指对幂函数、方程的零点

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(word完整版)幂函数的性质

教学过程：一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：① 当0α>时:ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。

ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。

21x1-=x② 当0α<时：ⅰ)图象都过()1,1点。

ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。

思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？例题讲解：例1 写出下列函数的定义域和奇偶性(1)4y x = (2）14y x = （3）3y x -= （4）2y x -=例2 比较下列各组中两个值的大小：（1）11662,3 ；（2)4314.3-与43-π;（3）35)88.0(-与53(0.89)-．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1； (2) 3338420.16,0.5,6.25.--例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4 已知函数画出23y x -=的大致图象。

⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23y x -=的大致图象。

二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f（x)，我们把使f(x）=0的实数x叫做函数y=f(x）的零点(zero point）。

方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a）·f(b)〈0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b)内有零点.即存在c∈（a,b)，使得f（c ）=0，这个c也就是方程f(x）=0的根。

指数对数幂函数知识点总结9篇

指数对数幂函数知识点总结9篇第1篇示例：指数对数幂函数是高中数学中非常重要的内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

指数对数幂函数是一种特殊的函数形式，通过指数、对数、以及幂运算的组合，可以描述各种复杂的变化关系。

在本文中，我们将对指数对数幂函数的相关知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这一重要内容。

一、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的特点是底数a是一个固定的正数，指数x可以是任意实数。

指数函数的图像通常表现为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，其增长趋势取决于底数a的大小。

指数函数的性质有：1. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a小于1且大于0时，函数呈现下降趋势。

2. 指数函数在x轴上的水平渐近线为y=0，在y轴上的垂直渐近线为x=0。

3. 在0<a<1时，指数函数是单调递减的；在a>1时，指数函数是单调递增的。

4. 指数函数的导数为f'(x)=a^x * ln(a)，导数的值等于函数在该点的斜率。

1. 对数函数的图像是一条左开右闭的单调增函数。

2. ln(x)函数在x=1处的值为0，log(x)函数在x=1处的值也为0。

4. 对数函数的反函数是指数函数，即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。

三、幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为一个实数。

幂函数可以是单项式函数、分式函数以及多项式函数的基础函数形式。

幂函数的性质有：1. 当n为偶数时，幂函数呈现奇次函数的特点，曲线两侧对称于y 轴；当n为奇数时，幂函数呈现偶次函数的特点。

四、指数对数幂函数的综合应用指数对数幂函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。

在生态学中，人口增长规律可以用指数函数来描述；在物理学中，无阻射下的自由落体运动可以用幂函数来描述；在金融领域中，复利计算和收益增长也可以用指数函数和对数函数来分析。

幂指对函数及方程

幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1）对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2）幂函数一定过点(1,1)．（3）当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4）在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、（2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1）函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2）指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3）函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4）非奇非偶函数（5）无零点（6）函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7）在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8）无最值（9）函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称．三、指数方程（1）同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2）基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3）代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4）图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1）零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3）函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4）非奇非偶函数．（5）对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6）对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <；对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8）当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1）同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2）基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3）代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4）图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8．已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。

判断高中函数零点个数的三种方法

判断高中函数零点个数的三种方法要判断高中函数的零点个数，可以使用以下三种方法：方法一：图像法这种方法适用于已知函数的图像的情况。

我们可以将函数的图像绘制出来，并观察图像与x轴的交点来判断零点的个数。

具体步骤如下：1. 绘制函数的图像，根据函数的定义域和值域选择合适的比例和范围。

2. 观察图像与x轴的交点，交点的个数即为零点的个数。

3. 注意零点可能是实根或复根，复根可能出现时，通常画出的图像不会交叉，而是会出现弯曲。

方法二：代数法这种方法适用于已知函数的解析式的情况。

我们可以通过代数运算来寻找函数的零点。

具体步骤如下：1. 将函数化简为一般形式，如多项式函数可以化为多项式的标准形式，三角函数可以化为三角函数的表达式等。

2. 使用因式分解、配方法、求根公式等代数方法来求解方程。

3. 观察求解方程得到的根的个数，即为零点的个数。

方法三：函数的性质法这种方法适用于已知函数的性质的情况。

我们可以根据函数的性质来判断零点的个数。

具体步骤如下：1. 根据函数的定义域、奇偶性、单调性等性质，分析函数的零点可能的情况。

2. 运用性质所涉及的理论和定理，推导出函数零点的个数。

3. 注意常见的数学函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，它们的零点个数的判断方法可能会有所不同。

除了以上三种方法，还可以结合使用，根据具体的函数形式、题目要求以及个人理解等来选择合适的方法求解。

在判断函数零点个数时，需要考虑函数的定义域和值域、函数的性质和性质所涉及的理论、图像与方程的关系等。

正确运用这些方法可以准确判断函数的零点个数。

《方程的根与函数的零点》说课稿(附教学设计)

《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。

第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。

本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。

本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。

由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。

函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。

方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。

二、教学目标分析本节内容包含三大知识点：一、函数零点的定义；二、方程的根与函数零点的等价关系；三、零点存在性定理。

结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“数形结合思想”，“函数与方程思想”的优质载体。

结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

指数对数幂函数知识点总结8篇

指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。

它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。

在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。

本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。

指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。

指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。

2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。

3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。

4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。

5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。

3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。

5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。

三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。

幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。

第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。

在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。

本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。

一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。

指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。

指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。

函数概念与基本初等函数(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。

2021届高中数学新人教版高中数学第一册方程的根与函数的零点含解析

3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念a b2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系b c3.函数零点的判定b c知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，．(3,4)(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．＝f(x)的图象，图见解析方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数思路二：画出函数图象，依据图象与x上是一条连续不断的)内至少有一个零解析：方法一方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点－2与1.方法二画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)<0求零点区间.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．解析：方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．方法二因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．答案：113．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．。

人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧借助图象判断方程实数根的个数由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数．错解错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点．错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧研究函数图象性质有技巧对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意；当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-．综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。

单元复习幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版2019必修第一册)

故 f(x)=lg
+1
(2)由(1)知,f(x)=lg 1- (-1<x<1),
-+1
1-
1+ -1
1+
所以 f(-x)=lg1-(-)=lg1+=lg 1- =-lg 1- =-f(x),
所以 f(x)为奇函数.
+1
(3)原不等式可化为 lg 1- ≥lg(3x+1)(-1<x<1),
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
m
n
是奇数．根据函数图象，当 x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在 y＝x 图象的下方，
m
n
m
所以 n <1.故选 C.
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，
1
于是函数 y＝ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，函数ຫໍສະໝຸດ 1 1

1
y＝logax＋2的图象过定点2，0，在－2，＋∞上单调递减．
是由函数 f(x)＝ax 的图象向下平移一个单位长度，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上
方得到，分 a>1 和 0<a<1 两种情况作图，如图．当 a>1 时，直线 g(x)＝2a 与函数 f(x)

高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解04 指对幂函数

高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点04指对幂函数1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nmlog a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.4.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.指数函数一、单选题1．（2023·江苏·金陵中学模拟预测）已知,a b 是正实数，函数24e x y a b -=+的图象经过点(2,1)，则11a b+的最小值为（） A ．3+B ．9 C ．3-D ．2【答案】B【分析】将(2,1)代入24e x y a b -=+，得到a ，b 的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．【详解】由函数24e x y a b -=+的图象经过(2,1)，则2214e a b -=+，即()410,0a b a b +=>>．∴11a b +=()114a b a b ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭44159b a a b ⎛⎫+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当123b a ==时取到等号．故选：B ．2．（2023·江西上饶·二模（理））函数()22x xxf x -=+的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案．【详解】当()22x xxf x -=+，()()22x x x f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； ()22221022242f -=<=+＜，排除AD ；故选：B.3．（2023·河北秦皇岛·二模）设ln 2a =，25b =，0.22c =，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为()ln20,1a =∈，22log 5log 42b =>=，()0.221,2c =∈，所以b c a >>. 故选：B4．（2023·浙江嘉兴·二模）已知集合{}28xA x =≤，{}16B x x =-≤≤，则A B ⋃=（）A ．(,6]-∞B ．[1,6]-C ．[1,3]-D ．(0,6]【答案】A【分析】先解出集合A ，再计算A B 即可.【详解】{}{}283xA x x x =≤=≤，故AB ⋃=(,6]-∞.故选：A. 二、多选题5．（2023·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121cba=-【答案】ACD【分析】设469a b c t ===，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．【详解】解：设1469a b c t ==>=，则4log a t =，6log b t =，9log c t =，所以6694lg lg log log lg 6lg 6lg lg log log lg9lg 4t tt t b b t t c a t t+=+=+()2lg 94lg9lg 4lg9lg 4lg 62lg 6lg 6lg 6lg 6lg 6⨯+=+====，即2b b c a +=，所以112c a b +=，所以121c b a=-，故D 正确；由2b b ca+=，所以2ab bc ac +=，故A 正确，B 错误；因为()249444a c a a a ⋅==⋅，()()()22494966bbb b b ⋅=⨯==，又469a b c ==，所以()()2246a b =，即4949b b a c ⋅=⋅，故C 正确；故选：ACD 三、填空题6．（2023·江苏南通·模拟预测）若e e e x y -=,,R x y ∈，则2x y -的最小值为_________．【答案】12ln 2+【分析】把2e x y -表示成e y 的函数，再借助均值不等式求解作答. 【详解】依题意，e e e xy=+，e 0y>，则2222e (e e )e ee 2e e e e x y x yyy yy -+===++2e 4e ≥=，当且仅当2e e eyy =，即1y =时取“=”，此时，min (2)12ln 2x y -=+，所以，当1ln 2,1x y =+=时，2x y -取最小值12ln 2+. 故答案为：12ln 2+7．（2023·辽宁锦州·一模）已知函数()11,02,03x x xf x a x -⎧<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为R ，列式求实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，10x<，当0x ≥时，112323x a a -+≥+，因为函数的值域为R ，所以1023a +≤，解得：32a ≤-.故答案为：3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．（2023·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．【答案】①③【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明；对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x x x f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .对于①：因为()()332222x x x x x x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220tt-->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③9．（2023·福建龙岩·一模）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x -+=有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y =4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.10．（2023·海南·模拟预测）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．【答案】4【分析】由已知可得不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，可知2x =为方程20x a -=的根，即可求得实数a 的值.【详解】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =，当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.对数函数一、单选题1．（2023·辽宁锦州·一模）若453x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（） A ．y x z << B ．z x y << C ．x y z << D ．z y x <<【答案】A【分析】首先指对互化得4log 3x =，5log 3y =，再结合对数函数的性质判断,x y 的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x ，y ，z 的大小关系. 【详解】43x =，4log 3x ∴=，53y =，5log 3y ∴=，440log 3log 41<<=，01x ∴<<，550log 3log 51<<=，01y ∴<<，且54log 3log 3<，即y x <，01y x ∴<<<，根据函数的单调性可知，log log 1x x y x >=，即1z >y x z ∴<<.故选：A2．（2023·广东惠州·一模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++ 222lg5000lg1000log 5001log 1001lg51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=.故选：B.3．（2023·北京顺义·二模）函数()()ln 2f x x =-的定义域为（） A ．[)0,2 B ．(),2-∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．【详解】由题意020x x ≥⎧⎨->⎩，解得02x ≤<．故选：A ．4．（2023·河南新乡·二模（文））函数()2ln f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ． B．C ．D ．【答案】B【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D ，再利用特殊值排除选项A 、C. 【详解】因为()f x 的定义域为{}0x x ≠，且()()()22ln ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除选项D ；又1ln 2024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以排除选项A ；又()24ln 20f =>，所以排除选项C. 故选：B ．5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数()213log 3y x ax a =-+在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．2a ≤ B ．2a < C ．122a -<≤ D ．122a -≤≤【答案】C【分析】分析可知内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，且有min 120u a =+>，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令23u x ax a =-+，因为外层函数13log y u =为减函数，所以内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，则12a≤，得2a ≤，且有min 120u a =+>，解得12a >-. 综上所述，122a -<≤. 故选：C.6．（2023·山西·二模（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<【答案】A【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点，因为()19302f -=-<，所以3a <-，因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110eg -=>，()21210e g -=-<，所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<. 故选：A ．二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数()2e 1ln ex ax f x +=是偶函数，则（）A ．1a =-B ．()f x 在()0,∞+上是单调函数C ．()f x 的最小值为1D ．方程()2f x =有两个不相等的实数根【答案】BD【分析】根据偶函数定义求得a ，由复合函数的单调性得出()f x 的单调性，从而可判断各选项．【详解】()f x 是偶函数，则22e 1e 1ln ln e ex x ax ax --++=， 22e 1e 1e e x x ax ax --++=，22e e ax x =，22ax x =恒成立，所以1a =，A 错；2e 1()ln e x xf x +=，由勾形函数性质知1u t t=+在1t ≥时是增函数，又e x t =在0x ≥时有1t ≥且为增函数，所以1()ln(e )e xxf x =+在,()0x ∈+∞上是增函数，B 正确， ()f x 为偶函数，因此()f x 在(,0)-∞上递减，所以min ()ln 2f x =，C 错；易知x →+∞时，()f x →+∞，即()f x 的值域是[ln 2,)+∞，所以()2f x =有两个不相等的实根．D 正确．故选：BD ．8．（2020·全国·模拟预测）已知函数()112222,0log ,0x x x f x x x +--⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则（）A ．121x x +=-B ．341x x =C341x x ≤<<≤D．123402x x x x ≤<+++ 【答案】BCD【分析】首先根据函数的解析式得到11222x x y +--=+-关于直线1x =-对称，那么函数()f x 图像只取11222x x y +--=+-, 0x ≤的部分图像，()(0)f x x >的图像将对数函数在x 轴下方的图像翻到上方即可，从而得到1234,,,x x x x 的范围，进而判断AB 选项；令()()()()1234f x f x f x f x a ====得到102a <≤，341x x ≤<<又41x <≤12344412x x x x x x +++=-++，再根据基本不等式求解范围即可. 【详解】当0x ≤时，()11222x x f x +--=+-.设函数()222x xg x -=+-，则有()()g x g x -=，()00g =，()22220x x g x -=+-≥=，故()g x 是偶函数，且最小值为0.当0x >时，()()2ln 22ln 222ln 20x x x xg x --'=-=->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减.把()222x xg x -=+-的图象向左平移一个单位长度，得到函数11222x x y +--=+-的图象，故函数11222x x y +--=+-的图象关于直线1x =-对称，故可得到函数()f x 在(],0-∞上的图象. 作出函数()f x 的大致图象，如图所示.又()102f =，故函数()f x 的图象与y 轴的交点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.作平行于x 轴的直线y a =，当102a <≤时，直线y a =与函数()f x 的图象有四个交点. 数形结合可知122x x +=-，故A 错误；由()()34f x f x =，得2324log log x x =，又根据题意知341x x <<，所以2324log log x x -=，即2423log log 0x x +=，即()234log 0x x =，所以341x x =，故B 正确；令23241log log 2x x ==，则231log 2x =-，241log 2x =，得3x =4x341x x ≤<<≤C 正确；又41x <≤12344412x x x x x x +++=-++，且函数12y x x=-++在(上单调递增，所以123402x x x x ≤<+++，故D 正确. 故选：BCD【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．三、双空题9．（2023·河北石家庄·二模）已知函数3log ,03()sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1234,,,x x x x .满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12x x =___________，()()3433x x --的取值范围是___________. 【答案】 1 (0,27)【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可知1234,,,x x x x 之间的关系，利用此关系直接求出12x x ，再将()()3433x x --转化为关于3x 的二次函数求范围即可. 【详解】作出函数3log ,03()sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图，因为()()()()1234f x f x f x f x ===，1234x x x x <<< 所以由图可知，3132log log x x -=，即121=x x ，3492x x +=，且339x <<，()()23434343333333()9(18)451845x x x x x x x x x x ∴--=-++=--=-+-，2331845x y x -+-=在()3,9上单调递增， 027y ∴<<，即()()3433x x --的取值范围是(0,27). 故答案为：1；(0,27) 四、填空题10．（2023·海南·模拟预测）若对任意的0a >且1a ≠，函数()log (1)1a f x x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为___________. 【答案】（2，1）【分析】根据对数函数的图象和性质，令log (1)0a x -=，解得2x =，进而得出点P 坐标. 【详解】令log (1)0a x -=，解得2x =，则(2)log 111a f =+=，所以点P 的坐标为（2，1）. 故答案为：（2，1）.11．（2023·江西赣州·二模（理））若函数())log 2a f x x ⎡⎤=⎣⎦在(,0)-∞上是减函数，则a 的取值范围是___________. 【答案】(1,4)【分析】20<，根据2)t x =是减函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，可得1a >，从而可得14a <<. 【详解】由题意可得0a >且1a ≠，因为函数())log 2a f x x ⎡⎤=⎣⎦在(,0)-∞上是减函数，所以(,0)x ∈-∞，20<，即04a <<，2)t x =是减函数，由于()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以1a >，所以a 的取值范围是(1,4). 故答案为：(1,4) 五、解答题12．（2020·全国·一模（文））（1）已知0x >，0y >，0z >，证明：222111y z x x y z x y z++≥++；（2）已知1a >，1b >，1c >，且8abc =，若222log log log log log log a a b b c c b c a k ⋅+⋅+⋅≥恒成立，求实数k 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）由基本不等式可得212y x x x+≥=，同理可得21z y z +，21x z x +的范围，化简整理即可得证.（2）利用换底公式可得22log log log a abb =，同理可将log ,log b cc a 化简，代入原式，可得222222222log log log log log log b c aa b c ++，又221log log a a =同理可将22log ,log b c 变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果.【详解】（1）证明：由0x >，0y >，得212y x y x+≥=，即212y x x x +≥，同理212z y z y +≥，212x z x z+≥，以上三式相加，得222111222y z x x y z y z x y z x+++++≥++ （当且仅当x y z ==时取等号），故222111y z x x y z x y z++≥++成立.（2）解：222log log log log log log aabbccb c a ⋅+⋅+⋅=222222222log log log log log log b c aa b c ++ =222222log log log log 2log 2log 2b c a a b c ++，根据（1），得222222222log log log 111log 2log 2log 2log log log b c a a b c a b c ++≥++ =2222log log log log a b c abc ++=82log 3== 所以，3k ≤，故实数k 的最大值为3.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值的能力，属中档题.幂函数一、单选题1．（2023·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（） A ．ln y x = B ．x y e = C ．3y x =D ．1y x =【答案】C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断. 【详解】A. 函数ln y x =的定义域为()0,∞+，值域为R ； B. 函数x y e =的定义域为R ，值域为()0,∞+； C. 函数3y x =的定义域为R ，值域为R ；D. 函数1y x =的定义域为{}|0x x ≠，值域为{}|0y y ≠，故选：C2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数2()m f x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】由奇函数定义域的对称性得1m =，然后可得函数解析式，计算函数值．【详解】因为幂函数在[1,]m -上是奇函数，所以1m =，所以23()m f x x x +==，所以(1)(11)(2)f m f f +=+=328==，故选：A ．3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()f x mx α=的图象过点()2,8，则m α+=（） A ．0 B ．2C ．4D ．5【答案】C【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为()f x mx α=为幂函数所以1m =又()f x mx α=的图象过点()2,8 即82α= 解得3α= 所以4m α+= 故选：C.4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ②()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；③在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ；④在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】A【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，③正确，故选：A.5．（2023·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（）A ．()f x x =B ．3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2()f x x -=D ．()f x =【答案】D【分析】依次判断4个函数的单调性即可.【详解】A 选项为增函数，错误；B 选项312>，为增函数，错误；C 选项221()f x x x -==在(),0∞-为增函数，在()0,∞+为减函数，错误；D 选项13()f x x =-为减函数，正确.故选：D.6．（2023·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小；对于C ， ()ln a b -没有意义；对于D ，取特值判断.【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对；对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对；故选：B. 二、多选题7．（2023·全国·模拟预测）已知实数0,0,a b c R >>∈,且1a b +=,则下列判断正确的是（） A ．2212a b +≥ B ．22ac bc < C ．()2bb a a >- D ．2111b a -<+ 【答案】AD【分析】利用均值不等式可判断A ；取0c =可判断B ；借助幂函数b y x =的单调性，结合0,1a b <<可判断C ；作差法可判断D 【详解】由于0,0a b >>，由均值不等式114a b ab +=≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立选项A ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，故A正确；选项B ，由于R c ∈，当0c =时，22ac bc =，故B 错误；选项C ，由于0,0a b >>，1a b +=，故01,122a a <<<-<，即2a a <-由于01b b y x <<∴=在(0,)+∞单调递增，故()2bb a a <-，故C 错误；选项D ，2122111b b a a a ----=++，由于0,1220,10a b b a a <<∴--<+>，故21101b a --<+，2111b a -∴<+，故D 正确故选：AD8．（2021·山东·模拟预测）已知实数m ，n 满足22m n >，则下列不等式恒成立的是（） A ．cos cos m n <B ．若0m >，0n >，则1133log log m n <C ．3232m n e e ++>D ．若0m >，0n >>【答案】BCD【分析】由22m n >，根据2x y =为R 上的增函数，所以m n >，再逐项分析判断即可得解. 【详解】因为2x y =为R 上的增函数，所以m n >.因为函数cos y x =在R 上有增有减，所以A 中的不等式不恒成立，A 错误；因为函数13log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以当0m >，0n >，m n >时，1133log log m n <，故B 正确；因为x y e =在R 上单调递增，所以当m n >时，3232>m n e e ++，故C 正确；因为函数y =(0,)+∞上单调递增，所以当0m >，0n >，m n >D 正确.故选：BCD.9．（2021·全国·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，则下列判断正确的是（） A ．3e ﹣2π＜3πe ﹣2B ．πlog 3e ＞3log πeC ．log πe eπ>D ．πe ＜e π【答案】BCD【分析】由幂函数3e y x -=在()0,∞+上递减，即可判断A ；根据对数性质有3log log 0e e π>>，即可判断B ；构造函数ln xy x=，求导判断单调性即可判断C ；根据C 中的结论可判断D ．【详解】对于A ，因为3e y x -=在()0,∞+上递减，则333e e π-->，所以2233e e ππ-->，故A 错；对于B ，由于3log log 0e e π>>，则3log log 3log e e e ππππ>>，故B 正确；对于C ，设ln x y x =，则2ln 1ln x x y x x '-⎛⎫'== ⎪⎝⎭当0x e <<时，0y '>，当e x <时，0y '<，所以函数ln x y x =在(),e +∞单调递减，则ln ln ee ππ<，得ln log ln e e e πππ<=，故C 正确；对于D ，由C 项知ln ln e eππ<，则ln ln e e ππ<，即ln ln e e ππ<，所以e e ππ<，故D 正确．故选：BCD.10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】由函数图象过点()1,2可得a 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得12a =，即2a =，12xxy a-⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据““上不动、下翻上”可知D 正确；故选：ABD. 三、填空题11．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅；【答案】2x （答案不唯一）；【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）12．（2023·四川泸州·模拟预测（文））已知当[]1,4x ∈时，函数()1f x mx =-的图象与()g x =的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________.【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦##324m ≤≤【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论．【详解】函数()1f x mx =-过定点(0,1)A -，如图：结合图象可得：，故答案为：3[4，2]．13．（2023·北京通州·一模）幂函数()m f x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________．【答案】1，1-（答案不唯一）【分析】根据幂函数在(0,)+∞上的单调性得到0,0m n ><，再根据()()y f x g x =-是奇函数可以得到幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，从而可得,m n 的很多组值.【详解】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）.一、单选题1．（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】5881log 2log log log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.3．（2020·天津·高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．（2020·全国·高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 7．（2020·全国·高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 8．（2020·全国·高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a -=，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9．（2020·全国·高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 二、多选题10．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n ==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m jP Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m mm m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 三、填空题11．（2020·山东·高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.【答案】14【分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值.【详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=，即2log 2x =-，解得：14x =.故答案为：1412．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.一、单选题1. （2023·全国·模拟预测）开普勒（JohannesKepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（） A. 0.66a B. 0.70aC. 0.76aD. 0.96a【答案】C【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，根据题。

指对幂函数及函数与方程(5知识点+4重难点+7技巧+4易错)(原卷版)2025高考数学一轮知识清单

专题04指对幂函数及函数与方程（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a =()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nmnaa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。

（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。

《方程的根与函数的零点》(第二课时)——零点存在性定理教学设计

【课堂聚焦·教学设计】《方程的根与函数的零点》（第二课时）——零点存在性定理教学设计广西南宁市第四中学　敬　燕一、教材分析本节课内容是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版》第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第一小节的第二课时。

函数是中学数学的核心概念，函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个联结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生系统地掌握了函数的概念及性质，掌握基本初等函数、方程的根与函数零点之间的关系后，学习函数在某个区间上存在零点的判定方法并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性，为后续学习“用二分法求方程的近似解”打基础。

因此，本节课内容具有承前启后的作用，地位重要。

二、学情分析这个阶段的普通高中学生，思维仍属于经验性的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

通过初中数学的学习，学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻了解，在第二章《基本初等函数（Ⅰ）》中又学习了指数函数、对数函数及幂函数的基本性质，掌握了函数图像的一般画法，具备了一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图像判断函数在某个区间上存在零点提供了一定的知识基础。

对于函数零点的判断，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。

三、设计理念本节课采用探究式教学，按照“问题驱动—激发兴趣—创设情境—探索新知—实践应用—总结反思”的基本模式展开教学，其中渗透数形结合、由特殊到一般等数学思想方法。

探究式教学倡导学生的主动参与，亲身经历知识的产生、发展、理解与应用的过程。

本节课的设计笔者以学生为主，从学生熟悉的天气变化入手，让学生轻松掌握用图像法求零点存在的条件。

其次，教学过程中，教师鼓励学生多动手画图。

通过画图，不仅锻炼了学生动手、动脑的能力，教师还可以了解学生对知识掌握的情况。

四、教学目标1.知识与技能（1）体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理。

高中之数学秘笈之幂函数与函数零点问题

谦姐套路秘笈之指数函数套路一：幂函数（系数为1，指数大于0则单调递增，指数为偶则偶函数）1．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α= ．2．已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象不与x轴、y轴相交，且关于原点对称，则m= ．3．若对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（4）+g（4）= ．4．以下命题正确的是（）①幂函数的图象都经过（0，0）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n=0时，函数y=x n的图象是两条射线④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内为减函数．A．①②B．②④C．②③D．①③5．有下列五种说法：给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，2]，则函数y=f（2x）的定义域为[2，3]；④定义在R上的函数y=f（x）对任意两个不等实数a、b，总有＞0成立，则y=f（x）在R 上是增函数；⑤f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；正确的说法有．6．已知函数，那么不等式f（2x﹣3）＜f（5）的解集为．7．已知幂函数f（x）=mx n的图象过点（，2），设a=f（m），b=f（n），c=f（ln2），则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c8．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．套路二：函数零点之介值定理（端点函数值乘积异号，从BC项开始代入）1．函数f（x）=+ln的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）2．方程log3x+x﹣3=0的实数根所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）套路三：函数零点之图象法（将熟悉的函数分到=两侧，求两函数交点） 1．（基础）已知函数f（x）=，若g（x）=f（x）﹣a恰好有3个零点，则a的取值范围为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[）D．（]2．（基础）若函数有两个零点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣6，+∞）D．（﹣∞，﹣6）3．（基础）函数在定义域内的零点个数为（）A．0B．1C．2D．34．（稍难）已知f（x）=，g（x）=f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）5．（稍难）已知函数f（x）的定义域为R，，对于任意的x∈R都有f（x+3）=f（x﹣1），若在区间[﹣5，3]内函数g （x）=f（x）﹣mx+2m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．6．（经典）已知函数f（x）=，a，b，c非负且互不相等，若f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．[2，2018]B．（2，2018）C．（3，2019）D．（2，2019）套路四：函数零点之分类讨论1．（稍难，了解取整函数）已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x﹣a在（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）2．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）A．a=﹣或a=1B．a＞1或a=0C．a＞1D．a=﹣参考答案套路一：幂函数（系数为1，指数大于0则单调递增，指数为偶则偶函数）1．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α= 0 ．【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．∴k+α=0．故答案为：0．2．已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象不与x轴、y轴相交，且关于原点对称，则m= 2 ．【解答】解：∵幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象不与x轴、y轴相交，则m2﹣2m﹣3≤0，解得：m∈[﹣1，3]，又由m∈N*∴m∈{1，2，3}，当m=1时，f（x）=x﹣4，函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，当m=2时，f（x）=x﹣3，函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，当m=3时，f（x）=x0，函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故m=2，故答案为：23．若对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（4）+g（4）= 24 ．【解答】解：设f（x）=log a x，g（x）=xα，∵对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），∴f（2）=log a2=4．g（2）=2α=4，∴f（4）=log a4=2log a2=2×4=8．g（4）=4α=（2α）2=42=16，∴f（4）+g（4）=8+16=24．故答案为：24．4．以下命题正确的是（）①幂函数的图象都经过（0，0）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n=0时，函数y=x n的图象是两条射线④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内为减函数．A．①②B．②④C．②③D．①③【解答】解：①幂函数的图象都经过（0，0），错误，比如y=；②∵当x＞0时，xα＞0，因此幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确；③当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线，但是去掉（0，1），因此正确；④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内不具有单调性，例如：y=，不正确．故选：C．5．有下列五种说法：给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，2]，则函数y=f（2x）的定义域为[2，3]；④定义在R上的函数y=f（x）对任意两个不等实数a、b，总有＞0成立，则y=f（x）在R 上是增函数；⑤f（x）=的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；正确的说法有 ①④ ．【解答】解：对于①，根据幂函数的图象与性质知，幂函数的图象不过第四象限，①正确；对于②，奇函数的图象不一定过坐标原点，如f（x）=（x≠0）的图象，∴②错误；对于③，函数y=f（x+1）的定义域为[1，2]，∴x∈[1，2]，∴x+1∈[2，3]；令2x∈[2，3]，∴x∈[1，]，∴函数y=f（2x）的定义域为[1，]，③错误；对于④，根据题意知，a＞b时，f（a）＞f（b），a＜b时，f（a）＜f（b），由单调性的定义知，y=f（x）在R上是增函数，④正确；对于⑤，（﹣∞，0）和（0，+∞）是f（x）=的两个单调减区间，不能用并集表示，⑤错误；综上，正确的说法是①④．故答案为：①④．6．已知函数，那么不等式f（2x﹣3）＜f（5）的解集为（﹣1，4）．【解答】解：函数是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（2x﹣3）＜f（5）则|2x﹣3|＜5，即﹣5＜2x﹣3＜5，解得：x∈（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．7．已知幂函数f（x）=mx n的图象过点（，2），设a=f（m），b=f（n），c=f（ln2），则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：∵函数f（x）=mx n为幂函数，故m=1，，2），由函数f（x）=mx n 的图象过点（故，解得：n=3，故函数f（x）=x3，则函数为增函数，∵n＞m＞ln2，故c＜a＜b，故选：B．8．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．套路二：函数零点之介值定理（端点函数值乘积异号，从BC项开始代入）1．函数f（x）=+ln的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=+ln在定义域内单调递减，故该函数至多有一个零点．因为f（1）=1＞0，f（2）=+ln=ln（），∵，∴f （2）＜0，故f（1）f（2）＜0．故零点所在的大致区间为（1，2）．故选：A．2．方程log3x+x﹣3=0的实数根所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：方程log3x+x﹣3=0的根就是y=log3x+x﹣3的零点，函数是连续函数，是增函数，可得f（2）=log32+2﹣3=log32﹣1＜0，f（3）=1+3﹣3＞0，所以f（2）f（3）＜0，方程根在（2，3）．故选：B．套路三：函数零点之图象法（将熟悉的函数分到=两侧，求两函数交点） 1．已知函数f（x）=，若g（x）=f（x）﹣a恰好有3个零点，则a的取值范围为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[）D．（]【解答】解：g（x）=f（x）﹣a恰好有3个零点，即为f（x）=a有三个不等实根，作出y=f（x）的图象，可得当＜a≤1时，f（x）的图象与y=a有三个交点，故选：D．2．若函数有两个零点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣6，+∞）D．（﹣∞，﹣6）【解答】解：根据题意，函数有两个零点，即方程=0有2个正根，即一元二次方程x2+tx+9=0有2个正根，则有，解可得t＜﹣6，即实数t的取值范围是（﹣∞，﹣6）；故选：D．3．函数在定义域内的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数在定义域{x|x＞﹣1且x≠0}内的零点个数，即为f（x）=0，即y=ln（x+1）和y=的图象交点个数，作出y=ln（x+1）和y=的图象，可得有两个交点，故选：C．4．已知f（x）=，g（x）=f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：g（x）=f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，可得g（x）=0，即f（x）=﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y=f（x）和直线y=﹣x﹣m有两个交点，作出y=f（x）的图象和直线y=﹣x﹣m，当﹣m≤1，即m≥﹣1时，y=f（x）和y=﹣x﹣m有两个交点，故选：A．5．已知函数f（x）的定义域为R，，对于任意的x∈R都有f（x+3）=f（x﹣1），若在区间[﹣5，3]内函数g（x）=f （x）﹣mx+2m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x+3）=f（x﹣1），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+2m恰有三个不同的零点，则y=f（x）和y=m（x﹣2）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：由A（﹣1，），M（2，0），B（﹣5，），k AM=﹣，k BM=﹣，结合图象得：m∈[﹣，﹣），故选：A．6．已知函数f（x）=，a，b，c非负且互不相等，若f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．[2，2018]B．（2，2018）C．（3，2019）D．（2，2019）【解答】解：当0≤x≤1时，函数f（x）=﹣4x2+4x=﹣4（x﹣）2+1，函数的对称轴为x=，当x=1时，由log2018x=1，解得x=2018．若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜，＜b＜1，1＜c＜2018，且=，即a+b=1，所以a+b+c=1+c，因为1＜c＜2018，所以2＜1+c＜2019，即2＜a+b+c＜2019，所以a+b+c的取值范围是（2，2019）．故选：D．套路四：函数零点之分类讨论1．已知[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x﹣a在（0，2）上仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：由[x]表示不大于x的最大整数，若函数f（x）=x2+a[x]x﹣a（a≠0）在（0，2）上仅有一个零点，由x∈（0，2），讨论[x]=0，即0＜x＜1，可得x2+a[x]x﹣a=x2﹣a，由f（x）=0可得a=x2，求得a∈（0，1）；若[x]=1，即1≤x＜2，x=1时，方程无解，x∈（1，2）时，可得x2+a[x]x﹣a=x2+ax﹣a，a===∈（﹣∞，﹣4），则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，1）．故选：C．2．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）A．a=﹣或a=1B．a＞1或a=0C．a＞1D．a=﹣【解答】解：若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个根，若a=0，则方程2ax2﹣x﹣1=0可化为：﹣x﹣1=0方程的解为﹣1，不成立；若a＜0，则方程2ax2﹣x﹣1=0不可能有正根，故不成立；若a＞0，则△=1+8a＞0，且c=﹣1＜0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解可化为（2a•02﹣0﹣1）（2a•12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞1；故实数a的取值范围是（1，+∞），故选：C．。

指对幂函数题型

指对幂函数题型
幂函数是高中数学中的一个重要内容，涉及到指数与函数的相关知识点。

掌握幂函数的相关题型，可以帮助学生更好地理解和应用这一知识点。

以下是幂函数题型的分类和解法：
1. 求导数
这种题型需要用到求导公式，对于幂函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

因此，只需要代入相应的指数n即可求出导数。

2. 求零点
求幂函数的零点需要将其转化为指数方程，即将f(x) = x^n转化为x^n = 0。

因为任何数的n次方都不可能等于0，所以幂函数没有实数解，但可能有复数解。

3. 求最值
对于幂函数f(x) = x^n，当n为奇数时，f(x)的值域为R；当n 为偶数时，f(x)的值域为[0, +∞)。

因此，当n为奇数时，f(x)无最大值和最小值；当n为偶数时，f(x)的最小值为0，最大值为当x趋近于正无穷时，f(x)的值趋近于正无穷。

4. 求解不等式
对于幂函数f(x) = x^n，当n为正数时，f(x)随x的增大而增大；当n为负数时，f(x)随x的增大而减小。

因此，当n为正数时，不等式的解集为x > a；当n为负数时，不等式的解集为x < a，其
中a为常数。

以上是幂函数题型的分类和解法，希望对大家掌握幂函数知识点有所帮助。

幂函数及函数应用(讲义及答案)

5
12.
函数
f
(x)
x
2
2x
3，x
≤
0
的零点个数为（
2 ln x，x 0
A．2
B．3
C．4
） D．5
13. 已知0 a 1，则方程a|x| | log xa | 的实数根的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14. 已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，且有如下的 x， f (x) 的对应值表：
1 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
n 若 m，n 均为奇数，则函数 y x 是奇函数，其图象关于原点对称；若 m 为偶数，n 为奇数，则函数 y x 是偶函数，其图象关于 y 轴对称；若 m 为奇数，n 为偶数，则函数 y x 是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．
2 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
10. 比较下列各数的大小：
5
5
（1） 3 2
3.1 2 ；
6
（2） (0.3)11
5
（3） (0.88)3
(0.88)3 ；
（4）(
2
)
2 3
3
6
0.711 ；
( 1) 3 ． 4
11. 函数 f (x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是（ A．(-2，-1) B．(-1，0) C．(0，1)
） D．(1，2)
线，并且有
，那么，函数 y f (x) 在区间
内有零点，即
，使得
，这个
c 也就是方程 f (x) 0 的根．
三、二分法 1. 定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且 f (a) f (b) 0 的函数

人教版高中数学必修一第三章知识点总结

第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

数学(理)一轮复习第二章基本初等函数、导数及其应用第讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2)性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和(0，0),且在(0,＋∞）上单调递增；③当α〈0时，幂函数的图象都过点(1，1），且在（0，＋∞）上单调递减．2．二次函数(1）二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．③零点式:f（x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c(a〉f（x)＝ax2＋bx＋0)c(a<0）图象定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上单调递减；在错误!上单调递增在错误!上单调递增；在错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．辨明两个易误点（1）对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数,就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想（1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等．1.错误!幂函数y＝f(x）经过点(2，错误!），则f(9）为( )A．81 B．错误!C。

错误!D．3D 设f（x）＝xα，由题意得错误!＝2α，所以α＝错误!。