∥，则12212112122222y y y x x y x x x x +-=⇔-=+，② 将②代入①，得012111x x x =+． 21．解：（I ）当1a =时，()e ln 1x f x x x x -=+--，0x >，()()11e x f x x x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 则()f x 的单调增区间为区间()0,1，减区间为区间()1,+∞．（II ）()ln ln 1e ln 1ex axax x f x x ax x ax -=+--=++--，0x >， 令()e 1x g x x =+-，()e 10x g x '=+>，则()g x 在()0,+∞上单调递增，又()00g =，于是当()0f x =即()ln 0g x ax -=时，ln 0x ax -=，则此关于x 的方程有两个不同的解1x ，2x ，即1122ln ln ,,x ax x ax ==⎧⎨⎩①②构造函数()ln x h x x =，0x >，()21ln xh x x -'=，当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，可知()10e e a h <<=，又()10h =，不妨设121e x x <<<， 由②-①，得()2211ln x a x x x -=，令()211xt t x =>，则()11ln ax t t -=，1ln 1t ax t =-，同理可得，2ln 1t t ax t =-， 要证1212eln x x a +>，即证()12112e ln ln 2e ln 1t a x x a t a a a t ++>⇔>--，令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，1t >，()()()22101t t t t ϕ-'=≥+，又()10ϕ=，则()0t ϕ>，1ln 21t t t +>-， 又1ln ea a >-，2e ln 2a a -<，故此题得证．22．解：（I ）因为曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），故所求方程为()()222112x y ++-=． 又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，则22cos 2sin 2ρρθρθ+-=，故曲线C的极坐标方程为2πsin 24ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． （II ）联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得()22cos sin 20ρραα+--=， 设()1,M ρα、()2,N ρα，则()12π2sin cos 4ρρααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 由122OP ρρ+=，得π4OP α⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当3π4α=时，OP，故实数λ的取值范围为)+∞．23．解：（I ）由题可得，()3,1,11212,1, 213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩如图所示，()min 32f x =，则1132m n +≤， 可得233222m n m n mn +⎛⎫+≤≤⎪⎝⎭，于是83m n +≥，当且仅当43m n ==时，等号成立． 故m n +的最小值为83． （II ）令()()212g x ax a a x =-+=+-，则()g x 恒过()1,2--，当()g x 过点13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时，73a =，结合图像分析可得，733a -≤≤． 故73,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。
高三数学(理)下学期六校联考试题(含答案)
浙江省六校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间为120分钟。
参考公式：柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h S S = 其中12,S S 分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知集合{}2=430A x x x -+<，{}24B x x =<<，则AB =A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2.已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，则“12//l l ”是“7-=m ” 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知空间两条不同的直线m ，n 和平面，则下列命题中正确的是A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥C ．若//m α，//n α，则//m nD ．若m α⊂，//n α，则//m n 4.将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单 位，得到的函数的图像的一个对称中心为A ．（π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0） D ．（π2，0） 5.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0，9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7α6.已知O 为坐标原点，双曲线的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于两点A ，B （异于原点），若，则双曲线的离 心率为A ．3B ．2C ．3D ．27.设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤）， 则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，不正．． 确．的是 A ．若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+B ．若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =C ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+D ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 8.如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，5BC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。
2020届全国大联考高三联考数学(理)试题(解析版)
2020届全国大联考高三联考数学（理）试题一、单选题 1．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.2．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论.【详解】205110()()133<<=Q ，10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D 5【答案】C【解析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DMr =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______. 【答案】18【解析】先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v______.【答案】14425【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.15．()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 【答案】3 -260【解析】(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】将1x =代入()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()333612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.故答案为：3； -260 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 16．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为_______.【答案】【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，根据弦长公式，只需||OM 最小，在,APM AQMV V中，根据余弦定理将22||,||AP AQ 表示出来，由AMP AMQ π∠+∠=，得到2222||||2||2||AP AQ AM MQ +=+，结合弦长公式得到22||||16AM OM -=，求出点M 的轨迹方程，即可求解. 【详解】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，① 在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，②,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q①+②得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++， 即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||22OM ==，max ||22PQ =. 故答案为：22.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点M 的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V【答案】(1) 12π．(2)． 【解析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得22a sinBb sinA ⋅===()1sin 22224sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯=⎪⎝⎭Q ，11222ABC S absinC ∴==⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN u u u r，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒， 所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥， 所以EF ⊥平面CDN .又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ，因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知3CN =，2MN =，且四边形ABCD为正方形.设AB 的中点为G ，以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2N ，()1,0,2F ，所以()0,2,0AB =u u u r，()1,1,2AF =-u u u r ，()0,1,2CN =-u u u r .设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =r，由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得20,20,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 取()2,0,1n =r.设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，所以22sin 333CN n CN nθ⋅===⨯u u u r r u u u r r ， 所以直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F△的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎫⎪⎝⎭或135,24⎛-⎝⎭【解析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m=-，则2QF的方程为1x=②，由对称性不妨令点P在x轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件.若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N ny =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P uuu u r 应与2F N u u u u r共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--u u u u r u u u u r所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P的坐标为1,24⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.21．设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围； （2）设()()()221ln 1e 11xH x x x x x ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.【答案】（1）(]0,2 （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x=-=--<在区间()0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x x x x x x x -<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1xx x x -+的单调性从而证明e 2e 1xx x x <-+在区间()0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方， 所以()()1ln 0f x g x x t x x-=--<在区间()0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x=--，其中()0,1x ∈， 所以()222111t x tx F x x x x-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -…，即02t <…时，()0F x '…， 所以函数()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，故()()0f x g x -<成立，满足题意.②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<， 则()x θ图象的对称轴12tx =>，()01θ=，()120t θ=-<， 所以()x θ在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2. （2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1xx H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln xx x x x x x--+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <， 所以()()()21e 10eln x xx x x H x x x--+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x-⇔<-+. 令()()e 101xh x x x =--<<，则()e 10xh x '=->，所以()h x 在()0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，所以()2e 1111xx x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x xx x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->.令()()2e 011xm x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <.因为()()()222e 101x x m x x-'=>+，所以()m x 在()0,1上单调递增，所以()()e122m x m <=<，即()2m x <在()0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.【答案】（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+⎪⎝⎭（2）最大值为34【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭.（2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b +++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2023年高三1月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2023年高三1月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0>=x x A {}01232≤--=x x x B ，则()=B A C R （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31，B .()⎪⎭⎫⎝⎛∞+∞-，，310 C .()1-∞-，D .(]()∞+∞-，，10 2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且i z z 232+=+，则=z1（）A .i 5251-B .i 5251+C .i 2121-D .i 2121+3.榫卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.春秋时期著名的工匠鲁班运用榫卯结构制作了鲁班锁，且鲁班锁可拆解，但是要将它们拼接起来则需要较高的空间思维能力和足够的耐心.如图（1）六通鲁班锁是由六块长度大小一样，中间各有着不同镂空的长条形木块组装而成.其主视图如图（2）所示，则其侧视图为（）4.已知向量()3,1=a ，2=b ，且10=-b a ，则()()=-⋅+b a b a2（）A .1B .14C .14D .105.已知32cos 3sin =-αα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos πα（）A .91-B .91C .97D .97-6.使得“函数()txx x f 323-=在区间()3,2上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）A .2≥tB .2≤tC .3≥tD .334≤≤t 7.某精密仪器易因电压不稳定损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为0.1.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为0.2，则连续两次电压不稳仪器为损坏的概率为（）A .0.72B .0.7C .0.2D .0.188.已知函数()x x f cos 4=，将函数()x f 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的()01>ωω倍得到函数()x g 的图象，若函数()()2-=x g x h 在()π2,0上有且仅有4个零点，在实数ω的取值范围为（）A .[)3,2B .⎥⎦⎤ ⎝⎛382，C .(]3,1D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡338，9.已知1.1log 2.1=a ，1.12.1=b ，2.11.1=c ，则（）A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .bc a <<10.已知数列{}n a 满足121-=+n n a a ，11=a ，设{}n a 的前n 项和为n S ，若*N n ∈∀，不等式λ≤-+--8476n S a n n n 恒成立，则λ的最小值为（）A .21B .2C .5D .611.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左顶点为A ，右焦点为F ，以线段AF 为直径圆M 与双曲线的一条渐近线相交于D B ,两点，且满足2-=⋅OD OB （O 为坐标原点），若圆M 的面积S 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈825,49ππS ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡247B .[]4,2C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡447，D .(]2,112.已知函数()x f 的定义域为R ，且满足()()011=-+-x f x f ，()()x f x f =+8，()11=f ，()13-=f ，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<++-=42,120,12x b x x a x x f ，给出下列结论：①31-=-=b a ，；②()12023=f ；③当[]6,4-∈x 时，()0<x f 的解集为()()4,20,2 -；④若函数()x f 的图象与直线m mx y -=在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4176166121，， .其中正确结论的个数为（）A .4B .3C .2D .1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()6111⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 的展开式中含x 1项的系数为.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，51-=a ，32-=a ，对任意*N n ∈，都有21221++=+++n S n S n S n n n ，则=2023a .15.已知抛物线x y 42=，其准线为l 且与x 轴交于点D ，其焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为H .若BF AH 2=，则线段HF 的长度为.16.如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，F E ,分别为BC AB ,的中点，则下列说法正确的是.（填写所有正确说法的序号）①平面EF D 1截正方体1111D C B A ABCD -所得截面图形的周长为5223+；②点B 到平面EF D 1的距离为1717；③平面EF D 1将正方体1111D C B A ABCD -分割成两部分，较小一部分的体积为925；④三棱锥EF D B 1-的外接球的表面积为π18三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）记ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，=⎪⎭⎫⎝⎛-A a 2cos π()()()C b c C A b --++πsin sin .（1）求A ；（2）若AD 是角A 的平分线且3=AD ，求c b +的最小值.18.（12分）某地区一中学为了调查教师是否经常使用多媒体教学与教师年龄的关系，规定在一个月内使用多媒体上课的次数超过本月上课总次数的一半视为经常使用，否则视为不经常使用.现对120名教师进行调查统计，汇总有效数据得到如下22⨯列联表：（1）根据表中数据，判断能否有99.9%的把握认为教师是否经常使用多媒体教学与教师年龄有关？（2）若从45岁以下的被调查教师中按是否经常使用多媒体教学采用分层抽样的方式抽取6名教师，再从这6名教师中随机选取3名教师，记其中经常使用多媒体教学的教师的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()d b d c c a b a bc ad n K ++++-=22（其中d c b a n +++=）45岁以下45岁以上合计经常使用402060不经常使用204060合计6060120()2k K p ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥P A 平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD ∥，且BC AD AB P A 21===，E 为线段BC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面P AE ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（12分）已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左顶点和上顶点分别为B A ,，直线AB与圆O ：3422=+y x 相切，切点为M ，且MB AM 2=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线，交椭圆C 于F E ,两点，试判断：PF PE 是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()()R a x x ax x f ∈--=ln 2.（1）若当22>x 时，直线a x y +-=与函数()x f 的图象相切，恒成立，求实数a 的值；（2）设()()()x a x f x g ln 12++=，若()x g 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1t y t x （t 为参数，()πϕ，0∈）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和当4πϕ=时，直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且与x 轴交于点F ，38=-BF AF ，求直线l 的倾斜角.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()x ax x f 21++=.（1）若1=a ，求不等式()4≤x f 的解集；（2）若()x f 的最小值为1，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：∵{},0>=x x A ()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤-+=1310113x x x x x B ，∴⎭⎫⎩⎨⎧-≥=31x x B A ，∴()=B A C R ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31，.2.B解析：设bi a z +=，则bi a z -=，i bi a z z 2332+=-=+，则2,1-==b a ，∴()()i i i i i i z 52515212121212111+=+=+-+=-=.3.C解析：观察主视图中的木条位置，分析可知侧视图不可能是A 和B，观察木条的层次位置，分析可知侧视图也不可能是D.4.B 解析：∵102222=+⋅-=-b b a a b a ，10=a ，2=b ，∴2=⋅b a ，∴()()1424202222=--=⋅--=-⋅+b a b a b a b a.5.D解析：∵32cos 3sin =-αα，∴316cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，∴9716cos 232cos 2-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παπα.6.C解析：由函数()txx x f 323-=在区间()3,2上单调递减，得tx x y 32-=在区间()3,2上单调递减，∴323≥t，解得2≥t .结合A,B,C,D 四个选项，知使得“函数()tx x x f 323-=在区间()3,2上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是3≥t .7.A解析：设第i 次电压不稳仪器损坏为事件()2,1=i A i ，则()1.01=A P ，()9.01=A P ，()2.012=A A P ，()8.012=A A P ，故连续两次电压不稳仪器为损坏的概率为()()()72.09.08.011221=⨯==A P A A P A A P .8.B解析：由题意得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3cos 4πωx x g .()()02=-=x g x h ，得213cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ，∴323πππω-=+k x 或323πππω+=+k x ，Z k ∈，解得ωππ322-=k x 或ωπk x 2=，Z k ∈，欲使函数()x h 在()π2,0上有且仅有4个零点，则ωππωπ31624≤<，解得382≤<ω.9.D解析：12.1log 1.1log 2.12.1=<=a ,12.12.101.1=>=b ,11.11.102.1=>=c .设()x x x f ln =，则()2ln 1xxx f -='.当e x <<0时，()0>'x f ，()x f 在()e ,0上单调递增，当e x >时，()0<'x f ，()x f 在()+∞,e 上单调递减，∵e <<2.11.1，∴1.11.1ln 2.12.1ln >，即1.1ln 2.12.1ln 1.1>，即2.11.11.1ln 2.1ln >，∴2.11.11.12.1>，∴b c a <<.10.C 解析：由题意知()12111+=++n n a a ，∴12121-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+n n a ，∴12121-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-n n a ，n n S nnn -+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=42142112112，∴533253768476-+=--=-+--n n n n S a n n n 当2=n 时，55376max=⎪⎭⎫⎝⎛--n n ，∴5≥λ，∴λ的最小值为5.11.B 解析：设双曲线C 的半焦距为c ，∵2-=⋅OD OB2=.由圆的相交弦定理知：2===OD OB OF OA ac .又圆M 的半径2c a r +=，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=825,4922πππc a S ，∴825424922≤++≤c ac a ，∴2252922≤++≤c ac a ，∴217522≤+≤c a ，∴acac c a ac 27522≤+≤.又2=ac ，∴417125≤+≤e e ，∴42≤≤e .12.C 解析：∵()()011=-+-x f x f ，∴()()x f x f -=-，∴函数()x f 为奇函数，且()00=f .∵()()x f x f =+8，∴()x f 的周期为8.又()()11112=++-=a f ，∴1-=a ，()1133-=-+=b f ，∴3-=b ,故①正确.∵()()()()111182532023-=-=-=-⨯=f f f f ，故②错误.已知()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<+--=42,1320,112x x x x x f ，作出函数()x f 在[]4,0上的图象，根据函数()x f 为奇函数，及其周期为8，得到函数()x f 在R 上的图象，如图所示，由()x f 的图象知，当[]6,4-∈x 时，()0<x f 的解集为()()4,20,2 -.故③正确.由题意知直线()1-=-=x m m mx y 恒过点()0,1，与函数()x f 的图象在y 轴右侧有3个交点.根据图象可知：当0>m 时，应有15<-⨯m m ，即41<m ，且同时满足()x f m mx =-，[]10,8，∈x 无解，即当[]10,8，∈x 时，()()m mx x x -=--810无解，∴0<∆，解得76167616+<<-m ，∴417616<<-m .当0<m 时，应有13->-⨯m m ，即21->m ，且同时满足()x f m mx =-，[]8,6∈x 无解，即当[]8,6∈x 时，()()m mx x x -=--86无解，∴0<∆，解得3521235212+-<<--m ，∴3521221+-<<-m ，综上，417616<<-m 或3521221+-<<-m ，④错误.二、填空题13.9解析：∵()6661111111⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x，∴其展开式中含有x1项的系数有两部分：一部分是611⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 展开式中21x 的系数1526=C ，另一部分时611⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 展开式中x 1的系数616=C ，∴所求的系数为9615=-.14.4039解析：由题意，知⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 时等差数列，422121-=-=S S ，,∴615-=-+-=n n nS n，即n n S n 62-=.当2≥n 时，()()16121---=-n n S n ，以上两式相减得：()272≥-=n n a n .又51-=a 也适合上式，∴72-=n a n ∴当2023=n 时，40397202322023=-⨯=a .15.32解析：由抛物线定义知，AF AH =，又BF AH 2=，∴BF AF 2=.如图，过点B 作直线l 的垂线，垂足为E ，则BF BE =，过点B 作AH 的垂线，垂足为C .设m BF BE ==，则m AF AH 2==，显然m m m BE AH AC =-=-=2，∴312cos =+=+==∠m m m BF AF m ABAC CAF ，∴22tan =∠CAF ，∴直线AB 的斜率为22，∴直线AB 的的方程为()122-=x y .不妨设()11,y x A ，0011>>y x ，，由()⎪⎩⎪⎨⎧=-=121114122x y x y ，解得⎩⎨⎧==22211y x ，∴3212221==+=DFy HF.16.③④解析：由题意，知平面EF D 1截正方体1111D C B A ABCD -所得截面图形为HEFG D 1，如图，易得32==AH CG ，3411==H A GC ，∴3132916411=+==H D G D ，313941=+==GF HE ，∴所求周长为21322313231322+=+⨯+⨯，故①正确；设点B 到平面EF D 1的距离为h ，由题意，得31221311=⨯⨯=-BEF D V ，311==F D E D ，2=EF ，∴2172172211=⨯⨯=∆EF D S ，∴2173131⋅=h ，即17172=h ，故②错误；正方体1111D C B A ABCD -的体积为8222=⨯⨯，其中一部分的体积9251223221312312232213123231111=⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯++⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯⨯=++=---DAH D E DCG D F DEF D V V V V ，则另一部分的体积为9479258=-，∴平面EF D 1将正方体1111D C B A ABCD -分割成两部分，较小一部分的体积为925，故③正确；对于三棱锥EF D B 1-，先找到BEF ∆的外接圆的圆心，即为EF 中点，设为M ，过点M 作1BB MN ∥，交11D B 于点N ，则外接球球心在直线MN 上，设球心为O ，外接球半径为R ，x MO =，∴()22222223222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x R ，∴2=x ，292=R ，球O 的表面积ππ1842==R S ，故④正确.三、解答题（一）必考题17.解：（1）由题意得()C b c B b A a sin sin sin -+=，由正弦定理得()bc c b c b c b a -+=-+=2222.由余弦定理得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A.又()π，0∈A ，∴3π=A .（2）∵ABD ∆与ACD ∆的面积之和等于ABC ∆的面积，且AD 为角A 的平分线，由（1）知，3π=A ，∴3sin 216sin 3216sin 321πππbc c b =+，∴bc c b =+.又22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤c b bc ，当且仅当⎩⎨⎧=+=bc c b c b ，即2==c b 时取等号，∴22⎪⎭⎫⎝⎛+≤+c b c b ，∴4≥+c b ，∴c b +的最小值为4.18.解：（1）由于()828.10333.13340606060602020404012022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，∴有99.9%的把握认为教师是否经常使用多媒体教学与教师年龄有关.（2）抽取的6名教师中，经常使用多媒体教学的教师人数为42040406=+⨯，不经常使用多媒体教学的教师人数为22040206=+⨯.X 的所有可能取值为1,2,3，()511361422===C C C X P ；()532362412===C C C X P ；()5133634===C C X P ，∴X 的分布列为∴()2513532511=⨯+⨯+⨯=X E .19.解：（1）如图，连接ED ,BC AD ∥，∵E 为BC 的中点，BC AD 21=，∴BC BE 21=，∴BE AD =，BE AD ∥，∴四边形ABED 为平行四边形.又AD AB =，∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥.∵⊥P A 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD P A ⊥.又⊂P A AE ,平面P AE ，且A P A AE = ，∴⊥BD 平面P AE .（2）设121====BC AD AB P A ，则1===AB BE AE ，∴ABE ∆为正三角形.X 123P515351过点A 作AD AH ⊥交BC 于点H ，由题意，知AP AD AH ,,两两垂直，以A 为坐标原点，AP AD AH ,,所在直线分别为z y zx ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0100,23,230,21,23100，，，，，，，D C E P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1,21,23PE ，()110-=，，PD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,21,23DC .设平面PCD 的法向量为()z y x n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DC n PD n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-021230y x z y ，令1-=x ，得33==z y ，，∴()3,3,1-=n是平面PCD 的一个法向量.设直线PE 与平面PCD 所成的角为θ，∴1442723sin =⨯===nθ，∴直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值为1442.20.解：（1）依题意，得()()b B a A ,0,0,-，设λ=MB ，则λ2=AM ，λ3=AB ,()2223λ=+b a ……①由OM AB ⊥，知22222MB OB AM OA OM-=-=，∴()3422222=-=-λλb a ……②.由①②解得：2422==b a ，，∴椭圆C 的标准方程为12422=+y x .（2）①当直线EF 的斜率不存在时，即x EF ⊥轴时，⎪⎭⎫ ⎝⎛0,332P 或⎪⎭⎫⎝⎛-0,332P ，直线EF 的方程为332=x 或332-=x ，代入12422=+y x 中，得332±=y ，∴34332332=⨯=PF PE .②当直线EF 的斜率存在时，设直线EF 的方程为m kx y +=，()()2211,,y x F y x E ，.∵直线EF 与圆O 相切于点P ，∴圆心O 到EF 的距离33212=+=k m OP ，即()()*13422+=k m .联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 12422，整理得()042421222=-+++m kmx x k ，()()014316248222>+=+-=∆k m k 恒成立，且22212212142214k m x x k km x x +-=+-=+，，()()()2212122121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，∴()()2222212122121214431k k m m x x km x x k y y x x +--=++++=+，将（*）式代入上式得02121=+y y x x ，∴OF OE ⊥.又EF OP ⊥，∴OPE ∆∽EPO ∆，∴PEOP OPPF =，∴342==OPPF PE .综上可得，PF PE 为定值34.21.解：（1）设直线a x y +-=与函数()x f 的图象相切于点()00,y x P ，求导得()xx a x f 12--='，则11200-=--x x a ，即11200-+=x x a ……①由题意知a x x x ax +-=--00200ln ，……②由①②消去a 得，02ln 1200020=+---x x x x .()2ln 122+---=x x x x x h ，22>x ，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-='221211122x x x x x x h ，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈1,22x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减，当()+∞∈,1x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()x h 在1=x 处取得极小值，也是最小值，()021211=+--=h ，∴()⎪⎪⎭⎫⎝⎛>+---=222ln 122x x x x x x h 有唯一零点1，即02ln 1200020=+---x x x x 有唯一根1，∴2112=-+=a .（2）由题意，知()()0,ln ln 1ln 2222>+-=++--=x x a x ax x a x x ax x g ，则()()()xa x a x x a x a x g +-+=+-='222.当0=a 时，()02<-=x x g ，无零点；当0>a 时，若()a x ,0∈，则()0>'x g ，()x g 单调递增，若()+∞∈,a x ，则()0<'x g ，()x g 单调递减，∴()x g 在a x =处取得极大值，也是最大值，()a a a g ln 2=，欲使()x g 有两个零点，则()0ln 2>=a a a g ，解得1>a .又043211112222222<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛e ae e ae e a a e e a e g ，且a e <1，∴⎪⎭⎫⎝⎛∈∃a e x ,11，使()01=x g .易证当0>x 时，x x ln >，∴()a x x a x ax x a x ax x g >+-<+-=,ln 2222，∴()()()()0111122222<++-=++---++<++a a a a a a a a a a g ，∴()1,22++∈∃a a a x ，使()02=x g ，故()x g 有两个零点.当0<a 时，若⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,0a x ，则()0>'x g ，()x g 单调递增，若⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,2a x ，则()0<'x g ，()x g 单调递减，∴()x g 在2a x -=处取得极大值，也是最大值，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ln 43222a a a a g ，欲使()x g 有两个零点，则02ln 43222>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a g ，解得432e a -<.又01<⎪⎭⎫⎝⎛e g ，()012<++a a g ，且1212++<-<a a ae ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∃2,13a e x ，⎪⎭⎫⎝⎛++-∈1,224a a a x ，使得()()043==x g x g .综上，实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-432,e ∪()∞+，1.（二）选考题22.解：（1）由θθρcos 4sin 2=得，θρθρcos 4sin 22=，将θρθρsin cos ==y x ，，代入得x y 42=.当4πϕ=时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 22221，消去t 得01=--y x .∴曲线C 的直角坐标方程为x y 42=，直线l 的普通方程为01=--y x .（2）设B A ,对应的参数分别为21,t t ，将⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1t y t x 代入x y 42=得，04cos 4sin 22=--ϕϕt t ，∴0sin 4sin cos 4221221<-==+ϕϕϕt t t t ，，∴21,t t 异号，∴382121=+=-=-t t t t BF AF ，∴38sin cos 42=ϕϕ，解得21cos =ϕ或21cos -=ϕ，∵()πϕ，0∈，∴3πϕ=或32πϕ=，∴直线l 的倾斜角为3π或32π.23.解：（1）当1=a 时，()x x x f 21++=，当1-<x 时，不等式()4≤x f 等价于421≤---x x ，解得35-≥x ，则135-<≤-x ；当01≤≤-x 时，不等式()4≤x f 等价于421≤-+x x ，解得3-≥x ，则01≤≤-x ；当0>x 时，不等式()4≤x f 等价于421≤++x x ，解得1≤x ，则10≤<x .综上可得，不等式()4≤x f 的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-135，.（2）若()x f 的最小值为1，则()121≥++=x ax x f 恒成立，即x ax 211->+，分别作出函数()1+=ax y 和x y 21-=的图象，由图分析可知，当22≤≤-a 时，x ax 211->+恒成立.∴实数a 的取值范围是[]2,2-.。
高三联考数学(理)试卷 word版含答案
2021年宁波市高三“十校〞联考数学〔理科〕说明：本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷共4页，总分值150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =+，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的外表积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设a R ∈,那么“1a <〞是“11a>〞 〔 ▲ 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，那么集合{|x x M ∈且}x N ∉为 〔 ▲ 〕A . (0,3]B ．[4,3]-C ．[4,0)-D ．[4,0]- 3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为〔 ▲ 〕 A．BC. D4.抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点〔点A 在第一象限〕，假设直线l俯视图正视图侧视图的倾斜角为30，那么||||AF BF 等于 〔 ▲ 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：假设函数(2)f x -为奇函数，那么()f x 关于(2,0)-对称.那么以下命题是真命题的是 〔 ▲ 〕 A ． p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨ 6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，那么以下命题错误的选项是．．．．．．〔 ▲ 〕A ．假设0d <，那么数列{}n S 有最大项B ．假设数列{}n S 有最大项，那么0d <C ．假设数列{}n S 是递增数列，那么对任意*N n ∈，均有0n S > D ．假设对任意*N n ∈，均有0n S >，那么数列{}n S 是递增数列7．O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，假设OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，那么λ的值为 〔 ▲ 〕A .32B . 2C . 13D .128.函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.假设()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，那么b 的取值范围为〔 ▲ 〕A ．(5)-+∞，B ．5)+∞，C ．(51)-，D ．51)，第二卷〔非选择题 共110分〕二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.圆22:250M x y x +++-=，那么圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项，那么公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ .11.函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，那么函数()f x 的最小值为 ▲ ， 函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，那么2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ . 13. ,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，那么cos x = ▲ . 14. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，假设112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，那么该双曲线的离心率为▲ .15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.αA B C D E17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． 〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.1B1C1ACBADM〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x = 20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2021年宁波高三“十校〞联考数学〔理科〕参考答案一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分，总分值40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 此题考查根本知识和根本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x = 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 75 15 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. 〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设10,5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.解：〔Ⅰ〕(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A Cb B B--∴== 4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分〔Ⅱ〕5b c a c =<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或〔舍〕……………………………………………9分2AD DC =1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅ 将3a =和5c =代入得：21099BD ==3BD ∴……………………………………………14分 17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． 〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，11AA A D =∴ 111AC AC AC ===， 又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥， 又 1BABA B =，∴CB ⊥平面11ABB A ， 取1AA 中点F ，那么1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直， 以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，1B1C1ACADM1A∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)22B C A A C D M -5分 〔Ⅰ〕设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，那么30BA x y ⋅=-+=m ，0BC z ⋅==m ，取(3,1,0)=m ， ∵ 13(,,1)22MD =-，330022MD ⋅=-+=m ， ∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分 〔Ⅱ〕设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=， 11130AC x y z ⋅=-+=m ，110AA x ⋅==m ， 取(0,1,3)=n ， 又由〔Ⅰ〕知平面ABC 的法向量为(3,1,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.解：〔Ⅰ〕01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数〞22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间〞为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求y〔此区间没说明，扣1分〕……………………7分 〔Ⅱ〕222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，那么(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，那么()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，那么()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =解：〔Ⅰ〕由得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分 〔Ⅱ〕假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分xO当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k +-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……〔1〕式…………………………10分 由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+，所以02949km x k =+，代入1y x m k =-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……〔2〕式…………………12分将〔2〕式代入〔1〕式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞.20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+..实用文档.. 解：〔Ⅰ〕令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分 那么12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥， 两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分 又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分 〔构造常数列等方法酌情给分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n -===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++（）（）111122n T n n n∴=+++++……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++ 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++〔仅在12n k +=时取等号〕 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分 〔数学归纳法按步骤酌情给分〕。
高中高三数学联考试题 理含解析 试题
优质高中2021届高三数学联考试题 理〔含解析〕一、选择题：{}30|P x x =-≥，{}13|Q x x =<≤，那么()R P Q =〔 〕A. [)1,3B. [)1,2C. ()1,3D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】 先计算RP 再求()R P Q 即可.【详解】{}{}303||P x x x x =-≥=≥,故{}|3RP x x =<.故()()1,3R P Q ⋂=.应选：C【点睛】此题主要考察了集合的根本运算,属于根底题.1211iz i i-=+-+，那么z 的虚部是〔 〕 A. i B. 1C. -1D. i -【答案】B 【解析】 【分析】 化简1211iz i i-=+-+再根据虚部的定义求解即可. 【详解】()()()21121211111i iz i i i i i i --=+-=+-=-+++-,其虚部为1. 应选：B【点睛】此题主要考察了复数的根本运算与虚部的定义,属于根底题.3.0.3110.5log 3,log 0.2,0.5a b c ===，那么,,a b c 的大小关系为〔 〕 A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数与指数的单调性分析,,a b c 与 0.5,1的大小关系即可. 【详解】由题191log 3log 30.5a =<=,故00.5a <<,又0.50.5log 0.2log 0.51b =>=,0.310.0.550.5c >==,故0.51a c b <<<<,故a c b <<.应选：A【点睛】此题主要考察了根据指对数函数的单调性分析函数值大小关系的问题,需要根据数值特征判断数值与特殊值之间的大小关系再判断,属于根底题.4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯构造，这种三维的拼插器具内部的凹凸局部〔即榫卯构造〕啮合，非常巧妙．从外观上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．如下图，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，那么该球形容器半径的最小值为〔容器壁的厚度忽略不计〕〔 〕A.652B.662C.69217【答案】C 【解析】 【分析】根据鲁班锁的对称性,可取三组长方体中的一组进展计算,那么球心为该长方体的中心,再根据长方体外接球的直径为长方体体对角线求解即可.r ,那么222212869r =++=.故692r =应选：C【点睛】此题主要考察了外接球的计算,需要根据对称性确定一组长方体的外接球即为整体的外接球,属于根底题.a b <，函数2()()y x b x a =--的图象可能是〔 〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】求导分析函数的单调性与极值点即可.【详解】因为2()()y x b x a =--,()()2()('2)()32y x b x a x b x b x a b =--=---+-,令'0y =有122,3a b x b x +==.又a b <故2233a b b bb ++<=.故2()()y x b x a =--在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),b +∞上单调递增,在2,3a b b +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 且在x b =处取极小值0. 应选：D【点睛】此题主要考察了根据函数的解析式判断函数图像的方法,需要根据函数解析式求导分析单调性与极值再判断,属于中档题.6.2021年4月，HYHY 专程前往石柱考察了“精准脱贫〞工作.为了进一步解决“两不愁，三保障〞的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进展调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，那么甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为〔 〕 A. 625B.320 C.725 D. 1140【答案】A 【解析】 【分析】先计算总一共可能的分配情况,再分析甲、乙两名专家安排在同一乡镇的情况数再求概率即可.【详解】5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进展调研,分两大类：①其中一个乡镇有3个专家,另外两个分别有1个,一共31253260C C A ⋅⋅=种情况. ②其中一个乡镇有1个专家,另外两个分别有2个,一共11253490C C C ⋅⋅=种情况. 故一共60+90=150种情况.其中甲、乙两名专家安排在同一乡镇可能的情况同上分析,有11212233233236C C A C C A ⋅⋅+⋅⋅=种可能.故甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为36615025=. 应选：A【点睛】此题主要考察了利用排列组合方法求解概率的问题,需要根据题意分情况求总的情况数与满足条件的情况数,再进展概率的求解.属于中档题.,a b ，满足2=a b ，且()a b b -⊥，那么a 与b 的夹角为〔 〕A.6π B.4π C.34π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可.【详解】设a 与b 的夹角为θ,因为()a b b -⊥,所以2()0a b b a b b -⋅=⇒⋅=,即2cos a b b θ⋅=.又2=a b ,2cos cos b b b θθ⋅=⇒=故4πθ=.应选：B【点睛】此题主要考察了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于根底题. 8.执行如下图的程序框图，假设输入的25t =-，那么输出的n 的值是〔 〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据框图逐个循环分析即可.【详解】输入25t =-,初始值1,0,1S n m ===. 第1次循环：0,2,1S m n ===,?S t >判断为“是〞 第2次循环：2,4,2S m n =-==,?S t >判断为“是〞 第3次循环：6,8,3S m n =-==,?S t >判断为“是〞 第4次循环：14,16,4S m n =-==,?S t >判断为“是〞 第5次循环：30,32,5S m n =-==,?S t >判断为“否〞. 输出5n =.应选：C【点睛】此题主要考察了根据程序框图的输入值计算输出结果,属于根底题.{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，假设13 *(n n S S n N -=∈且13)n <，有以下结论：①130S =；②70a =；③{}n a 为递增数列；④130a =. 那么正确的结论的个数为〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对①②,根据等差数列的求和性质求解即可.对③④,举出反例判断即可.【详解】对①,由题, 13 n n S S -=令7n =有767670 0S S S S a ⇒-=⇒==,故①正确. 对②,()113137131302a a S a +===.故②正确.对③, 当0n a =时满足13 0n n S S -==,故{}n a 为递增数列不一定正确.故③错误. 对④, 由①②,可设当7n a n =-时满足13 n n S S -=,但136a =-.故④错误. 故①②正确. 应选：B【点睛】此题主要考察了等差数列的求和性质运用,需要根据题意利用赋值法或者性质推导,属于中档题.()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，假设3AF BF =，O 为坐标原点，那么AFOF=〔 〕A.43B.34C. 4D.54【答案】A 【解析】 【分析】画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可. 【详解】如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作BE 的垂线交BE 于G ,准线与y 轴交于H .那么根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1cos 2BG ABG AB ∠==. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113244OF FH BE t ===. 故4334AFt t OF==.应选：A【点睛】此题主要考察了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()()x f x e f x -=.当0x <时，()()0f x f x '+>，假设(31)(21)a e f a f a +≥+，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. 20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [)0,+∞D.(],0-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造函数()()xh x e f x =,再分析()h x 的单调性与奇偶性再求解即可.【详解】根据题意构造函数()()xh x e f x =,因为对于任意的实数x 都有2()()x f x e f x -=, 故()()xx f x ee f x --=,即()()h x h x -=,故()h x 为偶函数.又当0x <时,()()0f x f x '+>即()()0'()0x x e f x e f x h x '+>⇒>,故当0x <时,()h x 单调递增.综上所述, ()h x 为偶函数, 当0x <时,()h x 单调递增；当0x ≥时, ()h x 单调递减. 又(31)(21)ae f a f a +≥+,即3121(31)(21)a a ef a e f a +++≥+,即()()3121h a h a +≥+.故3121a a +≤+,即()()()2231210520a a a a +-+≤⇒+≤,解得2,05a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 应选：B【点睛】此题主要考察了构造函数求解抽象函数不等式的问题,需要根据题意判断构造的函数解析式,再根据所给的性质分析函数的单调性与奇偶性.属于中档题.ABCD 中，2AD DB AC CB ====，那么当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球外表积为〔 〕 A.203πB.143πC. 4πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得,当ABC 与ABD △垂直时四面体ABCD 的体积能获得最大值,再取AB 中点O ,设AO x =再列式求导分析当体积取最大值时AB 的长度,进而求得外接球的半径即可.【详解】由题,当ABC 与ABD △形状确定时,以ABC 为底面,易得当ABC 与ABD △垂直时四面体ABCD 的高获得最大值,此时体积取最大值.取AB 中点O ,因为2AD DB AC CB ====,故⊥DO AB ,CO AB ⊥. 设AO x =那么24CO x =-故ABCD 的体积为()2111()4323f x AB OC OD x x =⋅⋅⋅=-.令()24'03f x x =-+=,那么3x =,易得当23x =时()21()43f x x x =-取最大值.此时2226233OC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭此时根据对称性可知,球心'O 必定在COD △中.作'O Q OC ⊥于Q ,作'O Q OD ⊥于D .易得,P Q 分别为ABD △与ABC 的外心.故2sin 3BC BQ BAC ==∠BQ =.故2QC BQ ==,326OQ =-=.又'POQO 为正方形,故'6QO QO ==.故'O C ==.故外接球外表积为22043S ππ=⨯=⎝⎭ . 应选：A【点睛】此题主要考察了利用导数求解立体几何中的最值问题以及外接球的外表积的求法等.需要根据题意设适宜的边长求出对应的函数解析式,再求导分析最值.同时外接球的问题需要找准球心位置,构造直角三角形求边角关系.属于难题. 二、填空题：{}n a 满足1111,2*() n n n n a a a a a n N ++=-=∈，那么10a 的值______________.【答案】119【解析】 【分析】对112n n n n a a a a ++-=两边除以1n n a a +构造等差数列,求通项公式再求解即可. 【详解】对112n n n n a a a a ++-=两边除以1n n a a +可得1121n n a a +-=,故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a 为首项,公差为2的等差数列.故()112121n n n a =+-=-,故121n a n =-.故10119a =. 故答案为：119【点睛】此题主要考察了构造等差数列求解数列通项公式的方法,属于根底题.14.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮〞，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较髙，他单独一人解决工程M 的概率为10.95p =；同时，有n 个程度一样的人也在互相HY 地研究工程M ，他们各自HY 地解决工程M 的概率都是0.5，这个人的团队解决工程M 的概率为2p ，假设21p p ≥，那么n 的最小值是______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意根据不能解决工程的概率列式求解即可.【详解】依题意,设n 个人组成的团队不能解决工程M 的概率为11122n nP ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故当21p p ≥时,110.950.052n⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭,因为n N +∈,故5n ≥.即n 的最小值是5. 故答案为：5【点睛】此题主要考察了概率与指数不等式的综合运用,需要根据题意根据事件的反面进展求解.属于根底题.23()123x x f x x =+-+，假设()(2020)h x f x =-的零点都在(),a b 内，其中a ，b 均为整数，当b a -取最小值时，那么b a +的值是_____________. 【答案】4039 【解析】 【分析】求导分析23()123x x f x x =+-+的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.【详解】因为2'()10f x x x =-+>恒成立.故23()123x x f x x =+-+为增函数.所以()f x 有且仅有一个零点.又(0)10=>f ,115(1)110236f -=---=-<,故()f x 零点在区间()1,0-之间.又()(2020)h x f x =-为函数()f x 往右平移2021个单位,所以()(2020)h x f x =-的零点落在()2019,2020上.由题意可知, b a -取最小值时2020,2019b a ==,所以4039b a +=. 故答案为：4039【点睛】此题主要考察了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于根底题.22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分別为12,F F ，点A 是双曲线左支上的一点，直线AF １与直线by x a=⋅平行，12AF F ∆的周长为8a ，那么双曲线的离心率为_________________.【答案】1 【解析】 【分析】根据双曲线的定义分析12,AF AF 的关系,再根据直线AF １与直线by x a=⋅平行可得12tan AF F ∠的表达式,进而求得12cos AF F ∠,再在焦点三角形中利用余弦定理化简求解即可.【详解】由题,设1AF x =,那么22AF x a =+,又12AF F ∆的周长为8a , 可得2283x x a c a x a c +++=⇒=-.又直线AF １与直线by x a=⋅平行, 故12tan b AF F a ∠=,故12cos a AF F c∠==. 由余弦定理可得,()()()()()22122532232cos a c a c c a c A F c F -=-+--⋅∠,整理得22270c ac a +-=,同除以2a 可得2270e e +-=,故24281222e -±+==-±.因为1e >故221e =-故答案为：221【点睛】此题主要考察了根据双曲线的定义与余弦定理的应用求解双曲线焦点三角形的问题,需要分析边的表达式,再根据余弦定理列出关于,a c 的齐次式再求解离心率.属于中档题. 三、解答题：17.,,a b c 是ABC ∆中内角,,A B C 的对边，123,3,cos 3a b A ===-. 〔1〕求c ； 〔2〕求cos 4B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】〔1〕1c =〔2236+ 【解析】 【分析】(1)利用cos A 的余弦定理求解即可.(2)根据余弦定理求解cos B 即可得sin B ,再利用余弦的差角公式求解即可. 【详解】〔1〕∵123,3,cos 3a b A ===-,所以22229121cos 2233b c a c A bc c +-+-===-⨯⨯,整理得：2230c +c -=,即(3)(1)0c c +-=,解得：1c =,或者3c =-〔舍〕,那么1c =. 〔2〕由〔1〕知：123,3,cos ,13a b A c ===-=,所以22212193cos 232231a c b B ac +-+-===⨯⨯,那么6sin 3B =, 那么所以236cos cos cos sin sin 4446B B B πππ+⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考察了余弦定理以及三角恒等变换在解三角形中的应用.属于中档题. 18.如下图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，60ABC ∠=︒，E 为棱BC 的中点，F 为棱PC 上的动点.〔1〕求证：AE ⊥平面PAD ；〔2〕假设锐二面角E AF C --的正弦值为105，求点F 的位置. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕点F 为线段PC 的中点 【解析】 【分析】(1)证明AE AD ⊥,AE PA ⊥即可.(2) 以点A 为坐标原点,AE AD AP 、、所在直线分别为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,设(01)PF PC λλ=≤≤,进而利用空间向量求解锐二面角E AF C --的正弦值关于λ的表达式,进而求得λ即可判断.【详解】〔1〕如下列图所示,由于四边形ABCD 是菱形,那么AB BC =, 又∵60ABC ∠=︒,∴ABC ∆是等边三角形,∵E 为BC 的中点,∴AE BC ⊥, ∵//AD BC ,∴AE AD ⊥.∵PA ⊥底面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,∴AE PA ⊥, ∵AD PA A ⋂=,AD PA ⊂、平面PAD , ∴AE ⊥平面PAD ；〔2〕由〔1〕知,AE AD ⊥,且PA ⊥底面ABCD ,以点A 为坐标原点,AE AD AP 、、所在直线分别为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,由2PA =那么点,(0,0,0),3,1,0),(0,0,2)3,0,0)A C P E , 设(01)PF PC λλ=≤≤,那么(3,,2),(3,,22),(3,0,0)PF AF AP PF AE λλλλλλ=-=+=-=, 设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =,由00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即303(22)0x x y z λλλ⎧=⎪++-=,取z λ=,那么0x =,22y λ=-,那么平面AEF 的一个法向量为(0,22,)m λλ=-, 同理可得平面ACF 的一个法向量为(1,3,0)n =-,∵二面角E AF C --的正弦值为5∴|||2|cos ,||||||52(2m n m n m n 〈〉===⋅⨯,解得12λ=.因此,当点F 为线段PC 的中点时,二面角E AF C --【点睛】此题主要考察了线面垂直的断定与根据二面角的大小求解特殊点位置的方法,需要根据题意设所求点满足的含参向量表达式,再根据题意得出关于参数的等式求解即可.属于中档题.M ：22+143x y =的左、石顶点分别为A 、B ，设P 是曲线M 上的任意一点.〔1〕当点P 异于A 、B 时，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，那么12k k ⋅是否为定值？请说明理由；〔2〕点C 在椭圆M 的长轴上〔异于A 、B 两点〕.且PC 的最大值为3，求点C 的坐标. 【答案】〔1〕是定值，理由见解析〔2〕()1,0C ± 【解析】 【分析】(1)设(,,)(22)P x y x -<<,再表达出12k k ⋅,最后利用(,,)P x y 满足方程22+143x y =代换证明即可.(2) 设()(),022C m m -<<,再求得||PC 的解析式,利用二次函数的最值判断,分0m ≥与0m <两种情况求解即可.【详解】〔1〕证明：由椭圆方程可得(2,0), (2,0)A B -, 设(,,)(22)P x y x -<<,那么12,22y y k k x x ==+-, ∴2212223334444x y k k x x -===---, 〔2〕设()(),022C m m -<<,那么||PC ===假设40m ≥,即0m ≥,那么max ||5PC ==,解得1m =. 此时()1,0C ,同理,假设40m <,可得1m =-,此时()1,0C -, 故C 点坐标为()1,0C ±.【点睛】此题主要考察了根据椭圆中的定值与最值问题,需要根据题意设点表达对应的解析式,再代入椭圆的方程结合二次不等式的最值与范围求解.属于中档题.20.HY 提出对农村要坚持精准扶贫，至2021年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村施行脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫闲农户100家，他们均从事水果种植，2021年底该村平均每户年纯收入为1万元.扶贫工作组一方面请有关专家对果树进展品种改进，进步产量；另一方面，抽出局部农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2021年初开场，该村抽出5x 户〔,19x Z x ∈≤≤〕从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年进步20x，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为134x -万元〔参考数据：3331.1 1. 331,1.15 1.521,1.2 1.728≈==〕. 〔1〕至2021年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫〔每户年均纯收入不低于1万5千元〕，那么应至少抽出多少户从事包装、销售工作？〔2〕至2021年底，该村每户年均纯收人能否到达1.355万元？假设能，恳求出从事包装、销售的户数；假设不能，请说明理由.【答案】〔1〕15〔2〕当从事包装、销售的户数到达20户、25户、30户时，能到达，否那么不能，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年进步20x列式求解即可得出x 的值,继而得出从事包装、销售工作的户数.(2)根据题意计算从事水果种植农户的年纯收入与从事包装、销售工作的农户的总和除以总人数100即可得该村每户年均纯收入,再列出不等式求解即可.【详解】〔1〕至2021年底,种植户平均收入31 1.520x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,即)201x ≥,由题所给数据,知：1.1 1.15<<,所以,)22013<<,所以,x 的最小值为3,515x ≥,即至少抽出15户从事包装、销售工作. 〔2〕至2021年底,假设能到达1.355万元,每户的平均收入为：()153(1005)1420 1.355100x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=≥,化简,得：2330710x x -+≤,因为,19x Z x ∈<≤ 解得：{}4,5,6x ∈.所以,当从事包装、销售的户数到达20户、25户、30户时,能到达, 否那么不能.【点睛】此题主要考察了统计中的实际运用,需要根据题意列出题中的所求变量满足的不等式,再利用对应的不等式求解方法求解即可.属于中档题. 21.2()1(0)f x cosx mx x =+-≥．〔1〕假设()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，务实数m 的取值范围； 〔2〕证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-． 【答案】(1) 12m ≥ (2)证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕求导()sin 2f x x mx '=-+，()'cos 2f x x m '=-+，讨论2m 与1 的大小确定()f x '的正负，进而确定()f x 的最值即可证明 〔2〕由〔1〕取12m =，得2112x cosx -≥- ，要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-，构造函数()2112x g x e x x =---，证明()()00g x g ≥=即可证明【详解】〔1〕法一：由题意()sin 2f x x mx '=-+，()'cos 2f x x m '=-+① 假设21m ≥，即12m ≥时，()'0f x '≥，那么()f x '在[)0,+∞单调递增， 那么()()00f x f ''≥=，那么()f x 在[)0,+∞单调递增，故()()00f x f ≥=，满足题意； ② 假设121m -<<，即1122m -<<时，存在00x >，使得()'00f x '=，且当()00,x x ∈时，()'0f x '<，那么()f x '在()00,x 上单调递减，那么()()00f x f ''<=，那么()f x 在()00,x 单调递减，此时()()00f x f <=，舍去；③ 假设21m ≤-，即12m ≤-时，()'0f x '<，那么()f x '在[)0,+∞上单调递减，那么()()00f x f ''<=，那么()f x 在[)0,+∞单调递减， ()()00f x f <=，舍去；故12m ≥． 法二：由题知()00f =，且()sin 2f x x mx '=-+，()00f '=，()'cos 2f x x m '=-+要使得()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，那么必须满足()00f ''≥，即210m -≥，12m ≥． ① 假设12m ≥时，()'0f x '≥，那么()f x '在[)0,+∞单调递增，那么()()00f x f ''≥=， 那么()f x 在[)0,+∞单调递增，故()()00f x f ≥=，满足题意； ② 假设12m <时，存在()00,x x ∈时，()'0f x '<，那么()f x '在()00,x 上单调递减，那么()()00f x f ''<=，那么()f x 在()00,x 单调递减，此时()()00f x f <=，舍去； 故12m ≥． 〔2〕证明：由〔1〕知，当12m ≥时，()210f x cosx mx =+-≥．取12m =， 那么2112x cosx -≥- 由〔1〕()sin 0f x x x '=-+≥，那么sin x x ≥，故211sin cos 2x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-． 令()2112x g x e x x =---，那么()1x g x e x ='--，()1x g x e ='-'， 当0x ≥时，()0g x ''≥，那么()g x '在[)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x e x x ---≥，即有21212x e x x -≥+-，得证 【点睛】此题考察函数与导数的应用，考察利用导数证明不等式，考察构造函数及变形转化才能，是中档题xOy 中，曲线C的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔α为参数〕.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0,R θθρ=∈.〔1〕求曲线C 的极坐标方程；〔2〕设直线l 与曲线C 相交于不同的两点12,P P ，指出0θ的范围，并求1211||||OP OP +的取值范围.【答案】〔1〕2cos 2sin 30ρθρθ--+=〔2〕0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎤⎥⎝⎦ 【解析】【分析】(1)将曲线C 的参数方程先消参化简得到直角坐标方程,再代入cos x ρθ=及sin y ρθ=化简即可.(2) 将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得出韦达定理,再根据ρ的几何意义代入韦达定理,并利用三角函数的最值问题求解即可.【详解】〔1〕将曲线C的参数方程cos 1sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去参数α,得(()2211x y +-=. 将cos x ρθ=及sin y ρθ=代入上式,得2cos 2sin 30ρθρθ--+=. 〔2〕依题意由知00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程,得200cos 2sin 30ρθρθ--+=.设()()110220,,,P P ρθρθ,那么1200122sin ,3ρρθθρρ+=+=.所以001201212122sin 11114sin 333OP OP θθρρθπρρρρ++⎛⎫+=+===+ ⎪⎝⎭. 因为00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以02,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,那么044sin 3333πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦, 所以1211||OP OP +的取值范围为43⎤⎥⎝⎦. 【点睛】此题主要考察了参数方程化简极坐标的方法,需要利用直角坐标过度.同时也考察了极坐标的几何意义与三角函数求最值的方法.属于中档题.()2145f x x x =++-的最小值为M .〔1〕求M ；〔2〕假设正实数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求：222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.【答案】〔1〕72M =〔2〕3. 【解析】 【分析】将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值．由〔1〕知7a b c ++=，直接利用公式：平方平均数≥ 算数平均数，222+33a b c a b c +++≥ 即可解出最小值．【详解】〔1〕164,215()26,24564,4x x f x x x x x ⎧-+-⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-⎪⎩＜＜＜＞ 如下图max 57()()42f x f == ∴72M = (2)由〔1〕知7a b c ++=∴[]2(1)(2)(3)a b c ++-+- 222(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)a b c a b a c b c =++-+-++-++-+--∴[]2222()43(1)(2)(3)a b c a b c ⎡⎤++-≤++-+-⎣⎦∴[]2222743(1)(2)(3)a b c ⎡⎤-≤++-+-⎣⎦ ∴222(1)(2)(3)3a b c ++-+-≥当且仅当0a =，3b =4c =是值最小∴222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值为3.【点睛】此题考察绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于根底题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学下学期毕业班联考试卷一理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校十二重点2021届高三下学期毕业班联考〔一〕数学〔理〕试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分.考试时间是是120分钟．第一卷选择题(一共40分)本卷须知：2．第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑；参考公式：·假设事件、互斥，那么柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，总分值是40分．1.集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【详解】由y=ln(x2+1)⩾0，得到M=[0，+∞)，由N中2x<4=22，得到x<2，即N= (−∞,2)，那么M∩N=[0，2)，应选：C【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.设变量满足约束条件{x−y+1≤02x+3y−6≥03x−2y+6≥0，那么目的函数z=x−2y的最大值为〔〕A.−6639B.−135C.−2D.2【答案】B 【解析】 【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目的函数z =x −2y 的最大值. 【详解】作出不等式组的可行域如下列图， 由题得目的函数为y =12x −z2，直线的斜率为12，纵截距为−z2， 当目的函数经过点A(35,85)时，纵截距−z2最小，z 最大.所以z max =35−2⋅85=−135. 故答案为：B【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能. 3.p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x >0； p ：|2x −1|≤1q ：11−x >0，那么p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4； ) A.0 B.1C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x ≥0pq ：x ＜1，那么p 是q③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以b 7=4 应选:A 【点睛】.4.如图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是() A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B 【解析】 【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案. 【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知 当S=1，k=1时，S=2<10，k=2； 当S=2，k=2时，S=6<10，k=3； 当S=6，k=3时，S=15>10， 此时运算程序完毕，输出k=3 应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，属于简单题. 5.将函数y =cos （2x −π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，那么φ等于〔〕 A.π3B.π6C.π2D.π4【解析】【分析】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，解之即得解.【详解】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，因为0<φ<π，所以k=0时，φ=π4.应选：D【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.a=log130.60.3,b=log1214,c=log130.50.4,那么实数a,b,c的大小关系为〔〕A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.c<b< a【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得b=log1214=2，因为0.60.3>0.60.4>0.50.4，∴log130.60.3<log130.50.4，log130.50.4=0.4log130.5<0.4log1313=0.4，所以a<c<b.【点睛】此题主要考察对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 7.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过原点的直线与双曲线交于A,B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，假设ΔABC 的面积为2a 2，那么双曲线的渐近线方程为〔〕 A.y =±√22xB.y =±√2xC.y =±√33xD.y =±√3x【答案】B 【解析】 【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进展整理即可得解．【详解】∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，由对称性知ΔABC 的面积S =2S ΔOBC =2×12cℎ=cℎ=2a 2，即ℎ=2a 2c，即B 点的纵坐标为y =2a 2c，那么由x 2+(2a 2c)2=c 2，得x 2=c 2−(2a 2c)2=c 2−4a 4c 2，因为点B 在双曲线上， 那么c 2−4a 4c 2a 2−4a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−4a 2c 2−4a 4c 2(c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−4a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1， 即c 2a 2−4a 2c 2·c 2c 2−a 2=1，即c2a2−4a2c2−a2=1，即c2a2−1=4a2c2−a2=c2−a2a2，得4a4=(c2−a2)2，即2a2=c2−a2，得3a2=c2，得c=√3a，b=√2a.那么双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√2x.应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的几何性质，考察圆的方程，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.函数f(x)={|log3(2−x)|,x<2−(x−3)2+2,x≥2，g(x)=x+1x−1，那么方程f(g(x))=a的实根个数最多为〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程f(g(x))=a的实根个数最多为8.【详解】由题得函数g(x)=x+1x−1的值域为[1,+∞)∪(−∞,−3]，设g〔x〕=t(t∈[1,+∞)∪(−∞,−3]),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数g(x)=x +1x−1在〔0,1〕〔-1,0〕单调递减，在〔1，+∞〕，〔-∞，-1〕单调递增. 所以g(x)=t,当t 在[1,+∞)∪(−∞,−3]每取一个t 值时，x 都有两个值和它对应，因为t 最多有4个根，所以x 最多有8个解. 应选:C【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察利用函数的图像研究零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.第二卷非选择题(一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9.假设z =1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，那么a ⋅b =__________． 【答案】6 【解析】 【分析】 先化简得{a +2b =8b −2a =−1，解方程即得a,b 的值，即得解.【详解】由题得〔a+bi 〕(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i, 即{a +2b =8b −2a =−1,∴a =2,b =3,∴a ⋅b =6.故答案为：6【点睛】此题主要考察复数的运算和复数相等的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.a =∫sinxdx π0，那么(ax +√x)5的二项展开式中，x 2的系数为__________． 【答案】80 【解析】 【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出x2的系数.【详解】由题得a=(−cosx)|0π=2，所以(ax+√x )5=(2x+√x)5，设二项式展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(√x)r=C5r⋅25−r x5−32r，令5−32r=2,∴r=2,所以x2的系数为C5223=80.故答案为：80【点睛】此题主要考察定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.圆柱的高和底面半径均为2，那么该圆柱的外接球的外表积为_____________．【答案】20π【解析】【分析】设球的半径为r,由题得r2=12+22，再求圆柱外接球的外表积.【详解】设球的半径为r,由题得r2=12+22=5，∴S球=4π⋅5=20π.故答案为：20π【点睛】此题主要考察圆柱外接球外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.直线：{x=aty=1−2t〔为参数〕，圆C：ρ=−4√2sin(θ+3π4)〔极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度一样〕，假设圆C上恰有三个点到直线的间隔为√2，那么实数a=__________．【答案】−4±2√6【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8，根据得到方程√4a 2=√2，解方程即得a 的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8， 因为圆C 上恰有三个点到直线的间隔为√2，所以√4a 2=√2，解之即得a=−4±2√6. 故答案为：−4±2√6【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考察直线和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.13.x >0，y >0，√2是2x 与4y 的等比中项，那么1x +xy 的最小值为__________． 【答案】2√2+1 【解析】 【分析】先由得到x+2y=1,再对1x+xy 化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解】由题得2x ⋅4y =2,∴2x+2y =2,∴x +2y =1. 所以1x +x y =x+2yx+x y =1+2y x+x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2.当且仅当x =√2−1,y =2−√22时取等.所以1x +xy 的最小值为2√2+1. 故答案为：2√2+1 【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 14.在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45∘，高为m ，Q 为折线段B −C −D 上的动点，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ 设AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为f (m )，假设关于m 的方程f (m )=km −3有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围为__________．【答案】(2√3+2,112)【解析】 【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q 的位置分类讨论得到f(m)=m 2+2m ，根据得到k =m +3m +2有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k 的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以AC⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4，2m)=2(2,m)=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ , 所以点E(2，m),且0＜m ＜2，又动点Q 为折线上B-C-D 上的点， ①Q 在CD 上时，Q(x Q ,m)，m ≤x Q ≤4−m,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =m 2+2x Q ≥m 2+2m ， ②Q 在BC 上时，Q(x Q ,4-x Q )，4-m ≤x Q ≤4,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =4m +(2−m)x Q ≥4m +(2−m)(4−m)=m 2−2m +8， 因为0＜m ＜2，所以m 2+2m <m 2−2m +8，∴f(m)=m 2+2m . 因为f (m )=km −3，所以k =m +3m+2，构造函数g(m)=m +3m+2(0<m <2)，函数在（0，√3）单调递减，在（√3，2）单调递增.所以g(√3)<k <g(2)，即k∈(2√3+2,112).故答案为：(2√3+2,112)【点睛】此题主要考察平面向量的坐标运算和数量积，考察导数求函数的单调性，考察导数研究函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤． 15.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，2b(2b −c)cosA =a 2+b 2−c 2. 〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设ΔABC的面积SΔABC=25√34，且a=5，求b+c.【答案】〔Ⅰ〕A=π3；〔Ⅱ〕10.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理正弦定理对2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2化简即得A=π3.〔Ⅱ〕先化简SΔABC=25√34得到bc=25,再利用余弦定理求得b2+c2=50，再求b+c的值.【详解】〔Ⅰ〕∵2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2∴2b(2b−c)cosA2ab =a2+b2−c22ab，∴(2b−c)cosA=acosC，由正弦定理得∴(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC，即∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC∴2sinBcosA=sinB，∵0<B<π∴sinB≠0，∴cosA=12,∵0<A<π∴A=π3.〔Ⅱ〕∵SΔABC=12bcsinA=25√34,∴bc=25,∵cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−252×25=12,∴b2+c2=50,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=100,即b+c=10.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.“绿水青山就是金山银山〞，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题(含答案解析)
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{24}A xx =<<∣，{(6)(3)0}B x x x =--≥∣，则（）A ．2A B∈ B ．3A B∈⋂C ．4A B∈ D ．5A B∈ 2．若复数z 的共轭复数为z ，且(2i)35i z z -+=-+，则z 的虚部为（）A ．2i-B ．2iC ．2-D ．23．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123nn S m =⨯-，m ∈R ，则4S =（）A ．133B ．5C ．173D ．2234．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，30CD =米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度约为（）1.4≈ 1.7≈）A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米5．函数3sin ||x xy x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.6D ．0.37．记不等式组30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩的解集为D ，现有下面四个命题：1:(,)p x y D ∀∈，280x y -+≥；2:(,)p x y D ∃∈，240x y -+>；3:(,)p x y D ∀∈，30x y ++>；4:(,)p x y D ∃∈，330x y +-≤．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，AF BM λ=()λ∈R ，则λ=（）A ．32B ．43CD9．任意写出一个正整数m ，并且按照以下的规律进行变换：如果m 是个奇数，则下一步变成31+m ，如果m 是个偶数，则下一步变成12m ，无论m 是怎样一个数字，最终必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列{}1:n a a m =（m 为正整数），131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时，若72a =，则m 的所有可能取值之和为（）A ．188B ．190C ．192D ．20110．在菱形ABCD 中，5AB =，6AC =，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段AD ，CD 上，且13AM MD =，13CN ND =，将MND 沿MN 折叠到MND '△，使GD '=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积为（）A ．1203π16B ．627π16C ．289π8D ．40π11．设双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为双曲线E 上在第一象限内的点，线段1F B 与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且2F M AB ⊥，若1230AF F ∠=︒，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2CD 12．已知0.618e 1a =-，ln1.618b =，tan 0.618c =，其中e 为自然对数的底数，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题13．二项式523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________．14．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任意点（包含端点），则MB DN ⋅的最大值为________．15．圆22:280M x y x ++-=与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足||2||NA NB =，直线:(0)l y kx m k =+>与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为________．16．先将函数()cos f x x =的图象向左平移2π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，所得图象与函数()g x 的图象关于x 轴对称，若函数()g x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________．三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos )sin b a C c A -=．(1)求A ；(2)若ABC D 在线段AC 上，且13AD AC =，求BD 的最小值．18．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．19．某公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用i x 和年销售量(1,2,3,4,5)i y i =，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．已知b y a x =⋅可以作为年销售量y关于年营销费用x 的回归方程．(1)求y 关于x 的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用-固定成本）参考数据： 4.399e 81≈139≈．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()`121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在㮋圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求四边形AMBN 的面积的取值范围．21．已知函数()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R ．(1)当1m =时，求()f x 在点()()π,πf 处的切线方程；(2)当0x >时，()0f x >，求实数m 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩其中t 为参数，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+，其中θ为参数．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并画出曲线C 的简图（无需写出作图过程）；(2)直线:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭与曲线C 相交于A ，B两点，且||AB =α的值．23．已知函数()2|1||1|4f x x x =++--的最小值为m ．(1)在直角坐标系中画出()y f x =的图象，并求出m 的值；(2)a ，b ，c 均为正数，且1a b c m ++=-+，求222a b c b c a++的最小值．参考答案：1．B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ，求出A B ⋂及A B ⋃，根据元素和集合的关系即可逐项判断.【详解】由题可知{6B x x =≥∣或3}x ≤，则{23}A B xx ⋂=<≤∣，{4A B x x ⋃=<∣或6}x ≥，依据选项可知B 正确.故选：B ．2．D【分析】先根据条件求出复数z ，然后可得虚部.【详解】设复数i z a b =+，a ，b ∈R ，则i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+，即()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则12z i =+，故z 的虚部为2.故选：D ．3．B【分析】先根据n S 的定义依次求出123,,a a a ，再由等比数列的定义即可得到关于m 的关系式，解之即可得出答案.【详解】因为123nn S m =⨯-，当1n =时，1123a S m ==-，当2n =时，21243m a S a =+=-，则223a =，当3n =时，312383a m a a S +=+-=，则343a =，因为{}n a 是等比数列，所以322a q a ==，则2113a a q ==，所以2133m -=，解得13m =，则11233n n S =⨯-，则45S =.故选：B.4．C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设AB m =，则tan 60m BC ==︒，在BCD △中，105CBD ∠=︒，由正弦定理得sin105sin 45CD BC=︒︒，因为()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=，代入数据，解得90m =-9030 1.739≈-⨯=（米），故选：C ．5．A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项B,D ；再利用特殊值即可排除选项C ，进而求解.【详解】函数3sin ()xx xy f x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B,D 选项，只需研究0x >的图象，当π6x =时，πππ33sin 06662-=-<，则π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C 选项.故选：A ．6．B【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：①都没有被选中，有33C 种情况；②两项活动只有一项被选中，有1223C C 种情况，则所求概率为31232335C C C 70.7C 10P +===，故选B ．方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为123235C C 710.7C 10P =-==，故选：B ．7．C【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题1p 为真命题，依据图（2）知命题2p 为真命题，依据图（3）知命题3p 为假命题，依据图（4）知命题4p 为真命题．所以真命题有3个，故选：C ．8．A【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义，又F 恰好为AM 的中点，可得到比例||||AF BM ，进一步推导得到λ的值.【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义得||||AF AN =，||||BF BE =，因为F 为AM 的中点，所以||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+，又||||||||BF BE BM BM ==||||1||||2AN AF AM AM ==，所以||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=，所以32λ=.故选：A 9．B【分析】列举出1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况，可得出m 的所有可能取值，相加即可得解.【详解】由题意，1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况有：①2142142→→→→→→；②16842142→→→→→→；③2010516842→→→→→→；④310516842→→→→→→；⑤128643216842→→→→→→；⑥21643216842→→→→→→；所以，m 的可能取值集合为{}2,16,20,3,128,21，m 的所有可能取值之和为21620312821190+++++=.故选：B.10．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接D H '，证明D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C ' 的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心，先求出12,r r ，再求出三棱锥D ABC '-的外接球的半径R 即得解.【详解】如图所示，因为13AM MD =，13CN ND =，所以//MN AC ，设MN 与BD 的交点为H ，连接'D H ，因为5AD CD AB ===，3GA GC ==，所以4DG =，则1GH =，3DH =，所以3D H '=．又GD '=222D G GH D H ''+=，则D G GH '⊥．又D G AC '⊥，AC HG G ⋂=，AC HG ⊂，平面ABC ，故D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C ' 的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心，且四边形12O OO G 为矩形．设ABC 的外接圆半径为1r ，在ABC 中，由()2221143r r -+=，解得1258r =，同理可得AD C ' 的外接圆半径28r =，所以28GO =．设三棱锥D ABC '-的外接球半径为R ，则22212R O A GO =+6252627646464=+=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积26274π16S R π==.故选：B ．11．D【分析】连结连接2AF 、2BF .设2AF =2BF m =，根据双曲线的定义可推得||4AB a =，即2m a =．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得2F M 结合已知条件，即可得出222c a =，从而得出离心率.【详解】如图，连接2AF 、2BF .因为M 为AB 的中点，2F M AB ⊥，所以22AF BF =．设2AF =2BF m =，因为212AF AF a -=，所以12AF m a =-.又因为122BF BF a -=，所以1BF =2m a +，则11||4AB BF AF a =-=．因为M 为AB 的中点，所以||||2AM BM a ==，则1F M m =．设122F F c =，在12Rt F F M △中，2F M =在2Rt AF M △中，2F M =，整理可得22222m a c =+，所以2F M =．当1230AF F ∠=︒时，12sin AF F ∠=212F M F F=122c =，则222c a =，所以离心率为ce a==故选：D ．12．D【分析】构造函数()1tan x f x x =--e ，π04x <<，利用导数判断其单调性即可判断,a c 的大小；ln1.618ln(10.618)b ==+，可构造函数()ln(1)h x x x =+-判断ln1.618b =与0.618的大小，构造函数()tan k x x x =-判断0.618与tan 0.618的大小，从而可判断,b c 的大小.【详解】令()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=，π04x <<，令()e cos x g x x =-cos sin x x -，则()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--，当π04x <<时，()0g x '>，则()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又(0)110g =-=，所以当04x π<<时，()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，又00.6184π<<，所以(0.618)0f >，即a c >．令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x -=-=++'，当02x π<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当02x π<<时，()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<．令()tan k x x x =-，则21()10cos k x x '=-≤，()k x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当02x π<<时，()(0)0k x k <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．令0.618x =，则ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<，所以c b >．综上所述，a c b >>．故选：D ．【点睛】构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小；2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13．90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅，当2r =时，4390T x =，故4x 的系数为90．故答案为：90.14．52##2.5【分析】以点A 为坐标原点，AB ，AD的方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设(,0)N m (02)m ≤≤，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点A 为坐标原点，AB，AD 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)B ，(0,1)D ，设(,0)N m (02)m ≤≤，所以11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(,1)DN m =- ，则MB DN ⋅= 12m +，因为02m ≤≤，所以1522MB DN ≤⋅≤ ，即MB DN ⋅ 的最大值为52．故答案为：52．15【分析】求出A 、B 坐标，设N (x ,y )，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆22:280M x y x ++-=，令0y =，得2280x x +-=，解得4x =-或2x =，则()4,0A -，()2,0B ．设(,)N x y ，∵2NANB=，∴2NA NB =，=，整理得22(4)16x y -+=，则点N 的轨迹是圆心为()4,0E ，半径为4R =的圆．又圆M 的方程为22(1)9x y ++=，则圆M 的圆心为(1,0)-，半径为3r =．∵434(1)43-<--<+，∴两圆相交，设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ，D ，连接CM ，DE ，过M 作DE 的垂线，垂足为点F ，则四边形CDFM 为矩形，∵5ME =，431EF DE DF R CM =-=-=-=，∴MF =则tan 12EF FME MF∠==，则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM 的斜率为12．故答案为：12.16．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到()g x 的解析式，然后结合函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在ππ,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.【详解】函数()f x 的图象向左平移2π3个单位长度，得到2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，得到2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 的图象与2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称，所以2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为20π3x ≤≤，所以ππ2ππ6636x ωω≤+≤+，又因为π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有2个零点，且()sin π0k =，Z k ∈，所以2π2ππ3π36ω≤+<，解得1117<44ω≤，令22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+，2k ∈Z ，得222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+，2k ∈Z ，令20k =，得()g x 在2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，又0ω>，解得04ω<≤．综上所述，1144ω≤≤，故ω的取值范围是11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)π3A =；【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简可推得tan A =（2）由已知可推得9bc =.在ABD △中，由余弦定理可推得2221193c b bc BD =+-，然后根据基本不等式，即可得出BD 的最小值．【详解】（1sin cos )sin sin B A C C A -=，又πA B C ++=]sin()sin cos sin sin A C A C C A +-=，sin A C sin sin C A =．又sin 0C >sin A A =，则tan A =．因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）由（1）知π3A =，则ABC 的面积为1πsin 23S bc ===9bc =．在ABD △中，13AD b =，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos 933c b c b =+-⨯⨯⨯221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==，当且仅当2219c b =，即b =c =所以BD18．(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD 的中点时，AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =，则2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．19．(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y 关于x 的回归方程为非线性的，设b y a x =⋅，可得ln ln ln y a b x =+，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.【详解】（1）由b y a x =⋅得，ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+．由表中数据可得，()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑，则26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯，所以ˆ 4.3990.25v u =+．即ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.399e 81≈，所以14ˆ81y x =，故所求的回归方程为1481y x =．（2）设年收益为W 万元，则144120324120W y x x x =--=--，对()W f x =求导，得34'()811f x x -=-，令348110x --=，解得132433519x =≈⨯=，当(0,351)x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(351,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，因此，当351x =时W 有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．20．(1)22143x y +=；(2)[6,．【分析】（1）由题得到关于,,a b c 的方程，解方程即得解；（2）设直线l 的方程为1x ky =+，联立椭圆C 的方程得到韦达定理，设线段AB 的中点为()00,Q x y ，求出它的坐标，求出||AB 、点M ，N 到直线l 的距离12,d d，再化简求出S =即得解.【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为(,0)(0)c c >，则12c a =，即2a c =，又222a b c =+，则223b c =，因为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b +=，即2213144c c +=，解得1c =，则2a =，b =C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知(1,0)F ，因为直线l 的斜率不为0，所以可设直线l 的方程为1x ky =+，代入椭圆C 的方程22143x y +=，消去x 化简得()2234690k y ky ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634ky y k -+=+，122934y y k -=+．设线段AB 的中点为()00,Q x y ，则12023234y y k y k +-==+，200231134kx ky k -=+=+2434k =+，即2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则直线m 的方程为34k y x =-，代入椭圆C的方程可得x =M ⎛⎫，N ⎛⎫⎝．12||AB y =-===()2212134k k +=+，点M ，N 到直线l的距离分别为1d =2d =，则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2AB d d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯．因为点M ，N 在直线l的两侧，所以1||2S AB =⨯1||2AB =⨯⨯1||2AB =⨯()221211234k k +=⨯+===，因为2110344k <≤+，所以6S ≤<因此，四边形AMBN 的面积的取值范围为[6,．21．(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】（1）由导数法求切线；（2）法一：对m 分类讨论，由导数法研究函数单调性及符号即可判断，其中1m ≥时，由作差法说明()2cos sin f x x x x x ≥--，将问题转化为判断()2cos sin g x x x x x =--的符号；法二：不等式等价为sin 2cos xmx x>-，由导数法研究sin ()2cos x g x x =-图象性质，由数形结合判断范围.【详解】（1）因为()2cos sin f x x x x x =--，所以()22cos sin f x x x x '=-+，因为()π4f '=，()π3πf =，所以切线方程为()3π4πy x -=-，即4y x π=-．（2）方法一：i.若1m ≥，由2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥，可得()2cos sin f x x x x x ≥--，设()2cos sin g x x x x x =--，则()22cos sin g x x x x '=-+，当(0,]x π∈时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，则()(0)0g x g >=；当(,)x ∈π+∞时，()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->，所以()0g x >，所以()0f x >恒成立，符合题意；ii.若0m ≤，()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，不合题意．iii.若01m <<，()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++，设()()h x f x '=，则()(21)sin cos h x m x mx x '=++，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，(0)0f '<，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()00,x 上单调递减，()(0)0f x f <=，不合题意．综上所述，m 的取值范围为[1,)+∞．方法二：由题知当0m >时，2cos sin 0mx mx x x -->，即(2cos )sin mx x x ->，因为2cos 0x ->，所以sin 2cos x mx x >-．设sin ()2cos x g x x=-，因为(2)()g x g x π+=，所以()g x 为周期函数，且周期为2π．22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-，令()0g x '=，则π2π3x k =+或5π2π3x k =+，k ∈Z ，所以当ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 时，()0g x '<，则()g x 单调递减．当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()h x g x '=，则32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-，则()()h x g x '=单调递减，∴()(0)1g x g ''<=.当1m =时，直线y mx =与曲线()y g x =相切，如图，根据图象可知，要使sin 2cos x mx x>-，只需m 1≥，故实数m 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】恒成立问题，一般可通过分离参数法，转化为由导数法研究不含参部分的最值；或者对参数分类讨论，由导数法分别说明.22．(1)20x y +-=，222||2||0x y x y +--=，作图见解析；(2)π12α=或5π12α=．【分析】（1）消去参数t ，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方程.然后根据方程作图即可；（2）设点A 位于第一象限，由图象集合已知条件可推出2sin 2cos A ραα=+，2sin 2cos B ραα=+.由||AB =πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.然后根据α的范围，即可得出α的值．【详解】（1）将直线的参数方程消去t ，得普通方程为20x y +-=．曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+，即22|sin |2|cos |ρρθρθ=+，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为222||2||0x y x y +--=．则曲线C的简图如图所示．（2）不妨设点A 位于第一象限，结合图形和直线:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭可知，2sin 2cos A ραα=+，2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+，则||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ππ43α+=或π2π43α+=，所以π12α=或5π12α=．23．(1)作图见解析，2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m ；(2)利用基本不等式得22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式相加即可求得222a b c b c a++的最小值．【详解】（1）由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点(2,1)-，(1,2)--，(1,0)，(2,3)，连线得()y f x =的图象如图所示．通过图象可知，当=1x -时，函数()y f x =的最小值为2-，即2m =-．（2）由(1)知2m =-，13a b c m ++=-+=，22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三个式子相加得2223a b c a b c b c a++≥++=，当且仅当1a b c ===时等式成立，∴222a b c b c a++的最小值为3．。
2023九师联盟高三12月联考理科数学参考答案
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九师联盟2023届高三3月质量检测L理科数学含答案河南省多所名校高三大联考数学试题
高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1.若复数z 满足(1+i)²z=3+4i, 则 =2.已知全集U={x∈Z|x²-9x-10<0}, 集合A={x∈Z|(x -1)(8-x)≥0},B=(1,2,4,5,7,8}, 则Cu(A∩B)=A.(1,2,4,5,7}B.{0,3,6}C.(0,2,8,9}D.(0,3,6,9}3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为0,始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆x²+y²=9 相交于),则A C.口4.已知平面向量a,b 满足|a|=2,a·b=1,|a+b|=√7, 则a,b 夹角的大小为A B.C.口5.将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥(衔接处不重合),则该无底圆锥的体积为 A.27√3π B.27π C.9√3π D.9π6.执行如图所示的程序框图，则输出的S=AF+I D>202372 是 输出S 结 束【高三3月质量检测· 文科数学 第1页(共4页)】 L7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发 现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电 电流I 之间关系的经验公式：C=Pt, 其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert 常数),在电池 容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h; 当放电电流为50 A 时，放电时间为 7.5h,则该蓄电池的Peukert 常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 8.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若 c=2,b=√7,,P 为△ABC 内一 点，AP ⊥,则BP=A.√2B.√3C.2D.59.已知F 是抛物线C:y²=2px(p>0) 的焦点，过点F 且斜率为2的直线l 与C 交 于A,B 两点，若 |AF| · |BF|=20, 则p=A.4B.3C.2D.1 10.已知函数f(x)= √ 1+sinx+ √ 1-sinx, 则下列结论错误的是A.π 为f(x) 的一个周期B.f(x) 的图象关于直线：C.f(x) 在上为增函数D.f(x) 的值域为[/2,2]11.设双曲线E:)的焦距为2c,离心率为e, 且a,c,a+c 成等比数列，A 是E 的一个顶点，F 是与A 不 在y 轴同侧的焦点，B 是E 的虚轴的一个端点，PQ 为E 的任意一条不过原点且斜率为k(k≠0) 的弦，M 为PQ 中点，0为坐标原点，则下列判断错误的是 A.E 的一条渐近线的斜率为VeB.AB ⊥BFC.koM·k=e(kax,k 分别为直线OM,PQ 的斜率)D.若 OP⊥OQ, 则-12.若,则A.be-e<ae-e"C.asin b+b<bsin a+aD.sin bcos a>sin a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国卷】名校教研联盟2023届高三联考(三)理科数学试卷及参考答案
绝密食启用前〈全国卷〉理科数学试卷注意事项：1.答Ai-前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，这出每小题答案后，用铅笔j巳辛辛题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再这涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答是巨卡上。
写在本试卷土元效。
3.考试结束后，将本试卷和毛在通卡一并交回。
一、选择题z本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.已知z+i＝刀，则lz-il=A豆豆 B.J22 2C.I2. 己知集合M= {xllx -II< 2} , N = {xl2x < 8｝，则MnN=A.｛斗－3＜工＜I}B.{xl-2<x<2}C.{xi-i<x<3}3.己灿，b为单位向景，若la-2bl＝刃，则。
·(a.-2b) =A.0B. -IC.I4.(x－三－1)5的展开式中x的系数为A.-35B.-15 c.5/(1) +f (2) +· · +f(I 0) s.定义域为R的函数f(x）满足f(x)= 2/(x+ I)< 0，则/(11) + /(12）÷…＋ /(30)220A. －－－：－：：－一－B.一一－－－＝－c.2102’υ＋ I 1-2，。
6.已知直线a,b, c两两异丽，且al.c,bl.c P下列说法正确的是A.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，c IIβ，α土βB.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，C IIβ，α／／βc.存在l啦一的平面y，使c c y，且α，b与y所成角相等D.存在平面y，使ally,blly, .llcl.y 。
..!.D.｛斗－I＜工＜2} D.2D.25D.-2107.我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着－辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表而接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表而接触，若该列车行驶了距离’s，贝I］此时P到铁轨上表丽的距离为A.R sin二RB.2R sin !_RC.R(l－咛）理科数学试题（全国卷）第l页（共4页〉D.R(l+cos言）8.已知x 2+ y 2=2x ，则2-=-的最大值为x＋」己A..!_2B..!_3卢布7卢布了D9.记s，，为等差数列｛。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(Word版含答案)
A.
1 2
2 B.
3
3
C.
4
5
D.
6
8.已知命题 p ：“若直线 a ∥平面 ，平面 ∥平面 ，则直线 a ∥平面 ”，命题 q：“棱长为 a 的正四面
6 5π
,1
上单调递增
D.
f
x
区间
1 π
,1
上有且只有一个极值点
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二､填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）
13.已知 a
3, b 1, a b 2,
3 ，则 a 与 b 的夹角为__________.
则 f x f y ，即 ln x2 1 x ln y2 1 y
即 ln x2 1 x ln y2 1 y 0 ； p q ，若 ln x2 1 x ln y2 1 y 0 ， 则等价于 ln x2 1 x ln y2 1 y ，即 f x f y ，
由 f (x) 在 R 上递增，则 x y ，即 x y 0 ，故 p 是 q 的充要条件，
故选：C. 6.【参考答案】B
函数
f
(
x)
2
sin(
x
π 3
)(
0)
的图象向左平移
3
个单位得到函数 y
g(x) 的图象，
则
g
x
2 sin
x
π 3
π 3
2sin x
，
又因为
高三联考数学(理科)试题及答案(2021届)含答案
1oy x12高三联考数学(理科)试题及答案（2021届）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分；第Ⅱ卷为9-21题，共110分.全卷满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题纸上．2． 第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上． 3．考试结束后，监考员将答题纸收回． 第Ⅰ卷 （本卷共计40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．函数1()(1)f x x x=>的值域是（ ）A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 2．巳知全集U R =，i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和221(1){,,,}i N i i i i+=的关系韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 3．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右图所示，则()g x ＝（ ）A.2xB.12()log x - C. 2log ()x - D.2log ()x --5．函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos 2a b+=, C.1-, D.1. 6．ABC △内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC ⋅=⋅．则ABC △一定是 A ． 钝角三角形 B ． 直角三角形C ． 等边三角形D ． 等腰三角形7． 甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ ） A ． 甲的产值小于乙的产值 B ． 甲的产值等于乙的产值C ． 甲的产值大于乙的产值D ．不能确定8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f m n .则下列说法中正确命题的是（ ）A.114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； B.()f x 是奇函数；C.()f x 在定义域上单调递增；D.()f x 的图象关于y 轴对称．M B A 图1图2图3数 学 (理科)答案第Ⅱ卷 （本卷共计110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =10. 对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则02sin xdx π⊗⎰=______.11．△ABC 的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅的值为________. 12．已知不等式|2||1|-++x x ≥m 的解集是R ，则实数m 的取值范围是__________. 13．已知一系列函数有如下性质：函数1y x x =+在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数； 函数2y x x =+在2]上是减函数，在2,)+∞上是增函数；函数3y x x=+在3]上是减函数，在3,)+∞上是增函数；………………利用上述所提供的信息解决问题：若函数3(0)my x x x=+>的值域是[6,)+∞，则实数m 的值是___________.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线121x ty t =-+⎧⎨=--⎩ （t 为参数）被曲线 13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈）所截，则截得的弦的长度是____________. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点。
2023 年高三 2 月大联考(全国乙卷)理科数学参考答案
2023年高三2月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】由(2i)8i z ，得8i 1510i32i 2i 5z ，所以32i z ．故选B ． 2．A 【解析】由103x x ，得(1)(3)0x x 且30x ，解得13x ，所以{|13}M x x . 由22y x ，得2y ，所以{|2}N y y ，所以[2,3)M N ．故选A ．3．B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知p 为“1x ，(1)0x x ”，故选B ．4．C 【解析】A ：a 可能在平面 内，所以A 错误；B ：a 与m 可能平行，从而 与 可能相交，所以B 错误；C ：a ∥且b ∥ ∥ m ∥ ，所以C 正确；D ：如图，考虑正方形沿对角线折叠，另一条对角线折起后形成的两条直线，以及折痕和一条半平面内与折痕平行的直线，它们符合垂直关系，但两个半平面不一定垂直，所以D 错误．故选C ．5．D 【解析】因为(,)42 ，所以2(,)2 .又4sin 25 ，所以3cos 25 ，所以2312sin 5 ，解得sin （负值舍去）．故选D ．6．B 【解析】由函数的值域，可以排除A.由函数的奇偶性，可以排除D.C:2cos sin ()x x xf x x，令()cos sin g x x x x ，则()sin g x x x ．当(0,)x 时，()0g x 恒成立，所以()g x 在(0,) 上单调递减．因为(0)0g ，所以()(0)0g x g 在(0,) 上恒成立，所以当(0,)x 时，()0f x 恒成立，所以()f x 在(0,) 上单调递减，所以排除C ．故选B ．7．C 【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有122442C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有212432C C C种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有21122432C C C C 种不同的安排方法，所以，一共有1122212211224424322432C (C C C C C C )C C C C 96 种不同的安排方法．故选C ．8．C【解析】2()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 24f x x x x x x x x x，所以()f x 的，将8x代入())4f x x，得884f （，故A 和D 错误；将2y x 的图象向右平移4个单位长度得到2(242y x x x的图象，所以B 错误；由2224k x k kZ ，得5()88k x k k Z ，所以5[ 88，是()f x 的一个单调递减区间，所以()f x 在3( 48，上单调递减．故选C ． 9．A 【解析】由题意，知x ，y 满足约束条件0,0113x y x y x y x y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线24x y ，易得52(,)33A ，(2,1)B ，(1,2)C ，(0,1)D ，(1,0)E ，连接DE ，则非负数x ，y对应的可行域的面积为151122ODE BCDE S S△正方形，事件“24x y ”对应的可行域的面积为1112233ABC S AB BC △，所以所求概率为1235152P ．故选A ．10．D 【解析】由题图（2）得，．设截得的四边形木板为ABCD ，A ，AB c ，,,,BD a AD b BC n CD m ，如图．由3cos 5得4sin 5 ．在ABD △中，由正弦定理，得2sin 2a ，解得a 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos abc bc ， ∴226805b c bc ，配方，得216()805b c bc (*)．∵2()2b c bc ，∴(*)式可化为22161()()55b c bc b c ， ∴21()805b c ，∴20b c ，当且仅当10b c 时等号成立． 同理，在CBD △中，得10m n ，当且仅当5m n 时等号成立， ∴这块四边形木板周长的最大值为30．故选D ．11．A 【解析】设1||MF m ，2||MF n ，椭圆C 的半焦距为c ，则2m n a ，24mn c ，所以224a c22()()22m n m n mn 2()m a ．因为a c m a c ，所以22224()[0,]a c m a c ，即224c a25c ，则21154e ，所以152e ．故选A ． 12．B 【解析】（1）先比较,a b ：∵0.40.40.40.6e e (1ln e )a ，2ln 42(1ln 2)b ， ∴可以构造函数()(1ln )f x x x ，则0.4(e )a f ，(2)b f ． 对()f x 求导，得()ln f x x ，当(1)x ,时，()0f x ， ∴()f x 在(1) ，上单调递减． ∵00.40.51e e e 2 ，∴0.4(e )(2)f f ，即a b ． （2）再比较,b c ：∵4ln 4e 42ln 2e b c ．∴可以构造函数()2ln e g x x x x ，则()1ln g x x ， 当(0,e)x 时，()0g x ；当(e,)x 时，()0g x ，∴()g x 在(0e)，上单调递增，在(e ) ，上单调递减，∴max ()(e)0g x g ，∴(2)0g ，∴0b c ，即b c ． （3）最后比较,a c ： ∵0.4(10.4)e e 2a c ，∴可以构造函数()(1)e e 2x h x x ，则()e x h x x ，当(0,1)x 时，()0h x ， ∴()h x 在(0,1)上单调递减．又∵0.5(0.5)0.5e e 2h ，且0.5e 1.6 ，∴(0.5)0h ， ∴(0.4)(0.5)0h h ，∴0a c ，即a c ． 综上得，a c b ．故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三联考理科数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、=+-++∞
→)1(lim 2n n n n
A 、1
B 、
32 C 、2
1
D 、不存在 2、设R 为全集，集合A ＝}4lg lg |{2>x x ，B ＝}1|2||{<-x x ，那么)(B C A R 等于 A 、}2|{-<x x B 、}32|{≥-<x x x 或 C 、}3|{≥x x D 、}32|{<≤-x x 3、若命题p 的否命题是q ，q 的逆命题是r ，则r 是p 的
A 、逆否命题
B 、否命题
C 、逆命题
D 、以上判断都不对
4、已知y ＝f(x)的图象关于点（－1，0）对称，且当),0(∞+∈x 时，f(x)＝x ，则当
)2,(--∞∈x 时，f(x)的解析式为
A 、2--x
B 、－2+x
C 、－2--x
D 、2+x 5、在),0(π内，使0＜sinx ＋cosx ＜1成立的的取值范围是 A 、)4
,
0(π
B 、)2
,4(
π
π C 、)4
3,2(
π
π D 、),4
3(
ππ
6、在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的另一个面所成的角为30°，则此直线与二面角棱所成的角为
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90°
7、一块实验地分成5垄，分别种植5种不同的农作物，且甲种农作物既不能与乙种农作物相邻，也不能与丙种农作物相邻，则不同的种植方法有 A 、24种 B 、36种 C 、48种 D 、60种
8、对于任意两个正数m 、n ，定义运算⊗：当m 、n 都为偶数或都为奇数时，m ⊗n ＝
2
n
m +；当m 、n 为一奇一偶时，m ⊗n ＝mn ；设集合A ＝},6|),{(*N b a b a b a ∈=⊗、，则集合A 中的元素个数是
A 、14
B 、15
C 、16
D 、17
9、从30名男生和20名女生中抽出10人组成一个调查小组，若按性别依比例分层抽样，则不同的抽样方法有
A 、1050C
B 、520530
C C C 、420630C C
D 、4
20630A A
10、已知函数x x x f 32)(3+=，x ∈（－1,1），当0)1()1(2<-+-a f a f 时，a 的取值范围是
A 、（－2，1）
B 、（0，2）
C 、（0，1）
D 、（－2，2）
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11、设)()11()11()(Z n i
i i i n f n
n ∈+-+-+=，则f(2006)的值为
12、已知直线l 被椭圆19
362
2=+y x 所截得的弦的中点为（4，2），则l 被椭圆截得的弦长为
13、46)1()1(x x -+的展开式中含x 3项的系数为
14、已知平面上三个单位向量a 、b 、c 相互之间的夹角为120°，则向量a －b ，a
－
c
的夹角为
15、一个正方体的箱子棱长为2，将8个直径为1的铁球放进去后，则正中央能放下的最大球的直径是
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分12分）
已知函数x x m x m x f cos sin 32sin 2)(2+-=的定义域是]2
,
0[π
，值域为[－2，1]，
若向量),(n m a = 满足2||≤a
，求n 的取值范围
17、（本小题满分12分）
市特警队员进行手枪实弹射击考核，每次射出一发子弹，每射击5发为一组，一旦命中就停止，并转入下一组考核，否则一直打完5发子弹才能转入下一组考核，已知新队员小李每射击一次的命中概率为0.8，且每次射击命中与否互不影响
（1）若队员完成连续两组考核所用子弹不超过3发，则可被评为优秀射手，求小李被评为优秀射手的概率；
（2）求小李在一组考核中所用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望
18、（本小题满分14分）
如图，已知直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的底面是等腰三角形，底角∠BAC ＝30º，且AC ＝AA 1＝a ，D 是C 1C 中点
（1）求证：面AB 1D ⊥面A 1ABB 1； （2）求C 1到面AB 1D 的距离
C
B
E D
A 1
C 1
B 1
19、（本小题满分14分）
已知数列｛a n ｝的前n 项的平均数为2n ＋1 （1）求｛a n ｝的通项公式； （2）设1
1
+-=
n n n a a c ，试判断并说明*)(1N n c c n n ∈-+的符号； （3）设函数n c x x x f 85)(2-+-=，是否存在最大的实数k ，当k x ≤时，对于一切非零自然数n ，都有0)(≤x f
20、（本小题满分14分）
已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=
（1）若函数f(x)在x ＝2时取得极值，求a 的值；
（2）若函数f(x)在闭区间[－1，1]上的最大值为g(a)，求g(a)的解析式
21、（本小题满分14分）
已知抛物线C ：2x y =，直线l ：y ＝kx ＋b （b ≠0），直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧）
（1）若OB OA ⊥（O 为坐标原点），且ΔAOB 的重心在直线x y 3
1
=上，求实数，b 的值；
（2）若k ＝1，b ＝2，若过A 、B 的圆C '与抛物线C 在A 处有相同的切线，求圆C '的方程
参考答案
一、CBACC BBDDC
二、11、－2 12、10 13、－8 14、60° 15、13- 16、化简得 m x m x f -+=)6
2sin(2)(π
m ＝1 解得33≤≤-n
17、（1）0.896
（2）
E ξ=1.2496 18、（2）2
3a
19、（1）14-=n a n （2）01>-+n n c c （3）存在实数k=1
20、(1)a ＝4
(2)⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-<≤≥-=41311412113)(a a a a a a a a g
21、（1）k ＝b ＝1 （2）5)2()1(22=-+-y x。