高中物理第一章机械振动第3节简谐运动的图像和公式教学案教科版选修

第3节简谐运动的图像和公式对应学生用书P7简谐运动的图像[自读教材·抓基础]1．建立坐标系以横轴表示做简谐运动的物体的时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。

2．图像的特点一条正弦(或余弦)曲线，如图1－3－1所示。

图1－3－13．图像意义表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。

4．应用1.简谐运动图像是一条正弦(或余弦)曲线，描述了质点做简谐运动时位移x随时间t的变化规律，并不是质点运动的轨迹。

2．由简谐运动图像可以直接得出物体振动的振幅、周期、某时刻的位移及振动方向。

3．简谐运动的表达式为x＝A sin(2πT t＋φ)或x＝A sin(2πft＋φ)，其中A为质点振幅、(2πT t＋φ)为相位，φ为初相位。

由简谐运动的图像可找出物体振动的周期和振幅。

[跟随名师·解疑难]1．图像的含义表示某一做简谐运动的质点在各个时刻的位移，不是振动质点的运动轨迹。

2．由图像可以获取哪些信息？(1)可直接读取振幅、周期。

(2)任意时刻质点的位移的大小和方向。

如图1－3－2所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。

图1－3－2(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－3中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。

图1－3－3(4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小。

如图中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小；c点从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)一质点做简谐运动，其位移x与时间t关系曲线如图1－3－4所示，由图可知( )图1－3－4A．质点振动的频率是4 HzB ．质点振动的振幅是2 cmC ．在t ＝3 s 时，质点的速度最大D ．在t ＝4 s 时，质点所受的合外力为零解析：选BC 从振动图像可知振幅A ＝2 cm ，周期T ＝4 s ，则频率为f ＝1T＝0.25 Hz 。

t ＝3 s 时，质点位于平衡位置，速度最大，而t ＝4 s 时，质点位于最大位移处，所以回复力最大。

简谐运动的表达式1.表达式简谐运动的表达式可以写成x ＝A sin (2πT t ＋φ)或x ＝A sin(2πft ＋φ)。

2．表达式中各量的意义(1)式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移，t 表示质点振动的时间。

(2)式中A 表示振幅，描述的是振动的强弱。

(3)式中T 、f 分别表示简谐运动的周期和频率，描述的都是振动的快慢。

(4)式中(2πft ＋φ)表示相位，描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。

它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体又多完成了一次全振动。

(5)式中φ表示t ＝0时简谐运动质点所处的状态称为初相位或初相。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)一个简谐运动的振动方程为x ＝5cos(2πt ＋π2) cm ，这个振动的振幅是________cm ；频率是________Hz ；在t ＝0.1 s 时的相位是________。

解析：由振动方程可知，A ＝5 cm ，ω＝2π，由ω＝2πT＝2πf 可知， f ＝1 Hz t ＝0.1 s 时，相位为2π×0.1＋π2＝710π。

答案：5 1 710π对应学生用书P8 简谐运动图像的应用[典题例析]1．如图1－3－5是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：图1－3－5(1)振动的振幅、周期、频率各是多少？(2)如果从O 点算起，到图线上哪一点为止振子完成了一次全振动？从A 点算起呢？(3)从零到1.6 s 时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？[思路点拨] 解答本题应注意以下两点：(1)由图像可以直接读取振幅和周期；(2)动能最大点、势能最大点与位移的对应关系。

解析：(1)由图像可知振动的振幅A ＝2 cm ，周期T ＝0.8 s ，由此可得频率f ＝1T＝1.25 Hz 。

(2)由图像可知图中的O 、D 、H 三点即在0、0.8 s 、1.6 s 三时刻，振动质点的运动状态相同，图中A 、E 二点，即在0.2 s 、1.0 s 两时刻振动质点的运动状态相同，所以如果从O 点算起，到图像上的D 点，振子完成了一次全振动；如果从A 点算起，到图像上的E 点，振子完成了一次全振动。

(3)从0～1.6 s 内，在0、0.4 s 、0.8 s 、1.2 s 、1.6 s 各时刻，即对应图中的O 、B 、D 、F 、H 各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2 s 、0.6 s 、1.0 s 、1.4 s 各时刻，即对应图中的A 、C 、E 、G 各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。

答案：(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz(2)D 点 E 点(3)O 、B 、D 、F 、H A 、C 、E 、G[探规寻律]简谐运动图像问题的分析方法解此类题时，首先要理解x －t 图像的意义，其次要把x －t 图像与质点的实际振动过程联系起来。

再充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。

[跟踪演练]如图1－3－6所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法中正确的是( )图1－3－6A ．振动周期是2×10－2 sB ．第2×10－2 s 内物体的位移是－10 cmC ．物体的振动频率为25 HzD ．物体的振幅是10 cm解析：选BCD 周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2 s ，故A 错误。

又f ＝1T，所以f ＝25 Hz ，故C 正确。

正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A ＝10 cm ，故D 正确。

第2×10－2s 内初位置是10 cm ，末位置是0，根据位移的概念有x ＝－10 cm ，故B 正确。

对简谐运动表达式的理解[典题例析]2．物体A 做简谐运动的振动位移为x A ＝3cos(100t ＋π2) m ，物体B 做简谐运动的振动位移为x B ＝5cos(100t ＋π6) m 。

比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 mB ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 sC ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD ．A 振动的频率f A 大于B 振动的频率f B[思路点拨] 解答此题要注意以下两点：(1)从表达式中找出振幅、初相、周期；(2)利用关系式ω＝2πT 和f ＝1T分析求解。

解析：振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别是3 m 、5 m ，选项A 错误；周期是标量，A 、B 的周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2 s ，选项B 错误；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，选项C 正确，选项D 错误。

答案：C[探规寻律]用x ＝A sin(2πTt ＋φ)解题的方法 (1)首先要明确表达式中各物理量的意义。

(2)根据ω＝2πT＝2πf 确定描述振动快慢的三个物理量的关系。

(3)根据表达式求解某时刻的位移。

(4)对于同一质点的振动，不同形式位移表达式初相位并不相同。

[跟踪演练]有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )A ．x ＝8×10－3sin(4πt ＋π2) m B ．x ＝8×10－3sin(4πt －π2) m C ．x ＝8×10－1sin(πt ＋32π) m D ．x ＝8×10－1sin(4πt ＋π2) m 解析：选A ω＝2πT＝4π，当t ＝0时，具有负方向的最大加速度，则x ＝A ，所以初相φ＝π2，表达式为x ＝8×10－3×sin(4πt ＋π2) m ，A 正确。

对应学生用书P9[课堂双基落实]1．如图1－3－7所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )图1－3－7A ．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B ．从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的C ．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x 轴方向匀速运动D ．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析：选ACD 该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是垂直于横轴方向移动的，故A 对B 错。

由获得图像的方法知C 对。

频闪照相是在相同时间内留下的小球的像。

因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D 对。

2．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－8所示，则该质点( )图1－3－8A ．在0～0.01 s 内，速度与加速度的方向相同B ．在0.01～0.02 s 内，速度与回复力的方向相同C ．在0.025 s 末，速度为正，加速度为负D ．在0.04 s 末，速度为零，回复力最大解析：选AD 在0～0.01 s 内，速度、加速度都沿x 轴负方向，故A 正确。

在0.01～0.02 s 内，速度沿x 轴负方向，而回复力沿x 轴正方向，故B 错误。

在0.025 s 末，速度和加速度都为正，故C 错误。

在0.04 s 末，位移最大，回复力最大，速度为零，故D 正确。

3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝ A sin π4t ，则质点( )A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同C. 3 s 末至5 s 末的位移方向都相同D ．3 s 末至5 s 末的速度方向都相同解析：选AD 由表达式x ＝A sin π4t 知，ω＝π4，简谐运动的周期T ＝2πω＝8 s 。

表达式对应的振动图像如图所示。

质点在1 s 末的位移x 1＝A sin(π4×1)＝22A 质点在3 s 末的位移x 3＝A sin(π4×3)＝22A ，故A 正确；由前面计算可知t ＝1 s 和t ＝3 s 质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B 错误；由x －t 图像可知，3～4 s 内质点的位移为正值，4～5 s 内质点的位移为负值，C 错误；同样由x －t 图像可知，在时间3～5 s 内，质点一直向负方向运动，D 正确。